基于辐射场及遗传算法的过模矩形波导中模式分析方法

99二72‘ p7I『大学 硕士学位论文 题目基士堑盘堑盈遣篮簋法盟i邀堑型达昱主搓盘 金盘立法 作者 型 态 完成日期200____66匀z亘月 培养单位 指导教师 专 业 研究方向 授予学位日期 一一一一一 四川大学硕士学位论文 基于辐射场及遗传算法的矩形波导模式分 析法 无线电物理学专业 研究生 刘杰 指导老师 黄卡玛教授 摘要 模式是传输在波导中的电磁波的一个重要特性。波导的尺寸决定了可以传 输的模式，尽管单模工作是高功率微波源追求的目标，但是在实际的研究和调 试过程中，一方面由于对阴极电子发射缺乏控制方法造成了复杂的激励条件， 另一方面为提高输出功率采用了高度过模结构的谐振腔及传输波导，使得过模 波导中的电磁波具有功率高、单次短脉冲、多模和模式不确定等特点。由于过 模波导是高功率微波系统中的传输部分，因此研究过模波导中电磁场的形成和 传播对如何改进功率源有重要的意义。但过模波导具有的不利特点使得其模式 难以采用常规的方法(如探针、模式滤波器等)进行识别。 本文针对该问题，提出基于辐射场及遗传算法的波导模式法来解决这一 困难。文中主要以过模矩形波导作为研究目标，此方法同样适用于其他波导。该 方法采用非介入的测量方法一一测量辐射场法来获得过模波导内模式的信息。由 辐射场信息得到模式信息是一种电磁场的逆问题。本文方法采用遗传算法，并不 直接求解电磁场逆问题，而是将电磁场逆问题求解转化为正问题的全局最优化求 解。这种方法的好处是避免了病态方程求解问题，不需要测量辐射场的相位，同 时采用“超定”条件保证解的精度。具体地说就是事先得到各模式的辐射场，然 后将合成的多模式辐射场方向图与测量的辐射方向图在多点上的比较，通过遗传 算法获得最佳匹配，并得到各模式在过模波导总场的复系数。 在数值试验中，本文采用了解析式法和时域有限差分法(Finite DifferenceTimeDomain，FDTD)来模拟波导的辐射场。解析式法是根据已知 四JII大学硕士学位论文 的各种模式在波导口处的分布，将波导13面网格化，形成微小电流元和磁流元， 对每个电流元和磁流元在远处的辐射场进行积分，得到波导的辐射场；时域有 限差分法能更好地研究各个模式在波导中的形成过程，以及通过近场外推，可 以计算出远场辐射场。本文采用了遗传算法和最小二乘法作为反演复系数的算 法。遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的高度并行、随机、 自适应全局搜索算法，是基于蒙特卡罗法的算法。采用遗传算法搜索最优的各 模式的复系数，从而避免了直接求解病态的逆问题，而将病态逆问题的求解转 换为基于求解正问题的搜索最优问题。最小二乘法是一种求最优解的传统算 法，能进行曲线拟合、函数逼近、数据处理、方差分析与回归分析．最d,-乘 法则直接求解逆问题。 数值实验结果可以说明本文方法能可靠的诊断出过模矩形波导内各模式 的复系数。并且对最小二乘法和遗传算法反演结果进行了比较，比较结果表明 遗传算法在测量值有误差时具有容错能力强的优势。 关键词：过模矩形波导；高功率微波；辐射场；遗传算法；模式分析； 复系数 M．S．D Thesis AMethodtoDeterminetheModeContentinOvet-mode RectangularWaveguidebaseonRadiationPatternandGenetic Algorithm Major：RadioPhysics GraduateStudent：LinJie Advisor：Prof．HuangKama 硼1emodecontentisanimpoa锄mcharacteristicoftheelectromagneticwave transmittedinwavegnides．田1esizeofwaveguidesdeterminesamountsofmodes． Althoughworkingonasinglemodeisarequestforahigh-powermicrowave tx：soutoe．itishardtorea】．izcinresearchanddebugging．0ntheonehand,thelackof waystocontrolthecathoderaylaunchresultsinacompficatedexcitation．Onthe otherhand,thesystemwi出lfighiyover-modestrtlcturesuchastheresonancecavity andtheoutputwavegnideareusedinhigh-powermicrowavesysteminorderto improvingitspower-handingcapacity,whichmeansmanymodeswiUexistinthe high-powermicrowavesystem．Sotheelectromagneticwavepropagatingin over-modewaveguideshassuchcharacteristics嬲high-power,singleshortPulse． multimode．modediversification．Becansetheover-modewavegnideisallimportant partofhigh-powermicrowaves3，stem,itisofgreatimportancetoresearchthe electromagneticwavetransmittedandrealizedinover-modewaveguidestohelp improvingsourceofhigh-powermicrowavesystenLButthosebadcharacteristics decidethemodesarehardtobemeasuredbynorlualmethods。