薄板小挠度弯曲(更新)

同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 第九章 薄板小挠度弯曲 薄板是土木工程中常用的一种构件，例如房屋结构中大量采用的混凝土楼盖结构，中须分析 板内的弯矩分布，为板的配筋设计提供依据，根据薄板形状以及受力的特点，它在弯曲变形时，属于 空间问题，要获得其精确解是很困难的, 因此，在分析薄板弯曲问题时，除了弹性力学的基本假设以 外，需引用一些关于应变和应力分布规律的附加假设，使问题得到简化。在这些计算假设的基础上建 立一套完整的薄板弯曲理论，可以用来计算工程中的薄板问题，计算精度满足工程要求。本章就对这 种薄板弯曲的小挠度理论作一介绍。 §9-1 基本概念及计算假定 （1）基本概念 如图 9-1 的板，板厚度为 t，板的最小宽度为 b，平分板厚的平面称为中面，坐标平面 xoy 与中 面重合，对于不同厚度的板，作如下的分类： （A） 1 80 t < b时，板非常薄，称之为薄膜，板只能在其平面内承受张力，因板的抗弯刚度很小， 不能承受弯矩； （B） 80 5 b bt≤ ≤ 时，称之为薄板，板可在其平面内承受张力（或压力），因板具有一定的抗弯刚 度，可承受弯矩作用，结构工程中绝大多数的板都属于薄板； （C） 1 5 t > b时，称之为厚板，如基础工程中的桩筏（满堂红承台）就属于厚板，此类问题不在 本书的讨论范围内。 图 9-1 作用在薄板上的力总可以分解为二个：（A）作用在板平面内的力，这一问题可归结为平面应力问 题，可根据第三~五章的内容进行求解； （B）垂直于板面的力，这类力会使板产生垂直于板面（z 轴方向）的位移，属于板的弯曲问题，也是本章要讨论的问题。 当薄板弯曲时，中面所形成的曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在横向的(即垂直于中 面方向的)位移 ，称为挠度。 w 根据板挠度的大小，可分下列两个问题： （A）挠度w 1 5 t≤ 时，符合小变形假设，为小挠度问题，结构工程中常见的板弯曲问题绝大数为 小挠度问题； （B）挠度w 1 5 t> 时，不符合小变形假设，为大挠度问题，属非线性力学的范畴，这一问题已 超出了本书的研究范围。 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） （2）计算假定（Kirchhoff-Love 假定）： （A） 变形前垂直于板中面的直线段(法线)在变形后仍保持为直线,并垂直于变形后的中面,且其 长度不变，称为直法线假定，见图 9-2，法线变形包括向下的位移 及刚性转动，与材料力学的平截 面假设相似。根据此假设，有 w 0zε = 及 0zx zyγ γ= = （设板内的水平剪应力 ,zx zyτ τ 引起的形变不计， 但剪应力本身并不为零，它们是维持平衡所必需的）。 图 9-2 （B）与 , ,x y xyσ σ τ 相比， zσ 小得多，在计算变形时可忽略不计，即板内纵向纤维无挤压，与梁 弯曲问题中的纵向纤维间无挤压的假设相似。 （C）薄板中面在平面内的位移为零： 0 0 z u = = ， 0 0zv = = （法线的中点无水平位移），板的挠度 ，与 z无关。 ( , )w w x y= §9-2 基本关系式与弹性曲面方程 如图 9-3 的矩形板，板上面受面荷载 的作用，设体力 X=Y=Z=0，实际应用时，体力可 化为外荷载。 ( , )q x y 图 9-3 由计算假定（A） 0zx zyγ γ= = 10 (u w u w wu z f xz x z x x , )y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − ⋅ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , 又由计 算假定（C） 0 0 z u = = ( )1 ,f x y⇒ 0= ，于是： wu z x ∂= − ⋅∂ (9.1) 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 同理： wv y z∂= − ⋅∂ (9.2) 所以： 2 2 2 2 2 ( ) 2 x y xy u w z z x x x x v w z y y u v w z y x x y ε ε γ ⎫∂ ∂ ∂ ∂= = − = − w ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ⎪⎪∂ ∂ ⎪= = − ⎬∂ ∂ ⎪⎪∂ ∂ ∂= + = − ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ⎪⎭ (9.3) 将(9.3)式代入物理方程： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1 1 ( ) ( 1 1 2(1 ) 1 x x y y y x xy xy E Ez w x y E Ez w y x E Ez w x y σ ε νε νν ν σ ε νε νν ν τ γν ν ⎫∂ ∂= + = − + 2 2 ) ) w w ⎪− − ∂ ∂ ⎪⎪∂ ∂ ⎪= + = − + ⎬− − ∂ ∂ ⎪⎪∂= = − ⎪+ + ∂ ∂ ⎪⎭ (9.4) 将（9.4）式代入第一个平衡方程得： 3 3 3 2 3 2 2( )1 1 xzEz w w Ez w x x y x y z τνν ν ∂∂ ∂ ∂− + − +− ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ 0= (a) 即： 22 ((1 ) xz Ez w z x )τ ν ∂ ∂= ⋅ ∇∂ − ∂ (b) 积分上式并利用边界条件 2 2 0zx t xz tz zτ τ=± =±= = ，得： 2 2 2 ( ) (2(1 ) 4xz E t 2 )z w x τ ν ∂= ⋅ − ⋅ ∇− ∂ (9.5) 同理，将（9.4）式代入第二个平衡方程可得： 2 2 2 ( ) (2(1 ) 4yz E t 2 )z w y τ ν ∂= ⋅ − ⋅ ∇− ∂ (9.6) 需要说明的是， 0, 0xz yzτ τ≠ ≠ ，它们是维持平衡所必需的，但它们引起的形变 ,zx zyγ γ 与其他形变 相比很小，可以略去不计（假设（A））。 将(9.5) (9.6)二式代入第三个平衡方程得： 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） yzxzz z x y ττσ ∂∂∂ = − −∂ ∂ ∂ 2 2 4 2 ( )2(1 ) 4 E t z wν= ⋅ − ⋅∇− (c) 对(c)式积分，并利用边界条件 2 0z tzσ = = （下表面荷载为 0），得： 3 2 2 1( ) (1 ) 6(1 ) 2z Et z z w t t σ ν= − − + ⋅∇− � 4 (9.7) 最后，由边界条件： 2 z tz qσ =− = − ，得： 4 qw D ∇ = (9.8) 式中： 3 212(1 ) EtD ν= − （9.9） (9.8)式即为薄板受荷载时的弹性曲面方程，（9.9）式 D 称为薄板的弯曲刚度，它的单位是[力][长 度]。根据方程(9.8)及板边上的支撑边界条件，就可得到挠度 的函数，回代前面(9.1)—（9.7） 式就可得位移、应力与应变的函数。 w §9-3 薄板横截面上的内力表达式 由上节得到的应力解答一般很难精确满足边界条件，只能由 Saint-Venant 原理，由内力来近似 满足边界条件。工程上也习惯采用内力（单位长度上的内力）来进行计算,在结构设计上更为方便。 图 9-4 任取一边长为 dx,dy 的薄板微体，见图 9-4 的平行六面体，设单位板宽内的内力为 ,x yM M , ,xy yxM M , 。板截面上分别作用有应力,xQ Qy , , , , ,x y xy yx xz yzσ σ τ τ τ τ （见图中阴影部分）， 图 9-4 中的方向为正向, 其中 , , ,x y xy yxσ σ τ τ 都与坐标 z成正比，为 z的奇函数，所以在宽度 dy 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 的截面上， xσ 的作用效果仅有弯矩，轴力为零，弯矩为： 2 2 t x x t M dy zdz dyσ − × = ×∫ （a） 所以： 2 2 t x x t M zdzσ − = ∫ （b） 同理有： 2 2 t y y t M zdzσ − = ∫ （c） 2 2 t xy yx xy t M M zτ − = = ∫ dz （d） 而 ,xz yzτ τ 为坐标 z的二次函数，其作用效果为剪力，单位板宽内的剪力为： 2 2 t x xz t Q τ − = dz∫ （e） 2 2 t y yz t Q τ − = dz∫ （f） 将 , , ,x y xy xzσ σ τ τ 的位移表达式(9.4)—（9.7）代入上面(b)—（f）各式有： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (1 ) x y xy yx x y w wM D v x y w wM D v y x wM M D v x y Q D w x Q D w y ⎫∂ ∂= − + ⎪∂ ∂ ⎪⎪∂ ∂= − + ⎪∂ ∂ ⎪⎪∂ ⎪= = − − ⎬∂ ∂ ⎪⎪∂= − ∇ ⎪∂ ⎪∂ ⎪= − ∇ ⎪∂ ⎪⎭ （9.10） 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） §9-4 薄板横截面上的内力平衡方程 取如图 9-5 边长为 dx 和 dy,高为 t 的矩形微分板单元体, 其四个边上的内力（单位长度上的内 力）如图所示，上面作用有横向分布荷载为 。 q 图 9-5 显然，对于图 9-5 所示的空间一般力系，6个平衡方程中有 3个方程 0, 0, 0ZX Y M= = =∑ ∑ ∑ 自动满足。其余还有 3个平衡方程，由 0Z∑ = 得： 0yx QQ q x y ∂∂ + + =∂ ∂ （9.11） 又由 得： 0, 0x yM M∑ = ∑ = yxx x xy y y MMQ x y M M Q x y ∂ ⎫∂= + ⎪∂ ∂ ⎪⎬∂ ∂ ⎪= + ⎪∂ ∂ ⎭ （9.12） 将（9.12）式代入（9.11）式得： 2 22 2 22 0 xy yx M MM q x x y y ∂ ∂∂ + + +∂ ∂ ∂ ∂ = y （9.13） （9.13）式即为内力（弯矩与扭矩）所满足的平衡微分方程式。