高等几何课件

nullnull高等几何电子教师授课助手 学生自修向导——南京师范大学 周兴和null课 程 概 论一、高等几何的内容高等几何数学与应用数学专业主干课程之一前三高数学分析高等代数高等几何后三高实变函数近世代数点集拓扑高等几何射影几何几何基础……本课程主要介绍平面射影几何知识(教材前四章)null课 程 概 论一、高等几何的内容什么是射影几何？直观描述欧氏几何仿射几何射影几何十九世纪名言一切几何学都是射影几何鸟瞰下列几何学null欧氏几何(初等几何)研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量 (统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)搬动正交变换对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果欧氏几何研究图形的 正交变换不变性的科学null仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形的 仿射变换不变性的科学透视仿射变换有限次平行射影的结果仿射不变性比如——平行性、两平行线段的比等等null射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形的 射影变换不变性的科学透视变换有限次中心射影的结果射影不变性比如——几条直线共点、几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！null课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的与综合法给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容解析法形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题本课程以解析法为主，兼用综合法null课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三、开课目的学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想。训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养。新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高观点，加深理解，举一反三。null课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三、开课目的四、计划及注意点 周学时3，一个学期，第一～四章 把好入门关，牢固掌握基本概念，反复思考，认真体会。线性代数＋齐次性 第五章：自学阅读材料null第一章 射影平面本章地位学习平面射影几何的基础本章内容定义射影平面，引入齐次坐标，学习对偶原则附带一个重要定理Desargues透视定理学习注意认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰null§ 1.1 拓广平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义1.1 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影OP 投射线P' l 上的点P在l'上的像P l' 上的点P'在l上的像OV'与l不相交， V'为l'上的影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射X=l×l' 自对应点(不变点)OU与l'不相交， U为l上的影消点三个特殊的点：null§ 1.1 拓广平面一、中心射影2、平面到平面的中心射影定义1.2 OP 投射线P' π 上的点P 在π'上的像P π' 上的点P'在π上的像因此 ，是π'到π的中心射影 自对应直线(不变直线)三条特殊的直线： ， u为由影消点构成的影消线 ， v'为由影消点构成的影消线影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射null§ 1.1 拓广平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义1.1 2、平面到平面的中心射影定义1.2 }均不是双射中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点如何使得中心射影成为一个双射？给平行线添加交点！null§ 1.1 射影平面一、中心射影二、无穷远元素目标：改造空间，使得中心射影成为双射途径：给平行直线添加交点要求：不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定惟一一个点(交点)两个相异点确定惟一一条直线(连线)}点与直线的关联关系null§ 1.1 拓广平面二、无穷远元素 约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同.