suchasusingprobe。 scanningthefieldpattern，usingmode-selectivecouplers。andetc．． Thispaperproposesanoveltechniquetosolvethisproblem-n蟛technique determinesthemodecontentinover-modewavegnidefromtheradiationpattern measurements．Arectsnglewaveguideisresearchedbythetechnique。butthe techniquealsocanbeappliedt0otherwaveguides．nletechniqueisbase011 measuringradimionpatterntogettheinformadonofthemodecontent,andusingthe informationtodeterminethemodecontentbyGeneticAIgorithm(GA)．Measuring radiationpatterncanaveiderror$byusingprobe．Calculatingcomplexcoefficients ofelectromagneticfieldsmodeisanelectromagneticinverseproblem．n屺 techniquedoesn'tdirectlycalculatecomplexcoefficientsofmodecontent,but changestheelectromagneticinverseproblem幻the”positive”problem,andusesthe GAtosearchthecomplexcoefficients．仙techniquehastheadvantageof overcomingtheproblemofill-posedequations，anddoesn'tneedtomeasurethe M．S．D Thesis Dhasepatternofthefieldradiation。andusesthe”super-set”conditionsensuringthe accuracyofthecomplexcoefficients．． Innumericalexperiments。analyticexpressionsmethodandFiniteDifference TimeDomain(FDTD)areemployedtosimulatetheradiationpatternofvarious modesinthewaveguide．Theanalyticexpressionsmethodmeshesopen-endplaceof rectangularwaveguide，andcalculatestheradiationpatternofvariousmode8by Huygensprincipium．FDTDsimulatesradiationpatternsforthemodespropagating inthewaveguide．AndGAandtheLeastSquaresMinimizationMethodO-．SMM) agealSOemployed．GAisastochasticoptimizationprocedure，whichisbasedonthe modelofthenaturalevolutionprocess：theimprovementofapopulationof parametersalongsuccessivegenerations．LSMMisconventionalmethodforsolving thesystemoflinearequations． Innumericalexperiments．thecomplexcoefficientsdeterminedbyGAare verynearrealvalues．wevalidatethefeasibilityandeffectivenessoftheproposed technique．Asacomparison．theresultofLSMMWasalSOemployed．mresults iIldicawxiGAhasstrongerfault-tolerantabiUtytIlanLSIVIM． Keywords：Over-moderectangularwaveguides；High-powermicrowave；Radiated pattern；GeneficAlgofithm；ModeContent；ComplexCoefficients ．VI· ，1l●，●，J1●●J1j!．●{{ ． 四川大学硕士学位论文 第一章概述 1．1研究背景和意义 在高功率微波系统中一般采用微波管，微波管具有频率高，功率大，效率 和增益高，频带宽，耐高低温，抗核辐射，性能稳定，可靠性高的优点，但由 于对阴极电子发射缺乏控制手段，造成了复杂的激励条件“1；而且又由于为提 高输出功率采用了高度过模结构的谐振腔及传输波导，使得高功率微波系统具 有功率高、单次短脉冲、多模和模式不确定等特点。在许多高功率微波系 统时，常常是从分析电磁场的分布开始的，然后归结为电路或传输线的问题来 处理嗍．