将（9.10）式 , ,x xyM M M 位移表达 式代入(9.13)式有： 4 qw D ∇ = (a) 上式与（9.8）式完全相同。 §9-5 矩形薄板的边界条件 薄板横截面上有三个内力，在边界上由内力表示的边界条件应有三个，分别为弯矩、扭矩与横向 剪力边界条件，但根据微分方程理论，求解薄板的弯曲方程 4 qw D∇ = 时，只需两个内力的边界条 件即可，而现在有三个，可见三个内力边界条件并非完全独立，有必要对边界条件进行合并处理。 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） （1）扭矩的等效剪力 考察图 9-6 的薄板，在 AB,BC 边界上分别受有分布扭矩 yxM ， xyM 的作用，现以 AB 边上的扭矩 为例进行等效剪力分析。 图 9-6 见图 9-7，取 AB 边任意两个相邻的微段，这两个微段上所受到扭矩力的大小分别为 , ( )yxyx yx M M dx M dx dx x ∂+ ∂ （见图 9-7（a），注意到 yxM 为单位长度上的扭矩），平面内的一个扭矩 力可以等效为一对力偶（见图 9-7（b））, 两个微段公共边上方向相反的集中剪力 yxM 相互抵消，只 剩下集中剪力 yx M dx x ∂ ∂ （见图 9-7（c））,此集中剪力除以微段长度 就化为分布剪力dx yxM x ∂ ∂ （见图 9-7（d）所示）。将上述分析方法用于 AB 边的所有微段上，就可得到图 9-7（d）的结果。所以板内 的扭矩可以等效为分布剪力及两个端点的集中剪力，AB 边上总的分布剪力为： yx y y M V Q x ∂= + ∂ （9.14） 图 9-7 同理，BC 边上总的分布剪力为： 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） xy x x M V Q y ∂= + ∂ （9.15） ,xV Vy y的符号规定同 。角点集中力如图 9-8 所示，图中指向为正，角点 B处的集中力为： ,xQ Q ( ) ( ) ( )2B yx xy xyB BR M M M= + = B （9.16） 图 9-8 将总的剪力和集中力由挠度表示为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 xy x x yx y y B yx xyB B B M w wV Q D v y x x y M w wV Q D v x y x y wR M M D v x y ⎫∂ ⎡ ⎤∂ ∂= + = − + − ⎪⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎪⎪∂ ⎡ ⎤∂ ∂ ⎪= + = − + − ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎪⎪⎛ ⎞∂ ⎪= + = − − ⎜ ⎟∂ ∂ ⎪⎝ ⎠ ⎭ （9.17） （2）边界条件 以图 9-9 所示的矩形薄板为例,说明简支边界、固支边界、自由边界以及角点边界条件的写法。 图中简支边采用虚线表示, 固支边采用斜线表示。 图 9-9 简支边界 OC（y=0）:挠度和弯矩为零，即 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 2 2 0 2 2 0 0 0 y o y y y w w wM D v y x = = = ⎫= ⎪⎪⎬⎛ ⎞∂ ∂= − + =⎜ ⎟ ⎪∂ ∂⎝ ⎠ ⎪⎭ （9.18） 上式与简支梁支座的边界条件相似，因为 0y ow = = （在边界上挠度为常数），所以 2 2 0 0 0 y y w w x x= = ∂ ∂=∂ ∂ = ，于是简支边界又可写为 0 2 2 0 0 0 y y w w y = = ⎫= ⎪⎪⎬∂ = ⎪∂ ⎪⎭ （9.19） 固支边界 OA（x=0）:挠度和转角为零（与固支梁端的边界条件相似），即 0 0 0 0 x x w w x = = = ⎫⎪∂ ⎬= ⎪∂ ⎭ （9.20） 自由边界 AB(y=b)与 BC(x=a)：弯矩与总剪力为零，即 2 2 2 2 3 3 3 2 0 (2 ) 0 y y b y b y y b y b w wM D v y x w wV D v y x y = = = = ⎫⎡ ⎤∂ ∂= − + = ⎪⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎪⎪⎬⎡ ⎤∂ ∂ ⎪= − + − =⎢ ⎥ ⎪∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎪⎭ （9.21） 与 2 2 2 2 3 3 3 2 0 (2 ) 0 x x a x a x x a x a w wM D v x y w wV D v x x y = = = = ⎫⎡ ⎤∂ ∂= − + = ⎪⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎪⎬⎡ ⎤∂ ∂ ⎪= − + − =⎢ ⎥ ⎪∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎭ （9.22） 