复习指津
零点中参数取值的求解
广东清远市连山高级中学(513200) 肖骑兵
高中新课标下的函数的零点主要解决三个方面问
题 :一、连续函数零点的存在性 ;二、连续函数零点个数
的判定;三、求连续函数零点的近似解(二分法).在以上
三个问题的考查中,常常涉及到参数取值范围的求解,
主要从问题的逆向方面进行考查,因此,大多数学生考
虑不全面甚至无从下笔.这类问题是目前新课标下高考
的重点、难点、热点 ,如何引导学生解决这类问题?笔者
认为应从两方面人手.
一
、深刻理解连续函数零点判定定理
连续函数零点判定定理:如果函数 一厂( )在区间
[。,6]上的图像是连续不断地一条曲线,并且有 -厂(n)·
厂(6)
O.因此,在定理中,_厂(n)·厂(6)<0是函数 一厂(z)在
区间(口,6)内有零点 的充分不必要条件 ,并不是充要条
件.
二、充分掌握数学思想方法
(一)化归的思想方法
所谓化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学
问题中采用某种数学手段将问题通过变化使之转化,进
而得到解决的一种方法.
【例 1】 已知函数 -厂( )一z 一僦 +2m~2,若函数
厂( )在[0,昔]上存在零点,求实数m的取值范围.
解:‘.‘0≤,2C≤昔,.‘. 一m.2c+2m一2—0,即 m一
9 z一 9
.TC"-- Z
. 设函数 g(z)一 x--2,厂( )在[o,号]上存在零
点,.。..z 一袱 +2m一2—0在Eo,昔]有解,.。.求m的取
值范围化归为求函数g(z)一 (z∈Eo,号])的值
域.
g ( )一每 ,令gf( )一O,.‘ 一2±厄
当xE Eo,z-42)时,g (z)>o;当xE(2—42, ]
时,g (Iz)<0.
又‘.‘g(2一√2)=4--2√2,g(0)一1,g(号)一一百31.,
.
’
. 一 寺≤g(1z)≤4—2√2,. .一寺≤m≤4—2√2.
点评 :学生在 思考此题 时,往往从分类讨论的角度
寻求解题思路,解法较为复杂,很难兼顾全面.此题利用
化归的思想方法将参数的取值范围转化为函数的值域
ZItONGXUE JtAOXlJE CANKAO
问题,从而实现化难为易、化繁为简的 目的.
(二)分类讨论的思想方法
分类讨论的基本思路是“化整为零,各个击破”.
【例 2】 若函数,( )~-2a.7c。一z一1在区问[一1,1]
上有且只有一个零点,求实数 a的取值范围.
解:厂(z)一2ax 一z一1在区间[一1,1]上有且只有
一 个零点,.。.方程 2ax 一z~1—0在区间[一1,1]上有
且只有一个根.
(1)当a=0时,方程的根 z一一1,。.。z∈[一1,1],
.
。
.a=0符合题意;
1
(2)当 n≠0,△一0时,a一一音,方程的根 -z—
O
1
-- 2 [一1,1],.‘.n一一告不符合题意;
U
(3)当 a=/=0,A>0时,方程在区间[一1,1]上有且只
有一个根,即 厂(一1)· (1)≤O,.。.0<口≤1.
综合(1)(2)(3)知 ,a的取值范围为 O≤a≤1.
点评:此题与例 1有很大的差异性,已知零点的个
数求参数的取值范围不适合例 1中化归的思想方法.此
题在分类讨论 中要保证分类科学、统一,力争做到不重
复、不遗漏.
(三 )数形结合的思想方法
【例 3】 若函数 -厂(z)一l 32。一4xl+n有 4个零点,
求实数 n的取值范围.
解 :函数 厂( )一 l z 一4x l+a有 4个零点㈢方程
f.22 --4xf+a=0有 4个根 方程 f --4xf一一。有 4个
根.
设函数 g(z)一1.7C。--4xl, (1z)一--a,.’.方程 l 一
4-zl一一日有 4个根甘函数 g(x)和m(x)的图像有4个
交点.函数g(z)一},2C。一4xl与 (z)一一口的图像如下
图所示:
y
t \ g ):I ≠ I |
| l V re(x)一n
0 4 ,
从图像可知,0<一口<4,即一4分析知 ,在深刻理解连续函数零点判定
定理的条件下,充分利用数学思想方法,合理选择数学
思想方法,就能准确无误地求出与函数零点有关的参数
取值范围.
’ (责任编辑 金 铃)
咖
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3
6
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k
k
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X
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