函数零点问题中参数取值的求解

16 数学通讯——2O10年第 4期 (上半月) ·辅教 导学 · 函数零点问题中参数取值的求解 肖骑兵 (广东省清远市连山高级中学，513200) 函数的零点主要涉及三个方面的问题：连续 函数零点的存在性；连续函数零点个数的判定 ；求 连续函数零点的近似解(二分法)．在以上三个问 题的考查中，常常涉及到参数取值范围的求解，主 要从问题的逆 向方面进行考察．这类 问题是 目前 新课标下的重点、难点、热点，如何引导学生 解决这类问题?笔者认为应从两方面人手． 1．深刻理解连续函数零点判定定理 例 1 已知 厂(z)一 z 一16x+q+3，若函数 (z)在[一1，9]上存在零点，求 q的取值范围． 很多学生这样来解： ‘ ．‘函数厂( )在[一1，9]上存在零点， ． ’ ． 厂(一 1)·厂(9)≤ 0． 又 厂(一 1)一 q+20，厂(9)一 q一60， ． 。 ． (q+20)·(q一60)≤ 0， ． ‘ ． 一 2O≤ q≤ 60． 这种解法是错误 的． 不妨先来看看连续 函数零点判定定理 ：如果 函数 Y一_厂(z)在区间[n，6]上的图象是连续不断 的一条曲线 ，并且有 f(a)· (6)< 0，那么，函数 Y 一 厂(z)在区间(口，6)内有零点． 此定理告诉我们，f(a)·f(b)<0是函数Y一 厂(z)在区间(a，6)内有零点的充分条件，可以说 明它并不是必要条件．例如 ：_厂(z)一z 一2x一3在 区间(一2，4)内有零点 一1和 3，但 厂(一2)· (4) > 0．因此，在定理中，厂(n)·厂(6)< 0是函数 Y=== ．厂(z)在区间(a，6)内有零点的充分不必要条件， 并不是充要条件．上面 的解法 错误地将条件 厂(一1)·厂(9)≤0看作函数厂( )在[一1，9]上存 在零点的充要条件． 正确的解答如下 ：因为 厂(z)一 (z一8) +q一 61，它在[一1，9]上的最大值为 厂(一1)=q+20， 最小值为 厂(8)一q一61，因为厂(z)在[一1，9]上 存在零点 ，所 以f(--1)·厂(8)≤ o，即(口+20)(g一 61)≤ 0，所以 一2O≤ q≤ 61． 2．充分掌握数学思想方法 2．1 化归的思想方法 所谓化归 的思想方法，就是在研究和解决有 关数学问题中采用某种数学手段将问题通过变化 使之转化为新 的问题 ，进而得到解决的一种方法． 例2 已知函数厂(z)一z。一17k7C+2m一2，若 函数 (z)在[0，要]上存在零点，求实数m的取值 范围． 解 ’．‘0≤ ≤要 ．由z 一眦 +2m--2= z 一 9 0可得 m一 — ． 山 设函数g( )一善三 ，厂(z)在[o，号]上存 在零点∞ 一撇+2m一2一。在[0，要]有解． 所以，求 的取值范围化归为求函数g(z)一 譬三 ， ∈[0， 3]的值域． g )一 ，令 gl(z)= 。， 得 z一2土厄 当z∈[o，2一 )时，g ( )> 0； 当z∈(2—4-g，要]时，gl(z)<0． 又 ．‘g(2一 )一 4— 2 ，g(0)= 1， gc导 一号， ． · ． 一 t≤ g( )≤ 4— 2 ， · 辅教导学 · 数学通讯一 2010年第 4期(上半月) 17 ． ’ ． 一 ÷ ≤ ≤ 4—2√2． 点评 学生在思考此题 时，往往从分类讨论 的角度寻求解题思路，解法较为复杂，很难兼顾全 面．此题利用化归的思想方法将参数 m的取值范 围转化为函数g( )的值域问题，从而实现化难为 易 ，化繁为简的目的． 也可按如下思路求 函数 g(z)= ，z∈ Eo，要]的值域，因为g(z)一 二 一z+2+ — — 一 4～[(2一z)+ ]，故可先求函数 (^￡) =￡+÷，￡∈[专，23的值域． 2．2 分类讨论的思想方法 分类讨论的思想方法就是将数学问题进行分 类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的 方法．它的基本思路是“化整为零，各个击破”． 例 3 若函数 (z)一2ax 一 一1在区间 [一1，1]上有且只有一个零点，求实数a的取值范 围． 解 ，(z)一2ax 一 一1在区间[一1，1]上 有且只有一个零点 ㈢ 方程 2ax。一z一1— 0在区 间[一1，1]上有且只有一个根． (1)当 口一 0时，方程 2ax。一z一 1： 0即 一z一1—0有一个根 一～l，而一1∈[一1，1]， ． ‘ ．口一0符合题意． (2)当 日≠ 0时，由方程 2ax。～ 一1= 0得 2ax 一 十1，对于一切 ∈ [一1，1]，有 +1≥ 0，而方程2ax。=z+1在[一1，1]上有解，从而必 有 a>0，此时，易知函数 (z)一2ax 一z一1在 [一1，0]上单调递减，且 厂(一1)一 2a> 0， (O) 一 一 1<0，所以厂( )=2ax 一z一1在区间[一1， 0]上恰有一个零点．又，( )===2ax 一z一1在区 间[一1，17上只有一个零点，故有 _厂(1)< 0，即2口 一 2< 0，所以 0< 口< 1。 综合可知，n的取值范围为 0≤ n< 1． 点评 此题与例 2有很大的差异性，已知零 点的个数求参数的取值范围不适合例 2中化归的 思想方法．此题在分类讨论中要保证分类科学、统 一 ，力争做到不重复、不遗漏．在数学学习过程中 善于运用这种思想方法，有利于培养学生分析问 题和解决 问题 的能力． 3．数形结合的思想方法 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系 与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以 形助数”或“以数解形”，可以使复杂问题简单化， 抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 例 4 若函数 ，( ) 一 I z 一4z l+口有 4个 零点 ，求 实 数 n的取 值 范围． 解 函数 _厂( )一 I z。一4x I+n有4个零点 甘方程I z 一4x I+口=0 y J ⋯ ： Y 一 = 一 l f 一 一 - 。 4x 0 一 2 4 图 l 有4个根甘方程I z 一4 I一一a有4个根．设函 数 g( )： I z 一4x l，re(x)一一口，．’．方程 l z 一4z l一一n有4个根 函数Y—g(z)和Y — (z)的图象有 4个交点． 函数Y—g(z)一 I 一4x I与Y—m(z)一 一 n的图象如图 1所示，从图象可以看出：函数 厂( )一1 z。一4x I+口有 4个零点 ∞0<一n< 4， 即一 4< 口< 0． 点评 此题与例 3类似，但若利用分类讨论 的思想方法不知从何角度分类，利用数形结合的 思想方法从图象直观地看 出交点 的个数 ，能够顺 利地实现问题的求解． 通过以上的分析 可知 ，在深刻理解连续 函数 零点判定定理的条件下，合理选择数学思想方法 ， 就能准确无误地解决与函数零点有关的参数取值 范围问题． (收稿 日期 ：2009—11—02)