本文主要研究的是高功率微波系统波导器件中模式的分析。微波在波 导中传输成为导行电磁波，模式是其重要特性之一。由于过模波导具有的多模 和模式不确定的特点，使得常规测量存在很多问题，对功率测量带来较大困难。 如何确定高功率微波源输出波导中的工作模式，对改善功率源的结构，从而获 得满意的高功率输出具有重要的指导意义。 1．2国内外现状 传统的确定波导内工作模式的方法为探针法，即将测量探头插入波导内， 通过测量值确定波导内的工作模式。具体的方法包括： 1)使用移动探头测量波导内的电场幅值和相位，通过计算确定每种模式 的功率流密度； ∞使用固定的探头阵列进行测量，确定工作模式； ∞使用固定的探头和可移动的短路终端分析波导内的多工作模式； 钔使用固定的探头、固定的终端以及可变长度的波导来分析工作模式。 在国外，JESSEJ．TAUB用电、磁探针测量的方法对波导内模式进行了研究。1， 试验系统框图如图1-1，系统实图如图l-2．D．s．LEvINs0N．眶舳ER1． RUBINSTEIN也用几乎相同的方法和设备进行了研究旧。在国内，西北核技术研 究所的刘国治等人用电、磁探针测量的方法对单模或有主模的高功率微波源的 测量旧，结果表明主模的测量有较好的精度。对于多模来说，问题远远要比单 模复杂，不但要测量主模还要测量其他模式。中国物理研究院应用电子学 四川大学硕士学位论文 研究所屈劲，刘庆想、胡 进光，等人研制出一种能 适应各种条件下使用的商 功率微波功率密度测量装 置嘲，试验系统框图如图 1-3。 但是这种传统的方法 不适用于高功率微波源输 出波导内工作模 式的分布。首先 探针插入波导 后，对被测点的 场分布产生干 扰，影响原来场 分布，导致测出 的工作模式误差 较大。其次对于 高功率微波源的 输出波导，探针 插入后很容易引 起击穿。 最近也有人 · 采用插入波导内的两天线 间的频率响应来确定波导 内的工作模式．PavelV． Nikitin,DanielD． Stancil，AhmetG．Cepni， 等人用这种方法进行了研 究伪。试验系统框图如图 1—4。 1^‘●％■tttR 牲■DEIt￡埔 图1．IJESSEJ．TAUB的试验系统框图 图1-2JESSEJ．TRUB的试验系统实图 图I-3屈劲，等人的高功率微波功率密度测量装置 四川大学硕士学位论文 但该方法仅适用于 在工作频率范围内，每种 模式的幅值近似不变，且 两天线的间距足够长。显 然，对于高功率微波源， 其输出波导内场的幅值 不断变化，这种方法也不 适用。 有人提出不用放入 探头采集波导内场的信 息，而采用在波导壁上开 口，将波导内场的信息导 出来的方法。E．D．Shap， E．M．T．Jonesi对这种方 法进行研究。波导壁的开 口方式如图I-5，波导设 备如图I-60“。波导壁开 口的方式导出波导内场 的信息的方法要求的系 图I-4PaveIv．Nikitin，等人的试验系统框图 图l-5波导壁的开口 统简单，针对不同的模式在波导壁的不同位置开口就能导出单一模式的信息， 再通过一些能准确测量单 一模式的方法就能很好的 得到各种模式的组合方 式。同样这种方法对波导 内场的分布有干扰。如果 对误差要求不太严格的情 况下，这种方法可以使用。 为了避免上述几种方 法带来的对波导场的影 响，一种采用辐射场信息 图卜6E·D·Shap等人试验中所用的波导 四川大学硕士学位论文 诊断多模圆波导内的工作模式的方法被提出。这种方法比起前面的方法来说有 其优势的地方，就是该方法为非介入的方法，就是说不会有探头(探针，天线 等)放在波导内，这样就避免了由于探头带来的对电磁场的干扰，也不会有因 为有探针插入波导而必须降低传输功率，并且大大减4,T由于试验设备对测量 带来的误差。R．J．Vernon等人在这方面进行了大量的工作硼伽。这种方法简单的 说就是，通过S．Silver的{MicrowaveAntennaTheoryandDesign》中提 供的波导中单模式辐射场的解析式计算出各种模式的辐射场，并将这些计算出 的辐射场值作为先验信息，在测量了由试验波导的辐射场值后，通过最小二乘 法或根据辐射场特征直接判断出波导中存在的模式以及模式组合方式。国内， 中国工程物理研究院李少甫，缪铁莺，张桂荣，等人结合在圆柱过模波导壁上 安装小电探针天线和小磁环天线测量微波模式的方法，用天线阵测量圆柱过模 波导中开口辐射的电磁场空间分布，再应用最小二乘法优化原理拟合高功率微 波模式功率分布n11。试验系统框图如图卜7。 图卜7用天线阵测量圆柱过模波导中开口辐射场的空间分布原理框图 但是该类方法目前仍有很多局限性。重要的是他们并未讨论这类逆向求解 问题的病态和伪逆问题“4，所得结果误差很大，不具有实用性。用解析式法计 算各种模式的辐射场在实际研究中也具有一定的局限性。虽然解析式法能很好 的模拟大尺寸的开口波导的辐射场，但实际中往往需要的在波导口处加上锥形 天线，对这样的情况公式法计算的结果就会和测量的结果有较大的差别，这是 因为锥形天线口处的场分布不同于波导内的分布了。 四川大学硕士学位论文 现在高功率微波系统发展中必须提出一种能够解决“高功率微波源输出波 导工作模式诊断”问题的新方法。 1．3本论文拟解决的主要问题 本文提出基于辐射场和遗传算法的过模波导模式分析方法。这种方法采用测 量方法的是上文提到的非介入式测量法，即测量波导的辐射场，在计算波导内 模式的组合则使用了遗传算法。波导内模式的组合并不是一个简单的比例关系， 本文认为波导内的场应该是波导内存在的模式的一般表达式乘以模式对应复系 数后的求和。在加入了复系数后使用遗传算法就可以不直接计算电磁场逆问题， 而是将电磁场逆问题求解转化为正问题的全局最优化求解。