区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P 约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为双射.null§ 1.1 拓广平面理解约定1.1(1), (2)1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数.4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：两直线平 行不平行交于惟一无穷远点有穷远点平面上任二直线总相交5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点.6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.null§ 1.1 拓广平面理解约定1.1(3)1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点.3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：两平面平 行不平行交于惟一无穷远直线有穷远直线空间中任二平面必相交于唯一直线null§ 1.1 拓广平面三、拓广平面 定义1.3 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面). 定理1.1 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立. (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.(1) 拓广直线的封闭性拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型欧氏直线：向两个方向无限伸展1、拓广直线(射影仿射直线)null§ 1.1 拓广平面(2) 拓广直线的拓扑模型(i) 欧氏平面上的圆(ii) 叠合对径点的圆(iii) 欧氏平面上过原点的直线的集合(线束模型)(iv) 欧氏平面去掉原点后，过原点每一直线的所有点作为拓广平面的一个点null§ 1.1 拓广平面(3) 拓广直线的拓扑模型(4) 拓广直线上点的分离关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。拓广直线：两点不能确定直线上的一条线段。点偶A,B分离点偶C,D点偶A,B不分离点偶C,Dnull§ 1.1 拓广平面(i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域在拓广平面上，可以：I，II为同一区域III，IV为同一区域2、拓广平面(射影仿射平面)四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型(1) 拓广平面的封闭性(从两个方面理解)null§ 1.1 射影平面(2) 拓广平面的拓扑模型(i) 叠合对径点的球面(ii) 欧氏空间过原点的直线的集合(线丛模型)(iii) 叠合赤道上对径点的半球面(iv) 叠合周界上对径 点的圆盘2、拓广平面(射影仿射平面)四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型(1) 拓广平面的封闭性(从两个方面理解)null§ 1.1 拓广平面Möbius带null§ 1.1 拓广平面五、射影基本形1、一维基本形 (1) 点列(同一直线上点的集合)记号l(A,B,C,…) 或 l(P)底元素 (1)' 线束(平面上过同一点的直线的集合)记号L(a,b,c,…) 或 L(p)束心元素null§ 1.1 拓广平面五、射影基本形2、二维基本形 (2) 点场(同一平面上点的集合) (2)' 线场(同一平面上直线的集合)π称为点场的底，其上的点称为元素.π称为线场的底，其上的直线称为元素.显然，一维基本形和二维基本形都是射影不变的null§ 1.1 拓广平面五、射影基本形3、一对重要的基本图形 三点形(不共线三点及其两两连线构成的图形)顶点：A, B, C 边：BC, CA, AB显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变 三线形(不共点三直线及其两两交点构成的图形)边：a, b, c 顶点：b×c, c×a, a×b记法：三点形ABC记法：三线形abcnull§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标引入目的为了用代数的方法(解析法)研究射影几何基本要求既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点基本途径从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾主要困难来自传统笛氏坐标的干扰必须注意齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性，因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用线性代数知识. 