角点 B ( , )x a y b= = 边界条件：集中力为零，即 ( ) 22 0B xy B x a y b wR M x y == ∂= = =∂ ∂ （9.23） §9-6 单向板的柱面弯曲 若矩形板一个方向的长度比另一个方向的长度要大许多,见图9-10, 设板上荷载沿y方向没有变 化, 荷载仅为的x函数,板受荷载变形后成为柱形曲面, 柱面的母线与y轴平行,板的挠度w不随y变 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 化，所以板的挠度为: ( )w w x= (9.24) 图 9-10 则薄板弹性曲面方程变为: 4 4 ( ) ( )d w x q x dx D = (9.25) 这里 3 212(1 ) EtD ν= − 为板的抗弯刚度, 于是板内的各个内力分量为： 2 2 2 2 3 3 0 0 x y x xy yx x x y d wM D dx d wM D M dx M M dMd wQ D dx dx Q ν ν ⎫= − ⎪⎪⎪= − = ⎪⎪⎪= = ⎬⎪⎪= − = ⎪⎪= ⎪⎪⎭ （9.26） 工程上采用简化方法，沿 y方向任取一单位长度的板条进行分析, 将其等效为梁的弯曲问题进行 分析，则板条梁的平衡微分方程为： 4 4 ( ) ( )d w x q x dx EI = （9.27） 式中： ( )w x ， 3 12 EtEI = 分别为单位宽度板条的挠度与抗弯刚度。 比较方程（9.25）与（9.27）可以发现，在给定相同荷载及边界条件的情况下，板的挠度 与 等效板条梁的挠度 w w有如下的对应关系： 2( ) (1 ) ( )w x w xν= − （9.28） 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 板的内力与等效板条梁的内力也有如（9.28）式相同的关系。对于混凝土板 1 6 ν = ，则： ，可见等效板条梁的位移、内力与实际板的位移、内力非常相近，两者的相对误差在 3%以内。等效板条梁的计算精度完全满足工程要求。对于钢板 21 0.9ν− ≈ 72 0.25ν = ， ，两者的相 对误差约 6%，计算精度在工程上也是可以接受的。 21 0.ν− ≈ 94 必须指出的是等效板条梁模型所计算的是板短跨方向的弯矩 xM ，而无法得到单向板在长跨上的 弯矩 yM ，工程上按等效梁理论计算时，容易误认为板的长向没有弯矩作用，事实上，板的长跨方向 仍有弯矩作用，根据（9.26）式，其大小为 y xM Mν= ，在结构设计中应注意这一问题。 §9-7 简支边矩形薄板的 解法 Navier 图 9-11 所示为四边简支矩形薄板，边长分别为 a 和 b，受任意分布的横向荷载 q(x,y)作用。此 问题的边界条件为 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0 x x a x x y y b y w ww w x x w ww w y y = = = = = = = ⎫∂ ∂= = = a y b= = ⎪∂ ∂ ⎪⎬∂ ∂ ⎪= = = = ⎪∂ ∂ ⎭ (9.29) 图 9-11 设挠度函数为 1 1 sin sinmn m n m x n yw A a b π π∞ ∞ = = = ⋅ ⋅∑∑ （9.30） 其中 m,n 为正整数， 为待定系数，显然 满足所有边界条件（9.29）式，代入方程mnA w 4 qw D∇ = 得： 22 2 4 2 2 1 1 sin sin ( , )mn m n m n m x n yD A q a b a b π ππ ∞ ∞ = = ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑∑ x y (9.31) 将(9.30)式两边分别对 x, y 积分,并利用下列三角函数系的正交性: 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） (a) 得 0 0 22 2 4 2 2 4 ( , ) sin sin a b mn m x n yq x y dxdy a bA m nabD a b π π π ⋅ = ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ (b) 所以 0 0 22 21 1 4 2 2 4 ( , ) sin sin sin sin a b m n m x n yq x y dxdy m x n ya bw a bm nabD a b π π π π π ∞ ∞ = = ⋅ = ⋅⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫∑∑ ⋅ (9.32) 2 22 2 2 2 1 1 2 22 2 2 2 1 1 sin sin sin sin x mn m n y mn m n w w m n m x n yM D v A v x y a b a w w n m m x nM D v A v y x b a a b π π π π π π π ∞ ∞ = = ∞ ∞ = = ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = + ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎪⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎬⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎭ ∑∑ ∑∑ b yπ （9.33） 当 (常数), 为均布荷载时： 0q q= ( )0 22 2 6 2 2 16 , 1,3,5,mn qA m m nDmn a b π = =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ Ln y （9.34） ,xM M 的最大值发生在板中央 ,2 2 a bx y= = 处： ( ) 1 2 22 0 ,max 24/ 2, / 2 2 21,3,5,... 1,3,5,... 2 2 ( ) 1 2 22 0 ,max 24/ 2, / 2 2 2 2 2 16 ( 1) 16 ( 1) m n x x x a y b m n m n y y x a y b q m nM M v D am nmn a b q n mM M v D bm nmn a b π π π π + −∞ ∞ = = = = + − = = ⎡ ⎤− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎣ ⎦+⎜ ⎟⎝ ⎠ b a ⎡ ⎤− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎣ ⎦+⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ 1,3,5,... 1,3,5...m n ∞ ∞ = = ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ∑ ∑ （9.35） 对于四边简支的混凝土板,可根据上述的最大弯矩（每米内的弯矩）进行配筋计算。 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 当板上作用有集中力 P时，作用点位置坐标为 ( ),o ox y ,见图 9-12 图 9-12 薄板上承受集中荷载作用 P作用在微元面积 上的分布荷载为： S x∆ = ∆ ⋅∆y )(Pq x y= ∆ ⋅∆ （c） 根据中值定理有： 20 2 2 0 4 2 2 22 2 4 2 2 22 2 4 2 2 4lim sin sin 4 sin sin 4 sin sin mn x Sy o o o o P m x n yA d x y a bm nabD a b m x n yP x y x y a bm nabD a b m x n yP a bm nabD a b xdyπ π π π π π π π π ∆ → ∆∆ → = =∆ ⋅∆⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ∆⎜ ∆ ⋅∆⎛ ⎞ ⎝ ⎠+⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⋅ ⋅⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫∫ ⋅∆ =⎟ （d） 将(d)式代入（9.33）式，得到弯矩为： 2 2 22 21 1 2 2 2 2 2 22 21 1 2 2 2 4 sin sin sin sin 4 sin sin sin sin o o x m n o o y m n m x n yP m nM v a b a b a bm nabD a b m x n yP n mM v a b b a a bm nabD a b π π π π π π π π π π ∞ ∞ = = ∞ ∞ = = ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦+⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎬⎡ ⎤ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎣ ⎦+⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎭ ∑∑ ∑∑ ⎪⎪⎪ m x n y m x n y ⎪ (9.36) 工程中，当四边简支的混凝土板上局部作用有集中荷载时，如固定的设备荷载等，可采用（9.36） 式估计板内作用的弯矩。 方法求解简单，但计算量较大，级数收敛较慢,且只能用于四边简 支的矩形板。 Navier 当板上作用有线荷载 时，作用位置见图 9-13。