遗传算法的好处是 克服了病态方程求解问题，不需要测量辐射场的相位，同时采用“超定”条件 保证解的精度。具体地说就是事先得到各模式的辐射场，然后将合成的多模式 辐射场与测量的辐射方向图在多点上的比较，通过遗传算法获得最佳匹配，并 得到各模式在过模波导总场的复系数。在本文数值试验中只考虑了电磁场在波 导开口就辐射出去的情况，计算模式的辐射场时也用了解析式法，但是针对实 际研究中常常在波导口处加上锥形天线的情况，本文还是提出了用时域有限差 分法进行模拟，对本文的方法可行性和可靠性进行了数值试验验证。考虑到真 实的测量一定会有误差，在实验中对测量值加了随机误差，并用最小二乘法和 遗传算法分别对测量数据进行了反演。 1．4本论文的内容安排 针对以上内容，本论文共分五章进行讨论．第一章是本文研究工作的背景 和意义，第二、三章是本文工作所涉及到的数值方法的简要介绍，第四章是本 文研究的主要工作。 第一章，讲述了本文的研究背景和意义，介绍了目前国内外测量波导模式 的方法以及存在的问题。在此基础上提出了本文解决问题的方法——基于辐射 场和遗传算法的过模波导中模式分析方法。 第二章，介绍了本文在计算波导辐射场所涉及到的数值方法——解析式法 和时域有限差分法(FiniteDifferenceTuneDomain,FDTD)；分析了波导内场的组 合方式后，提出了波导内复系数的概念。 传算法和最 为了由假设 合数据这类 果拟合的总 靠性，并和 比较，结果 行了讨论。 四川大学硕士学位论文 第二章本论文采用的计算波导辐射场的方法简介 对过模波导的辐射特性的研究可以有多种方法。如解析法和数值算法。解 析法就是根据Maxwell方程组以及惠更斯等效原理，将波导辐射场推导出来。 电磁场数值算法有很多常用的如有限元法、矩量法、差分法、边界元法、传输 线法、有限积分法、时域有限差分法等．这些算法都是建立在Maxwell方程组 之上的。其中有限元法、矩量法、差分法、边界元法、传输线法用在频域求解 上；有限积分法、时域有限差分法则用在时域求解上。本文采用两种方法计算 波导辐射场，解析法和时域有限差分法。两种方法的结果可以作为对比，而且 时域有限差分法能更好的研究电磁场的形成和辐射过程。 2．1解析式法 2．1．1波导模式 矩形波导是横截面为矩 形的空心金属管(参见图 2-1)。根据Maxwell方程组以 及矩形波导的边界条件，可以 知道这种单导体的空心波导 中不能存在TEM波，只能存在 TM波或TE波，属于色散波导 系统【”1． Y 图2-1矩形波导截面 图2-1所示的波导内部的场应该满足电磁场的波动方程，电磁场沿着z方 向传播能做到最小的衰减。假定在波导内场按e-，2变化，其中，．。"是传播常 数，口是衰减常数， 芦是相位常数“”．假定电磁波在波导中传播时没有衰减， 可以得到模式的表达式。 ‘ TE模 Hz-HnCOSk≯cosk,e“l却 02-la) 以一警风siⅡ亏声cos‘弦一脾 (2—1b) 四川大学硕士学位论文 H，Ij警H脚≯揪矿z E。．j可。．o．ukyHocosk≯衄kiye-鹏E|-j可 姒yye-㈣ Er一一jmu已k,,Hos．mk≯oosk，∥加 TM模 Ez-Eosinkzxsinkyfm 跏一j警E。瞄k≯如吣∥zK： 。 E，I—j警eo虹k≯瞄咿讲zEr一一j带如k≯coskryeI”z^． HlIj警吣ink，xcoskyyeⅢzHl_j昔Eqss‘㈤ H?I-j—o,Fek。Enmk≯cosk，矿z 式中‰磊由场的激励源确定·且t-詈，ky一了nJg· 《-《+蟛一(等分+争 艟肯的耪Ip沽耗百T叫田音’-正嘉呆 (2-1c) (2一ld) (2一le) (2—3) 长为A(波导内 ，也就是不可能 波导中都可能存 导，也就是波导 a b C d e 2 2 2 2 2 一 一 一 一 一 2 2 2 2 2 四川I大学硕士学位论文 的尺寸相对与工作的波长来说都 比较大，虽然提高了波导传播的功 率，但是也使得波导内的场的分布 · 更加复杂，即有较多的模式存在。 ． z●d 2d 2．1．2惠更斯等效原理 图2-2各模式的截止波长 如果一闭合体表面s上的场为己知，则S以外的场可由s面上的场计算。 惠更斯原理可用图2—3表示。 ‘ EH 自由空间 (乇) J=--tKXH L=—口．×E 图2-3惠更斯原理示意图(a)原问题；(b)等效问题 s面上的场在远处的辐射可以看成是由许多很小的惠更斯元拼接成的“”。 远处的辐射也就是构成它的许多惠更斯元所产 生的辐射场叠加的结果。图2．4表示的是在S 面上的一个惠更斯元在空间M点的辐射，将S 面上所有惠更斯元在M点的辐射叠加，就得到 了S面上的场在M点产生的辐射。 在无限大空间中，S面上的场在远处的辐 射可以表示为： 图2-4惠更斯元的辐射场 四川大学硕士学位论文 目=，去(1+cos口)P一归肌(马sin妒+Ecos妒如皿I，-々协 易=．，击(1+cos占弦啪fI：,-s矿一巨sin矿)e肛B协 Ir-r,l=x,sinOsincp+y,sinOcos尹 r≥2D2肌 (2-5) (2—6) (2-7) (2-8) 式中r为待测点M到原点的距离，h为待测点到面积元ds的距离。而，弘分别 为出在xy平面的坐标，D为波导开口处的最大线尺寸，A为工作波长。巨，毛 分别为S面上在x，Y方向的场。 2．1．3波导中的模式复系数 在式(扣1)和式(2—2)中‰，氏是场的激励源确定的系数；一厥是场滞 后的相位。这些系数在式(2—5)和式(2-6)的积分中只是系数而并不参与积 分，所以在模式分析中可以用础Ⅳ代替Hoe一肚或玩e一班。删Ⅳ就是波导中模 式的复系数，其中a为复系数的模值，≯为复系数的相位。一声z指的是某个模 式从产生而不断随z轴传播导致的相位滞后。