尽管针对拓广平面, 但是今后通用齐次性问题几乎无处不在的非零比例常数和比例关系null一、n 维实向量类§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标n 维实向量的集合定义等价关系 ~n 维实向量类的集合 (用圆括号记向量) x=(x1,x2,···,xn)n 维实向量类的集合 (用方括号记向量) x=[x1,x2,···,xn]事实上, 关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算null二、齐次点坐标定义1.4有穷远点无穷远点非齐次齐次坐标关系注对一维齐次点坐标定义的进一步理解§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标1. 一维齐次点坐标(x1, x2) (x2≠0)xx= x1 / x2(x1, 0) (x1≠0)null(1).都有齐次坐标反之，都对应唯一一点(0, 0)不是任何点的齐次坐标.(2).与是同一点的齐次坐标. 因此，直线上每个点都有无穷多组的齐次坐标，同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数.(3).原点：(0, x2), 特别地，(0, 1).无穷远点：(x1, 0), 特别地，(1, 0).(4).齐次坐标的集合为(2维实向量类的集合)：此即拓广直线的线束模型.二、齐次点坐标§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标1. 一维齐次点坐标null引入可视为P为通常点无穷远点设 li: Ai x+Bi y+Ci=0 (i=1, 2). 记 |AB| 表示(1). P为通常点，设 P(x, y). 则令|BC|=x1, |CA|=x2, |AB|=x3. 则 从而 x : y : 1=x1 : x2 : x3. 于是, 可以把与(x, y, 1)成比例的任何有序实数组作为点P的齐次坐标.2. 二维齐次点坐标§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标null引入(2). P=P∞, l1 // l2. 即P∞为l1, l2方向上的无穷远点.目标：构造P∞的齐次坐标，使之仅与l1, l2的方向(斜率)有关. 因l1 // l2. 故前述x3=0.考虑取(x1, x2, 0)为P∞的齐次坐标. 只要证明x1, x2仅与li的方向(斜率)有关.当li不平行于y轴时，即x1≠0. 不难证明其中λ为li的斜率, 即(x1, x2, 0)表示方向为λ的无穷远点. 特别地, 若x2=0, 则表示x轴上的无穷远点. 当li平行于y轴时， λ=∞. 可合理地取(0, x2, 0) (x2≠0)为y轴上无穷远点的齐次坐标.引出定义2. 二维齐次点坐标§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标null定义1.5有穷远点 方向为λ =x2/x1的无穷远点非齐次齐次坐标关系注对二维齐次点坐标定义的进一步理解 y轴上的无穷远点2. 二维齐次点坐标§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标(x, y)x = x1 / x3, y = x2 / x3(x1, x2, x3) (x3≠0)(x1, x2, 0) (x1≠0)(λ=x2/x1)(0, x2, 0) (x2≠0)无穷远点null (1). 对任意的P∈π, 都有齐次坐标(x1, x2, x3). 对于通常点x3≠0；对于无穷远点x3=0, 但x12+x22≠0. 反之, 任给(x1, x2, x3) (x12+x22+x32≠0), 都对应惟一一点P∈π. (0, 0, 0)不是任何点的齐次坐标. (2). 对任意的0≠ρ∈R, (x1, x2, x3)与(ρx1, ρx2, ρx3)是同一点的齐次坐标. 因此, 平面上每个点都有无穷多组齐次坐标, 同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数. (3). 原点：(0, 0, x3), 特别地(0, 0, 1); 无穷远点(x1, x2, 0), 若x1≠0, 则可表为(1, λ, 0), 其中λ为该无穷远点的方向. 特别地, x轴上的无穷远点为(1, 0, 0), y轴上的无穷远点为(0, 1, 0).(4). 平面上点的齐次坐标的集合为(3维实向量类的集合) ：此即拓广平面的线丛模型.2. 二维齐次点坐标§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标null二、二维齐次点坐标例 1求下列各点的齐次坐标.(1).齐次坐标(一般形式)特定一组(2).求直线上的无穷远点.斜率代入所求无穷远点为也就是上的无穷远点为§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标null三、直线的齐次坐标方程定理 1.2在齐次坐标下，直线的方程为(1.1)反之，(1.1)表示直线. 称(1.1)为直线的齐次方程.