线荷载 作用在微段 dq q ζ 上的集中荷载为 qdζ ， 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 根据（9.36）式，该集中荷载产生的弯矩为： 2 2 22 21 1 2 2 2 2 2 22 21 1 2 2 2 4 sin sin sin sin 4 sin sin sin sin o x m n o y m n n yqd m m n m x n ydM v a b a b a bm nabD a b n yqd m n m m x n ydM v a b b a a bm nabD a b πζ πζ π π πζ πζ π π ∞ ∞ = = ∞ ∞ = = ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + π π ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦+⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎬⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎣ ⎦+⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑∑ ∑∑ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭ （e） 于是整个线荷载 在任意一点 ( ,q )x y 所产生的弯矩通过积分上式可得： 2 2 22 21 1 02 2 2 2 2 22 21 1 02 2 2 4 sin sin sin sin 4 sin sin sin sin a o x m n a o y m n n yq m n m x n y mM v d b a b a b am nabD a b n yq n m m x n y mM v d b b a a b am nabD a b π π π πζ ζ π π π π πζ ζ π ∞ ∞ = = ∞ ∞ = = ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎣ ⎦+⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎣ ⎦+⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑∑ ∫ ∑∑ ∫ ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ （f） 即有： 2 2 22 21,3,5,.... 1 3 2 2 2 2 22 21,3,5,.... 1 3 2 2 8 sin sin sin 8 sin sin sin o x m n o y m n n yq m n m xM v b a b a bm nbDm a b n yq n m m xM v b b a a bm nbDm a b π π π π π π π π ∞ ∞ = = ∞ ∞ = = ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦+⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎬⎡ ⎤ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎣ ⎦+⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎭ ∑ ∑ ∑ ∑ ⎪⎪⎪ n y n y ⎪ (9.37) 图 9-13 薄板上承受线荷载作用 实际工程中，如现浇板上砌墙、板（梁）上作用有列车（或车队）荷载等情形，都可以归结为板 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 上作用有线荷载 的情况。在设计计算中往往重视主受力方向的弯矩q xM ，而容易忽视次方向上的弯 矩 yM 。在线荷载作用的情形下，次方向上的弯矩 yM 最大值一般与主受力方向的弯矩 xM 最大值具 有相同的量级，这一点在设计计算中要引起注意。。 9-8 Levy解法 图 9-14 所示的矩形板，两对边简支，其他两对边可为任意的支承形式（自由边、简支或固支）， 板上受任意分布的横向荷载 q(x,y)作用。两对边简支边界条件为： 2 2 2 2 0, 0 0, 0 x o x o x a x a ww x ww x = = = = ∂= =∂ ∂= =∂ （9.38） 图 9-14 于是可设解为: ( ) 1 sinm m m xw y aY π∞ = = ⋅∑ (9.39) 显然上式满足边界条件（9.38）式，将上式代入方程 4 ( , )q x yw D∇ = 得： 2 44 2 4 2 1 ( ) ( ) ( , )2 ( ) sinm m m m d y d ym m m xy dy a dy a a D Y Y Yπ π π ∞ = ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∑ q x y （a） 将 ( , )q x y D 展为关于 x的付氏级数： 0 1 ( , ) 2 ( , ) sin sin a m q x y q x y m x m xdx D a D a a π π∞ = ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥⎣∑ ∫ ⎦ （b） 将（b）式代入(a)式,比较两边级数的系数得： 