在波导中并不是在同一个地方同 时产生每一种存在的模式，这样就导致一声z的意义的混乱；≯是在式(2-5)和 式(2—6)的积分中引入的，它的观察位置是在波导口处，它是相位差或相对相 位，是相对与在波导口处相位为0的模式的相位。耳P晶同样也是指的是某个 模式在产生由激励源确定模式的振幅；a则是模式在波导口处的振幅，但数值 上a要等于￡k或昂。引入复系数后，可以方便的简化了波导口处的场的分析。 有了复系数后，就可以将各种模式在波导中复杂的产生以及传播过程转变为观 察波导口处模式振幅和相对相位，而波导口处模式振幅和相对相位对改善功率 源的结构，从而获得满意的高功率输出具有重要的指导意义。 2．2时域有限差分法 时域有限差分方法是一种求解麦克斯韦(Maxwell)微分方程的直接时域方 法，在1966年由KS．Y如第一次提出∽。经过三十多年的发展已成为一种成 熟的数值方法，应用范围越来越广o”。 四川大学碗士学位论文 时域有限差分方法是将Maxwell旋度方程在直角坐标系中展开成六个标量 场分量的方程。再将问题空间沿三个轴向分成很多小的网格单元，每个网格长 度即为空间变元，相应得出时间交元。对每一轴向上的电磁场及Ⅳ分量在空间 和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个取或邱场分量周围有四个觑或司 场分量环绕，应用这种离散方式将包含时间变量的Maxwell旋度方程转化为一 组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。由于时域有限差分方 法采用时间和空间的中心差分对Maxwell方程直接离散化，因此在计算复杂结 构的电磁问题时具有极大的灵活性和准确性。 2．2．1Yee氏网格 时域有限差分方法算法采用 Ycc氏网格n耵，如图2．1所示。划 分网格的方法是将直角坐标系中 电场和磁场的各个分量在空间中 分离，每一个磁场(或电场)分量由 四个电场(或磁场)分量环绕。取样 方式不仅符合法拉第感应定律和 安培环路定律的自然结构，而且 也适合于MaxwcU方程的差分计 算，能够恰当地描述电磁场的传 播特性。 图撕Yea氏两格 2．2．2MaxweII旋度方程的有限差分展开 Maxwell方程组中的两个旋度方程是法拉第电磁感应定律和安培环路定律 的微分形式。假如问题空间是无源的，且媒质各向同性、线性、与时间无关， 但存在电和磁的损耗，则Maxwell方程可以写成下面的形式： V她叫詈(2-8a) VxH：仃E+￡罂 (2—8b) dt 四川大学硕士学位论文 在直角坐标系中，上两式可以化为六个标量方程： 亟。哥甄·O以H__z．y8t ay 吨) (2啕a)sl 以 ‘J ‘ 。 堡8t·詈(堡8z一丝Ox一鸣) (z啦)FI 7J 。 竖Ot文竖Ox号毗) (2_9c)FI a’， 4} ’ ’ 丝Ot-一三IZ愕一誓+吒以1 ㈣d)I妙 把 4 3J ‘ 堡8t·一爿鲁等+吒也) (2-瞄p＼拓 缸 4 7J ’ 。 监Ot--吉(堡8x一号+吒吃) (zⅧⅣl a'， “‘J 。 用，‰y，z，t)代表电场或磁场在直角坐标系中的某一分量，将问题空间沿 三个坐标轴向分成很多网格单元，用缸，缈和＆分别表示单元沿三个轴向的 长度，址表示时间增量。用有限差分离散式(2-9)中的六个方程，任意一个时间 和空问的函数可表示为： ，。(f’^k)1，(f缸，，△y，kAz，nat) (2-10) 这里f，，，k和再为整数。f，，，k是各分量的空间节点，n是时间步取样。 对，仅．v．z．n关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似。即： (2-11) 同时考虑到在时间上电场和磁场有半个时间步的差异，可以将(2-9)中的各式离 散化·对于沿z轴传播的二维砜波，分量E—E-Hx-0，则可由(2—9a)、(2—90 和(2訇得到z写。波的离散表达式： (2-12a) 叫n舭u七+争一CP，彤飞“--CQ·盥鼍芋业(2-12b) H2w(i+扣-CP孵％々1聃CQ‘业旦学幽∽12c) 1 aAt 1％△f At 其中’翻。i巫2e，。。i亘1’cP。i盘’CQ。i筮 一维和三维情况很容易由相似过程得到。 2．2．3数值稳定性分析 时域有限差分方法是以差分方程组的解来代替原来电磁场偏微分方程组的 解。只有离散后差分方程组的解是收敛和稳定的，这种代替才有意义．这种差 分格式的稳定性问题，即要求时间变量步长&与空间变量步长缸、△y和&之 间必须要满足一定的条件，否则将出现数值不稳定性。这种不稳定性表现为： 随着计算步数的增加，被计算场量的数值无限制地增大。其原因不同于误差的 积累，而是由于电磁波传播的因果关系被破坏而造成的。因此，为了用所导出 的差分方程进行稳定的计算，就需要合理地选取时间步长与空间步长之问的关 系。在三维时域有限差分方法中，数值稳定性条件为： At‘ 1 (2-13) 其中v一1，√石，是电磁波在媒质中的传播速度。上式又称为Courant靛 四川大学硕士学位论文 条件．若采用均匀立方体网格，即Ax。aymAz-As时，(2—6)有更简单的形式： At‘粤 (2—14) v43 如果计算空间中的媒质是不均匀的，那么稳定性条件对不同的媒质区域是 不同的，因为'，的取值不同，但由于稳定性条件是不等式，故只要选最大的条 件，在其他区域中自然得到满足。 2．2．4吸收边界条件 在时域有限差分方法的发展中，研究人员提出了多种吸收边界条件‘删， 其中比较有影响的有Mur、超吸收技术、PML等。Mur通过对波动方程的因式分 解获得了单行波方程，即吸收边界(AbsorbingBoundaryConditions，ABC)。 