推论 1.1过原点的直线的齐次方程为注：定理1.2不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法. 见教材P.11.归纳点的齐次坐标是一个双射φ, 即拓广平面上的点坐标映射§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标null改变一下你的几何学观点点直线曲线坐标方程点的轨迹点几何学线几何学方程坐标直线族的包络为了学习线几何学，引进线坐标概念主要困难来自根深蒂固的点几何学传统观念的干扰.四、齐次线坐标§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标null四、齐次线坐标1. 定义将直线l：中的系数称为l的齐次线坐标，记作注2齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质.注3y轴：x轴：过原点的直线： 思考：注3中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同(忽略括号差别)？注4由定义,方程系数坐标实现互化, 故ψ可由φ诱导.注1直线的齐次坐标为一双射ψ, 称为拓广平面上的线坐标映射§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标null 定理1.3 在齐次线坐标下，点x在直线u上 2. 点的齐次方程§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标 定义1.7 在齐次线坐标下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且仅能被过点P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的齐次方程. 定理1.4 在齐次线坐标下，一点 a=(a1,a2,a3) 的齐次方程为反之，关于流动线坐标的一次齐次方程表示点.null2. 点的齐次方程§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标四、齐次线坐标注对(1.4)的新理解.(1.4) 变 (流动)不变(常数)直线u的方程几何意义动点x在定直线u上定直线u为动点x的轨迹点几何观点线几何观点不变(常数) 变 (流动)点x的 方程动直线u过定点x定点x为动直线u的包络 因此，一般地，称(1.4)为点与直线的齐次关联关系. 点、直线统称为几何元素.给定齐次方程null四、齐次线坐标2. 点的齐次方程例 2求下列各点的齐次方程.(1). x轴上的无穷远点(2). y轴上的无穷远点(3). 原点(4). 点(5). 方向为的无穷远点(6). 无穷远直线上的点 思考：本例中这些点的齐次方程分别与哪些直线的齐次方程形式上相同？§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标null五、非齐次线坐标 定义1.8 对于直线u=[u1,u2,u3], 若u3≠0,则定义其非齐次坐标为[U,V]其中U=u1/u3, V=u2/u3.注1哪些直线没有非齐次坐标？注2将点与直线的齐次关联关系(1.4)两边同时除以u3x3, 得到点与直线的非齐次关联关系为(1.5)显然，得到(1.5)的前提是u3x3≠0. 因此，无穷远直线上的点和过原点的直线均不满足非齐次关联关系.初步体会到，用非齐次坐标和方程研究问题可能会有某种缺陷.§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标过原点的直线[u1,u2,0].null六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')(1). 两点a, b重合(1)'. 两直线a, b重合 证：重合则a, b对应分量成比例， a, b为点， 故秩为1. 证：与左边类似.§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标null(2). 相异两点a, b连线方程为(2)'. 相异两直线a, b交点方程为坐标为§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标坐标为利用齐次线性方程组的知识立刻可证.六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')null(3). 相异三点a,b,c共线(3)'. 相异三直线a,b,c共点 (4). 以相异两点a,b连线为底的点列中点的齐次坐标能且仅能表示为la+mb(l,m不全为零). 证：显然秩<3，由相异得秩为2.§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标 (4)'. 以相异两直线a,b交点为束心的线束中直线的齐次坐标能且仅能表示为la+mb(l,m不全为零).六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')注关于点列的参数表示null注关于点列的参数表示齐次参数表示将(4)中的c=la+mb的形式称为以相异二点a,b为基点的点列的齐次参数表示或双参数表示.