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 2 44 2 4 2 0 ( ) ( ) 2 ( , )2 ( ) am m m d y d ym m q x yy d dy a dy a a D a Y Y Yπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ + = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ sin m x xπ （9.40） 上面（9.40）式为非齐次常微分方程，其一般解可表为齐次方程的通解 ( )mY y 与一个特解 的 和： * ( )mY y *( ) ( ) ( )m mm y Y y Y yY = + (9.41) 齐次方程的通解为： ( )m m m m m m y m y m y m y m y m yY y A ch B sh C sh D ch a a a a a a π π π π π= + ⋅ + + ⋅ π （c） 所以挠度解可以写为： ( )* 1 sinm m m m m m m y m y m y m y m y m y m xw A ch B sh C sh D ch y a a a a a a Y a π π π π π π∞ = ⎡ ⎤= + + + + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∑ π （9.42） (9.42)式中的待定系数 可由另外两个边, , ,m m m mA B C D / 2y b= ± 的边界条件决定，特解 可 由荷载 的具体形式确定。 ( )*m yY ( , )q x y 例 9-1、应用 Levy解法求解受均布荷载 0( , )q x y q= 作用的四边简支薄板。根据微分方程（9.40） 式，方程的右边项为： ( ) ( )( )0 00 0 2, 4,6 22 ( , ) sin 1 cos 4 1,3,5, a mqq x y m xdx m qa D a Dm m Dm π ππ π ⎧ =⎪= − = ⎨ =⎪⎩ ∫ LL LL , （d） 可设特解 （常数解），代入方程（9.40）可得： *( )m y AY = ( ) ( ) ( ) 4 0 * 5 5 4 1,3,5, 0 2,4,6, m a q m y Dm m Y π ⎧ =⎪= ⎨⎪ =⎩ LL LL （e） 本问题挠度解答关于 x轴对称，所以 ( )m yY 应为偶函数，则待定系数 0m mC D= = 。由边界条件： 2 2 2 2 0 0 by by w w y = = ⎫= ⎪⎪⎬∂ ⎪= ⎪∂ ⎭ （f） 可求得： 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） ( ) 40 5 5 4 0 5 5 2 2 2 m m m m m m th q a A Dm ch q aB Dm ch α α π α π α ⎫+= − ⎪⎪⎬⎪= ⎪⎭ ( )1,3,5,m = LL (g) 及： 0 0 m m A B = ⎫⎬= ⎭ ( )2,4,6,m = LL (h) 式中： 2m m b a πα = （i） 注意到，由于已利用了对称性，所以上面只用到了一边（ / 2y b= ）的边界条件。最后的解答为： 4 0 5 5 1,3,5, 4 2 2 21 21 s 2 2 m m m m m m m m q a th y yy mw ch sh in x D m ch b ch b b α α α α α a π π α α ∞ = ⎛ ⎞+= − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠∑ L （j） 板中最大弯矩为： 2 ,max / 2, 0 2 ,max 1/ 2, 0 x x ox a y y y ox a y M M q a M M q α α = = = = ⎫= = a ⎪⎬= = ⎪⎭ (9.43) 式中： 1 2 3 3 1,3,5,... 1 2 1 2 3 1,3,5,... (1 ) 21 2 ( 1) 8 (1 ) 22 ( 1) 8 m m m m m m m m m m th m ch th m ch ν α αα π α ν α α ννα π α − ∞ = − ∞ = − +− ⎪= − ⋅ ⎪⎪⎬⎪− −− ⎪= + ⋅ ⎪⎭ ∑ ∑ 3 ⎫ (9.44) 工程上，可根据不同的板尺寸 可制成使用。计算结果表明，当 增大时，板中最大弯 矩很快趋近于单向板条（ ）的计算值，当 ,a b /b a /b a = ∞ /b a = 时，两者相差约 6.5%，所以当 时， 可近似地按单向板条计算，计算精度满足工程要求。 /b a ≥ 3 例 9-2、现有一边长为 a和 b，四边简支的矩形板，在 / 2y b= ± 的边界上受分布弯矩 ( )yM f x= 的作用（见图 9-15）,求挠度的表达式。 因为板面无荷载作用 ，所以基本方程为： ( , ) 0q x y = 4 4 4 4 2 2 42 0 w w w x x y y ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ ∂ （k） 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 图 9-15 边界条件为： ( ) . 