由于精确的单行波方程无法实施数值计算，Mur讨论了它的各阶近似算法以及 相应的差分格式，其二阶近似ABC是目前应用非常广泛的吸收边界条件。Mei 等人对Mur的吸收边界条件进行了分析，提出了一种修正算法一超吸收技术， 提高了吸收性能．Berenger从另一个角度对吸收边界进行了研究，提出了完全 匹配层(PerfectlyMatchedLayer，P虬)。完全匹配层技术很快就得到了重视 和发展。 Mur吸收边界在空间 的吸收虽然没有完全匹配 层吸收边界好，但是如果模 型中的电磁波是单向传播 时，Mur吸收边界和完全匹 配层吸收边界吸收效果几 乎相当。对于Mur吸收边 界，Mur二阶吸收边界要 比Mur一阶边界有所改善。 图2-6是Mur二阶吸收边界 和Mur一阶边界对不同角 度入射波的吸收伽． 毽 奄 埘 崔 聋 < 入射波角度 图2-6不同角度入射波的吸收的比较 四川大学硕士学位论文 本文研究的是波导内场的分布，主要模型是过模矩形波导。在波导口处或 者波导口后一个网格引入吸收边界，为了使电磁波在波导模型中有足够的空间 来模拟模式的产生以及传播，一般将波导的尺寸设为10个波长以上．而对于过 模波导中的模式一般只关心前3到5个模式，所以在模拟时波导的口径一般设 为只能传播3到5个模式，这就是说波导的口径对予波导的长度来说还是比较 小的。所以本文采用的是Mur二阶吸收边界条件，这样在保证吸收精度的同时 又减少了编程的复杂，消耗大量的内存和计算时间。 2．2．5连接边界条件一激励源的引入 用时域有限差分方法计算散射问题时通常将计算区域划分为总场区和散射 场区，总场区和散射场区交界面处各网格点的场值需要特殊处理，即借助连接 边界条件进行处 理。以二维情况为 例，在yi矗缈总 场边界处进行说 明，如图2-7所 示。 总场边界上 的电场E(，，‰) 属于总场，计算时 涉及的两个H，节 点分别为总场和 ～ 5下 —- 总场区一 O．1呵¨伪 、 I炜 ，^ ●也 。场边墅 幺杉哆幺杉予Z7 0-I／2．Io 、福黼蒜帮彳 量0 放射场区．ko-i／2)’1“11。‘”‘：3 、 ‘ L ／ 图2—7y=joAY总场边界附近网格 散射场，应在散射场节点加上入射波值；而t(，，‰一1／2)属于散射场，计算时 涉及的两个E节点分别为总场和散射场，应在总场节点扣除入射波值。相应的 时域有限差分方法差分方程变为： E“。^．‰)．E。丘‰，+等。vx且，】：+“：+等』!!!!：：：!{三：!二壹‘c2一。。， 彤训2(^‰一争-彤加(^氏一争一詈【vxEE+iAt兰羔鼍坠(2一16’ 文 算中，从而为本问题计算中激励 法——解析法和时域有限差分方 原理：Maxwell方程、惠更斯等 ——模式复系数。在介绍时域有 Yee氏网格；再次给出Maxwell 限差分方法在实际应用中的数值 的总场连接边界条件。 四川大学硕士学位论文 第三章本论文采用的分析模式的方法简介 通过测量波导的辐射场，就得到波导中电磁场的信息。根据电磁场的唯一 性定律，可以知道波导中的模式的组成和波导的辐射场有着一种一一对应的关 系。问题分为逆问题和正问题两种。简单的说，逆问题就是由果求因；正问题 则是由因求果。从波导的辐射场这一结果找到波导中的模式的组成这一原因其 实就是一种逆问题。从Maxwell方程建立至今，经典电磁场学已经发展了一百 多年，为电磁场正问题的求解提供了相当完善的理论体系，发展出了许许多多 的解析方法和数值方法。而电磁场中的逆问题至今仍然缺少相对成熟的理论体 系和快速可靠的算法嘲。 逆问题一般都存在病态(非适应)，就是说解的存在性、唯一性或者稳定 性不能得到满足。电磁场中的逆问题也具有这一特点。对于解的不唯一性和解 的不稳定性可以通过增加信息量来处理，所以在本文求解的算法中均采用了“超 定方程组”，也就是测量值的个数要大于所求的未知参数的个数。有些逆问题可 以直接求解，但大多时候是利用最小二乘原理将问题转化成最小值问题。由于 实际测量中不可避免的误差，有时会引起“第二极值点”的出现。近年来，以 遗传算法为代表的蒙特卡罗法在工程优化设计问题中得到了大量的应用，这是 因为应用蒙特卡罗法可以将复杂的逆问题求解转化为正问题求解，而且在求解 的每步迭代中都有(伪)随机数参与，使其列举量较穷举法小．本文采用了两 种方法求解波导中的模式复系数——遗传算法和最小二乘法，并且在结果上进 行了对比。 3．1遗传算法 3．1．1遗传算法简介 1962年，美国密执根大学的J0haHolland教授认识到生物群体的遗传、进 化和人工系统自适应间的相似性，因而借鉴生物遗传的基本理论来研究人工自 适应系统，并与Bagley等人一起提出了遗传算法的概念嘲．80年代后期、90 年代初期，遗传算法在算法的复杂性、收敛性、算法的混合形式等理论方面都 取得了重要的研究成果；在工程实践方面遗传算法也得到了最为广泛的应用。 四川大学硕士学位论文 遗传算法已在机械工程的优化设计、切削加工、制造过程规划、设备故障诊断， 自动控制的自适应控制、系统辨识、模糊控制、分类系统，人工智能的机器学 习、专家系统、神经网络，结构工程的结构设计，电工学科的电机、变压器和 电磁设备设计、电网规划、优化调度、潮流计算、电力系统控制，计算机学科 的并行计算、图像处理、模式识别、文档处理，电子学科的超大规模集成电路 设计，生物学科的分子生物学，计算数学的非线性规划、整数规划、组合规划， 社会科学的人口学、交通系统规划等领域都得到了初步成功的应用。 遗传算法是模拟生物界的遗传和进化过程而建立起来的一种搜索算法，体 现着“生存竞争、优胜劣汰、适者生存”的竞争机制。遗传算法的基本思想是 从一组随机产生的初始解，即“种群’，开始进行搜索。