函数零点中参数取值的求解

复习指津 函数零点中参数取值的求解 广东清远市连山高级中学(513200) 肖骑兵 高中新课标下的函数的零点主要解决三个方面问 题 ：一、连续函数零点的存在性 ；二、连续函数零点个数 的判定；三、求连续函数零点的近似解(二分法)．在以上 三个问题的考查中，常常涉及到参数取值范围的求解， 主要从问题的逆向方面进行考查，因此，大多数学生考 虑不全面甚至无从下笔．这类问题是目前新课标下高考 的重点、难点、热点 ，如何引导学生解决这类问题?笔者 认为应从两方面人手． 一 、深刻理解连续函数零点判定定理 连续函数零点判定定理：如果函数 一厂( )在区间 [。，6]上的图像是连续不断地一条曲线，并且有 -厂(n)· 厂(6)O．因此，在定理中，_厂(n)·厂(6)<0是函数 一厂(z)在 区间(口，6)内有零点 的充分不必要条件 ，并不是充要条 件． 二、充分掌握数学思想方法 (一)化归的思想方法 所谓化归的思想方法，就是在研究和解决有关数学 问题中采用某种数学手段将问题通过变化使之转化，进 而得到解决的一种方法． 【例 1】 已知函数 -厂( )一z 一僦 +2m～2，若函数 厂( )在[0，昔]上存在零点，求实数m的取值范围． 解：‘．‘0≤,2C≤昔，．‘． 一m．2c+2m一2—0，即 m一 9 z一 9 ．TC"-- Z ． 设函数 g(z)一 x--2，厂( )在[o，号]上存在零 点，．。．．z 一袱 +2m一2—0在Eo，昔]有解，．。．求m的取 值范围化归为求函数g(z)一 (z∈Eo，号])的值 域． g ( )一每 ，令gf( )一O，．‘ 一2±厄 当xE Eo，z-42)时，g (z)>o；当xE(2—42， ] 时，g (Iz)<0． 又‘．‘g(2一√2)=4--2√2，g(0)一1，g(号)一一百31．， ． ’ ． 一 寺≤g(1z)≤4—2√2，． ．一寺≤m≤4—2√2． 点评 ：学生在 思考此题 时，往往从分类讨论的角度 寻求解题思路，解法较为复杂，很难兼顾全面．此题利用 化归的思想方法将参数的取值范围转化为函数的值域 ZItONGXUE JtAOXlJE CANKAO 问题，从而实现化难为易、化繁为简的 目的． (二)分类讨论的思想方法 分类讨论的基本思路是“化整为零，各个击破”． 【例 2】 若函数，( )~-2a．7c。一z一1在区问[一1，1] 上有且只有一个零点，求实数 a的取值范围． 解：厂(z)一2ax 一z一1在区间[一1，1]上有且只有 一 个零点，．。．方程 2ax 一z～1—0在区间[一1，1]上有 且只有一个根． (1)当a=0时，方程的根 z一一1，。．。z∈[一1，1]， ． 。 ．a=0符合题意； 1 (2)当 n≠0，△一0时，a一一音，方程的根 -z— O 1 -- 2 [一1，1]，．‘．n一一告不符合题意； U (3)当 a=／=0，A>0时，方程在区间[一1，1]上有且只 有一个根，即 厂(一1)· (1)≤O，．。．0<口≤1． 综合(1)(2)(3)知 ，a的取值范围为 O≤a≤1． 点评：此题与例 1有很大的差异性，已知零点的个 数求参数的取值范围不适合例 1中化归的思想方法．此 题在分类讨论 中要保证分类科学、统一，力争做到不重 复、不遗漏． (三 )数形结合的思想方法 【例 3】 若函数 -厂(z)一l 32。一4xl+n有 4个零点， 求实数 n的取值范围． 解 ：函数 厂( )一 l z 一4x l+a有 4个零点㈢方程 f．22 --4xf+a=0有 4个根 方程 f --4xf一一。有 4个 根． 设函数 g(z)一1．7C。--4xl， (1z)一--a，．’．方程 l 一 4-zl一一日有 4个根甘函数 g(x)和m(x)的图像有4个 交点．函数g(z)一},2C。一4xl与 (z)一一口的图像如下 图所示： y t ＼ g )：I ≠ I | | l V re(x)一n 0 4 ， 从图像可知，0<一口<4，即一4