非齐次参数表示令则有称为以a,b为基点的非齐次参数表示或单参数表示.拓广的实数集并规定对于当即时， 于是，点列的非齐次参数表示给出了点列中的点(拓广直线上的点)到拓广的实数集之间的一个双射.由于a,b都有无穷多组成比例的齐次坐标，因此对其齐次坐标的选取必须加以某种约束. 由此将引出单位点概念.§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')null例 3已知共线三点 a=(3,1,1), b=(7,5,1), c=(6,4,1), 求λ, 使得解令其中ρ为非零比例常数.可解得λ=3.于是，可适当选取 a, b, c 的齐次坐标，使得 c=a+3b.注 ρ的存在是齐次性的体现. 事实上，对于共线三点a,b,c,必可适当选取这三点的齐次坐标，使得c=a+b. 齐次参数表示中的l,m正是起这种作用的. 而在非齐次参数表示下，我们不能保证a+λb就是题中指定的c的特定齐次坐标，一般要差一个非零比例常数.§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')null (5). 相异三点a,b,c共线存在p,q,r(pqr≠0)使得即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得注上述共给出5对重要的基本结论. 到第1.4节将会看到，这种结论成对出现的现象恰是射影几何中的一个重要规律. 即对偶原则.§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9') (5)'. 相异三直线a,b,c共点存在p,q,r(pqr≠0)使得即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得null例 4关于教材P.17例1.4结论的解释. (1). 设a, b, c为平面上不共线三点. 则平面上任一点 d 的齐次坐标可以表示为 (2). 设a, b, c, d为平面上四点，其中任意三点不共线. 则可适当选取这四点的齐次坐标，使得或者注由此例, 给定平面上不共线三点, 可以表示平面上任意一点的坐标.§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9')坐标三点形概念null关于坐标三点形 在拓广平面上任取定一个笛氏坐标系. 记原点为A3, x轴上的无穷远点为A1, y轴上的无穷远点为A2, 则A1(1,0,0), A2(0,1,0), A3(0,0,1)不共线.§ 1.2 拓广平面上的齐次坐标六、有关齐次坐标的基本结论(Thm.1.5~1.9;1.5'~1.9') 考虑到齐次性, 另取定点I(1,1,1), 以规定当A1, A2, A3取不同齐次坐标时, 上式总表示同一点P(x1,x2,x3). 即I规定了当A1, A2, A3取不同齐次坐标时必须满足下式坐标三点形：A1A2A3 ；单位点：I；笛氏齐次坐标系：(A1A2A3 | I). 平面上任一点P(x1,x2,x3)可表为null§ 1.3 射影平面一、实射影平面(二维实射影空间)无定义基本元素：点，直线约定1.2 点与直线的关联关系定义1.9 设P 的元素称为点.L的元素称为直线.P 与L的元素之间有一个关系称为关联关系, 满足下列公理公理P 存在一对双射对于任意的点P∈P 和任意的直线l∈L, 若则P与l相关联u1x1+u2x2+u3x3=0.则称π为一个以P为点集, L为直线集的实射影平面(二维实射影空间), 记作π=(P, L). 上述一对双射(φ, ψ)称为π上的一个射影坐标映射, 分别称φ为点坐标映射; ψ为线坐标映射.null§ 1.3 射影平面一、实射影平面(二维实射影空间) 注2 定义1.9在叙述上不同于Hilbert公理系统, 实际上隐含了承认实数公理等, 我们仅尝试用代数的方法定义射影平面. 定理1.10 在实射影平面上, 方程表示直线或点. 当xi为流动变量而ui为常数时表示直线[u1,u2,u3]；反之表示点(x1,x2,x3). 注1 上述集合P, L是一般的. 其中元素称为点、直线, 但是按照Hilbert的说法, 完全可以是桌子、椅子、啤酒杯或其他的东西. 而定义1.9则对π=(P, L)给予了射影空间结构. 由定理1.10, 公理P中的线坐标映射ψ可以由点坐标映射φ诱导.null§ 1.3 射影平面二、实射影平面的模型 所谓模型(实现)是对一般集合P, L的元素赋予具体意义, 使之满足定义1.9. 教材上给出了一些模型. 我们可以在任何模型上展开射影几何研究.几何的模型：拓广平面——用综合法研究射影几何.代数的模型：算术平面：πR=(RP2, (RP2)*) ——用解析法研究.拓广平面算术平面坐标映射实射影平面π对偶平面π*对偶映射注：关于对偶映射, 今后将会不断地阐述. 拓扑模型：实射影平面是亏格为0的不可定向的闭曲面, 完全不同于欧氏平面(可定向的开曲面), 是学习射影几何的实质性困难之根本来源.null§ 1.3 射影平面三、射影坐标变换 定义1.10 在射影平面上取定四点A1(1,0,0), A2(0,1,0), A3(0,0,1), I(1,1,1), 规定无论如何选取A1, A2, A3, I的齐次坐标, 总成立下列关系式(1.7)则称这四点为平面上的一个原始的射影坐标系, 记作(A1A2A3 | I). 