种群中的每一个个体， 即问题的一个解，称为“基因”；遗传算法通过基因的“适应值”来评价基因的 好坏，适应值大的基因被选择的几率高、相反，适应值小的基因被选择的几率 小，被选择的基因进人下—代；下—代中的基因通过交叉和变异等遗传操作， 产生新的基因，即“后代”，经过若干代之后．算法收敛于最好的基因，该基因 就是问题的最优解或近优解⋯1。 遗传算法的运行过程可用如下步骤进行表述： (1)随机产生初始种群； ’ (2)以适应度函数对基因进行评价； (3)选择高适应值的基因进入下—代； (4)通过遗传、变异操作产生新的染色体； (5)不断重复第(2)一(4)步，直到顶定的进化代数； 遗传算法在解决组合优化问题时能大大减少搜索时间m’。而对于将电磁场 的逆问题转正问题来说一般存在着搜索空间巨大的情况，所以要求算法必须能 够适用这种情况．遗传算法是基于蒙特卡罗法的算法，它能很好的处理搜索空 间巨大的情况。例如遗传算法优化货郎担问题。货郎担问题是组合优化领域中 的一个典型问题，涉及求多个变量的函数最小值。其可能的路径条数是F随着 城市的数目疗成指数型增长的，这类组合优化问题称之为NP完全问题。 假设一个城市的数目为20的货郎担问题，如果将所有的路径计算一次，将 要计算191／2(60822550204416000)次，函数空间比较大，如果用穷举法，需 要一台奔腾4的计算机计算l天左右的时间。在遗传算法的遗传代数设为3000 四川大学硕士学位论文 代，运行遗传算法5次，每次均能得到图3—2结果，每次需要时间大概是lC 分钟左右。 ‘ 假设每个城市的坐标为表3-1所示 表3．1每个城市的坐标 城市 X坐标 y坐标 城市 x坐标 y坐标 A 5．294 1．558 K 4．399 1．194 B 4．286 3．622 L 4．660 2．949 C 4．719 2．774 M 1．232 6．440 D 4．185 2．230 N 5．036 O．244 E 0．915 3．821 ，O 2．710 3．140 F 4．771 6．041 P 1．072 3．454 G 1．524 2．871 0 5．885 6．203 H 3．447 2．111 R 0．194 1．862 I 3．718 3．665 S 1．762 2．693 J 2．649 2．556 T 2．682 6．097 每个城市在坐标中位置如图3-1，经自编遗传算法计算最佳路径如图3-2。 X 图3-1城市在坐标中的位置 ● ' z ， ● ● ● o 图3-2遗传算法计算最佳路径 假定路径的起始点为A城市，将所有城市的一个排列表示为一种基因。例 如图3—2中最佳路径的基因为ACLBIQFTMEPRGSOJ}IDKNA，由于路径的对称性基 四川大学硕士学位论文 因也表示为ANKDHJOSGRPEMTFQIBLCA。杂交算子、变异算子、复制算子是传统 遗传算法中比较重要的算子，也是传统遗传算法比较灵活的算子。对于不同的 问题可以对这几个算子进行改进，使传统遗传算法可以对具体问题更有针对性。 在本文优化货郎担问题程序中对传统遗传算法中几个重要的算子的改进。 1，杂交算子 选取杂交的父母 callrandom_number(ran) couple=int(ran*O．45*npopsiz)+11杂交概率为0．45 if(mod(couple，2．)／-O)then if(couple>1)couple=couple--I endif if(couple<=2．and．couple>=1)couple=couple+l dok=l。couple／2 callrandom_number(ran) matel=int(ran*npopsiz)+l 3 callrandom_number(ran)． mate2=int(ran*npopsiz)+l if(matel一---mate2)goto3 ． 产生的一个子代 callrandom_number(ran) sizel=int(ran*ncity)+1 4size2=int(ran*ncity)+1 if(sizel>size2)goto4 ， doi=l，ncity+l ichild(i。matel)=iparent(i，matel) if(i>=sizel．and．i<=size2)ichild(i，matel)=iparent(i，mate2) enddo ’ doi=2，ncity dos=sizel，size2 if(iparent(s，mate2)=iparent(i，matel)) 120． 产生的另一个子代 doi=1．ncity+l ichild(i，mate2)=iparent(i。mate2) if(i>=sizel．and．i<=size2)ichild(i，mate2)=iparent(i，眦tel) enddo doi=2，ncity ． dos=sizel，size2 if(iparent(s，matel)==iparent(i，mate2)) ichild(i。mate2)=iparent(S，mate2) enddo enddo doi=1．ncity+l iparent(i，陋te2)=ichild(i，mate2) enddo enddo 在产生子代时，可以有一个或者两个子代。产生两个子代有利于编程时保持种 群的规模。 2，变异算子 doj=1．npopsiz dok=l。ncity*O．251突变概率0．25 callrandom_number(ran) matel=int(ran*(ncity．2))+2 ． 2 callrandomnumber(ran) mate2=int(ran*(ncity．2))+2 ．