2 0,2 2 2 2 2 2 0 0 0 x o a x a by by y by w w x w wM D f y = = =± =± =± ⎫= x ⎪∂ ⎪= ⎪∂ ⎪⎪⎬= ⎪⎪∂ ⎪= − = ⎪∂ ⎪⎭ （l） 采用 Levy方法，本问题的解答由（9.42）式确定，由于 ( , ) 0q x y = ，根据方程（9.40）可得到 一个特解为： ( )* 0m yY = 又根据对称性，w为 的偶函数，则y 0m mC D= = ，所以： 1 sinm m m m y m y m y m xw A ch B sh a a a a π π π∞ = ⎡ ⎤= + ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣∑ π ⎦ 由边界条件 2 0byw = = ， ( ) 2 2 2 2 by y by wM D y= = ∂= − =∂ f x （因为对称性已利用，只用一个边界条件即可） 得： 2 2 0 2 2 0 ( ) sin ( ) sin am m m m a m m a th m xA f x dx Dm ch a a m xB f x dx Dm ch a α α π π α π π α ⎫= ⋅ ⎪⎪⎬⎪= − ⋅ ⎪⎭ ∫ ∫ 其中 mα 由（i）式确定，所以： 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） 2 2 0 1 ( ) sin sin a m m m m a m x m y m y m yw f x dx th ch sh Dm ch a a a a a m xπ π π π πα απ α ∞ = ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ ⋅ （m） §9-9 薄板弯曲的叠加法 图 9-16（1）为两对边简支而另外两对边固支的矩形薄板，边长分别为 a和 b，受均匀分布荷载 作用，求挠度 w。取如图所示的坐标，采用求解超静定结构的方法，首先放松两个对称固支边的转动 约束，代之以相应的反力—弯矩 oq ( )yM f y= ，薄板成为四边简支的受力体系，见图 9-16（2），这一 问题可分解为图 9-16（3）受均布荷载 与图 9-16（4）两对边受分布弯矩oq ( )yM f y= 的两个情形， 根据叠加原理，将两个情形的解答叠加起来就是原问题的解。 图 9-16 根据例 9-1 与 9-2，已知图 9-16（3）（4）的解答分别为： 4 1 5 5 1,3,5, 2 1,3,5, 4 2 2 21 21 s 2 2 sin o m m m m m m m m m m m m q a th y yy mw ch sh in x D m ch b ch b b a m x m x m x m xw B sh th ch a a a a α α α α α π π α α π π π πα α ∞ = ∞ = ⎫⎛ ⎞+= − ⋅ + ⋅ ⋅ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎬⎛ ⎞ ⎪= ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭ ∑ ∑ L L (a) 其中： 2 2 0 ( ) sin a m m a m xB f x dx Dm ch a π π α= − ⋅∫ (b) 或： 2 1 ( ) 2 sinm m m m m x yf x D B ch Ma a π πα∞ = ⎛ ⎞= − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ (c) 由两个固支边的转动约束条件有： 同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编） ( )1 2 2 0b by y w w w y y=± =± ∂ ∂ 2 = + =∂ ∂ (d) 将（a）式代入(d)式，可解得： ( ) ( ) ( ) 4 5 12 1 m m mo m m m m mm th thq aB th thD m ch mα α α α α α α απ α − += − ⋅ − − (e) 由此可得到约束弯矩 yM 为： ( ) ( ) 2 3 3 1 14 1( ) sin 1 m m m mo y m m m m m th thq a m xM f x m th th α α α α a π π α α α α ∞ = − += = ⋅ ⋅− −∑ （f） 于是，原问题的挠度解答为： ( ) ( ) ( ) 4 1 2 5 5 2 1,3,5, 2 4 1 1 sin m m m o m m m m m m m m m m m m m m m ych sh chq a aw w w D m ch ch sh sh sh m y m y m xsh ch ch sh sh a a a πα α α π α α α α α α π π π α α α α α α ∞ = ⎡ +⎢= + = − +⎢ + −⎢⎣ ⎤⋅