21． if(matel一-mate2 temp=iparent(mat iparent(matel，j) iparent(mate2，j) enddo enddo 在试验中可以根据需 以减小搜索时陷入函 率设为自适应的变量 这样可以提高产生的 为较小的值，可以加快种群的收敛。 3，复制算子 在程序中将父代中最好的个体直接保留在子代中，这样可以加快种群的收 敛。 4，适应值 适应值是遗传算法中一个比较重要的部分，也是和具体优化的问题联系最 为密切的部分。适应度值的大小，实际上就是基因在环境里的适应能力。适应 度值大的基因，就是最能适应环境的基因，也就是最接近问题中所要搜索的最 优化结果的基因。经常用到以下四种适应值度量。 (1)原始适应值 原始适应值是一种用问题本身惯常的术语表示的适应值度量。在上文提到 的货郎担问题中，其适应值就可以是经过完所有城市所走过的路程。路程越小， 适应值就越大．原始适应值有着最直接的物理意义，所以使用原始适应值能最 直观的反映基因在环境中的适应能力。 (2)化适应值 原始适应值是用问题本身物理意义来表示的，所以一般会出现两种情况， 一种是原始适应值越小越好；另一种是原始适应值越大越好。为了把这两种情 况统一起来，所以在原始适应值的基础上引入了标准化适应值概念。标准化适 应值也就是原始适应值的绝对值。 (3)调整适应值 四川大学硕士学位论文 如果一问题要求最大值，而又希望适应值的范围在0到l之间，这样有利 于编写程序，这样就需要调整适应值。在这种情况下，调整适应值可以设为标 准化适应值的倒数． (4)正规化适应值 正规化适应值应满足以下两条性质； (a)它在0与1之间变化： (b)群体中个体的正规化适应值越大，则个体基因越好。 这样归一化的适应值在遗传算法的编程过程中是极为方便的，而且在表现 遗传思想中也是最为直接的。 在本文中的货郎担问题以及本文方法中使用的就是正规化适应值，而且都 是取e的指数形式将适应值约束在0与l之间变化。 3．1．2遗传算法在模式分析中的应用 由辐射场计算波导口径面上的电磁场分布是电磁场逆问题，它存在病态和 伪逆。使用内积原理处理这类逆问题的病态和伪逆问题时需要测量辐射场的幅 度、相位，而且最后导出的线性方程组条件数巨大。遗传算法是一种借鉴生物 界自然选择和自然遗传机制的高度并行、随机、自适应搜索算法，主要用于处 理最优化问题和机器学习，尤其适用于处理传统方法无法解决的复杂、非线性 问题。本文在反演过模波导中各模式的复系数时，采用遗传算法搜索最优的匹 配，从而避免了直接求解病态的逆问题，而将病态逆问题的求解转换为基于求 解正问题的搜索最优问题。 遗传算法应用于搜索最优模式的复系数的基本流程如图3-3。 (1)将波导中模式复系数的计算过程转换为一个搜索寻优过程，即在所有可能 的复系数组合中，寻找与辐射场测量值最吻合的复系数。再据此定义适应度函 数，一般可定义为测量点上辐射场的计算值与测量值之差． (2)在解空间内，随机产生一定数量的个体(称为染色体)。每个个体代表一种 可能的复系数，个体的适应度值越高，就说明该复系数越能和实际的复系数吻 合。 ． (3)利用辐射场正问题计算(假设复系数，计算测量点上的辐射场值)，得到每 个个体的适应度。 四川大学硕士学位论文 (4)通过复制(Pr)、杂交(Pc)、 和变异算子(Pm)等操作产生新 一代个体，新一代个体具有更 高的平均适应度。 (5)重复以上迭代过程，直到 适应度值满足要求的个体出现 或达到迭代次数。 传统的遗传算法在研究 中，往往把算法设计的很稳健， 即使用于大多数的问题，遗传 算子不包含关于搜索区域的任 何知识。在本文问题中，由于 涉及的参数多，搜索空间大， 用传统的遗传算法要花费太多 的时间，所以对传统的遗传算 图3_3程序流程图 法进行了改进。在实际工作中，．发现传统遗传算法主要是搜索到后期时收敛太 慢，因此在算法上针对这情况进行了改进．在本文问题中，为了加快搜索后期 的收敛，在程序中加入了爬山法，就是说本文设计了一种适用于模式分析的混 合遗传算法进行搜索． 3．2最Ib--乘法 3．2．1最小二乘法简介 。 最小二乘法是一个比较古老的方法，早在十八世纪Gasuss就首先创立并成 功地应用于天文观测和大地测量工作中嘲。此后的二百年来，它己广泛应用于 科学实验与工程技术中。随着现代电子计算机的迅速发展，这个古老方法更加 显示出其强大的生命力，它在曲线拟合、函数逼近、数据处理、方差分析与回 归分析中都经常应用．特别当前特别活跃的--fl新兴学科最优化技术中，最小 二乘法大有用武之地，它是求解一切平方和形式的目标函数的最优解的一个基 本方法。 最小二乘法的基本原理就是：若，与自变量z及参数以⋯，抚之间有函数 四川大学硕士学位论文 关系 y一，0，6l，．．．，札) 为了确定玩⋯，既的值，通过实验测量到k组数据(勋巾，(勋乃1)，⋯， (甩，儿．)，只要观测点数膏大于待定参数的个数／7,则列出的方程组的个数七 就大于未知数的个数／7，即得出超定方程组。由于数据的误差和表达式的不精 确等原因，，与观测值且一般已不完全相同的。它们之间的差 ‘·yl一)ft咒一，(而，6l，⋯，屯)G-1,2,⋯，七) (3-1) 称为残差，简记为 r-)，-y。一)，一，OL6) (3—2) 其中，，-也，r2，⋯，‘)7 6一@，62，．．．，吃)7 f(x，6)-(，(畸，6)，，O吐，6)9o．．9，(吆，6))7 残差向量，的欧氏范数为 H12-[料 伊s， 很明显，残数表示了拟合的误差·因此㈣：最小时就可以求出参数6，使 ∑[咒一，“，6)】-rain(3-4) 这就是所谓的最小二乘法，几何语言也称最小二乘曲线拟合嘲． 3．2．2最小二乘法在模式分析中的应用 最小二乘法将电磁场中的逆问题转化成