称A1A2A3为坐标三点形，I为单位点. 点与直线在这坐标系下的坐标称为原始坐标. 注2: 拓广平面上的笛氏齐次坐标系即为一个原始的射影坐标系. 注1: (1.7)式实际隐含着选取A1, A2, A3, I的齐次坐标时, 满足null§ 1.3 射影平面 证明: 只要证对平面上任意一点X, (PQR|E)可惟一确定其点坐标映射. 设X的原始坐标为(x1*, x2*, x3*), 则由线性代数知识以及式(1.8), 存在惟一向量类(x1, x2, x3)∈RP2, 满足(1.9)于是(1.9)惟一确定了点X在射影坐标系(P,Q,R|E)下的一个齐次射影坐标(x1, x2, x3).三、射影坐标变换 定理1.11 在射影平面上任意取定四点P, Q, R, E, 满足 (1) P, Q, R, E中任何三点不共线; (2) 选取这四点的原始坐标P(pi), Q(qi), R(ri), E(ei)使得(1.8)则这四点构成一个射影坐标系(PQR|E). 称PQR为坐标三点形, E为单位点.null注1在(PQR|E)下, P,Q,R,E各有一组齐次坐标为P(1,0,0), Q(0,1,0), R(0,0,1), E(1,1,1).因此(PQR|E)也可作为原始坐标系.注2因为P,Q,R不共点，所以| pi qi ri |≠0,即(1.9)式为非奇异线性变换, 称为两种射影坐标之间的射影坐标变换. 注3在拓广平面上, 笛氏齐次坐标是射影坐标的特例. 从而在坐标变换意义下, §1.2讨论的结论全部在射影坐标下成立, 今后可不区分地使用笛氏齐次坐标或齐次射影坐标.注4(1.10)按坐标变换新、老坐标的书写习惯，(1.9)式改写为这是传统的坐标变换的逆式，今后可直接使用.§ 1.3 射影平面三、射影坐标变换null§ 1.3 射影平面四、实射影直线(一维实射影空间)仿定义1.9, 定义实射影直线(一维实射影空间), 并讨论其模型.思考 定义1.11 在射影直线上取定相异三点P, Q, E, 选取其笛氏齐次坐标P(pi), Q(qi), E(ei)使得则在射影直线上定义了以P, Q为基点, E为单位点的一个一维射影坐标系, 记作(PQ|E). 射影直线上任意一点X(x1, x2, x3)的齐次射影坐标(λ, μ)由下式确定注2: 定义1.11的一维射影坐标系是由二维射影坐标诱导的. 注1: 在射影坐标系(PQ|E)下, P, Q, E的坐标分别为(1,0), (0,1), (1,1). 一维笛氏齐次坐标也是一种一维射影坐标.null五、复射影平面、实-复射影平面实射影平面复射影平面将实射影平面嵌入到复射影平面中，即带有虚元素的实射影平面实-复射影平面 注2: 实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以有虚直线，过虚点可以有实直线. 注3: 两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭. 注1: 类似定义实直线与虚直线. 于是在实-复射影平面上一个元素是实或虚不会因坐标变换或非奇异线性变换而改变.§ 1.3 射影平面null (3). 实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点.(3)' . 过实点的直线或为实直线或为成对出现的共轭虚直线.(4). 两共轭虚点连线为实直线.(4)'. 两共轭虚直线交点为实点.(5). 过一虚点有且仅有一条实直线.(5)'. 在一条虚直线上有且仅有一个实点. 注4: 在实-复射影平面上, 下列结论成立. (教材P.28)§ 1.3 射影平面五、复射影平面、实-复射影平面null§ 1.3 射影平面六、图形的射影性质(射影不变性)射影性质射影不变性 射影不变量图形在中心射影下保持不变的性质和数量目前已知的射影性质：射影不变性：点与直线的关联关系(结合性)；同素性；……结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变射影不变量：有待探索. 目前所知几何量均不是射影不变的同素性：点  点；直线  直线null§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则重要原理！ 贯穿全书！1. 基本概念(1). 对偶元素点直线(2). 对偶运算过一点作一直线在一直线上取一点(4). 对偶图形在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系构成的图形Σ，若将Σ中各元素改为其对偶元素、各运算改为其对偶运算(即对Σ作对偶变换)，则得到另一个图形Σ'. 称Σ、 Σ'为一对对偶图形.图形Σ图形Σ'作对偶变换互为对偶图形(3). 对偶变换互换对偶元素地位、作对偶运算null§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则2. 基本对偶图形举例(1) 点(1)' 直线(2) 点列(共线点集)(2)' 线束(共点线集)(3) 点场(共面点集)(3)' 线场(共面线集)(4) 简单n点形：n个点(其中无三点共线)及其两两顺次连线构成的图形.(4)' 简单n线形：n条直线(其中无三线共点)及其两两顺次相交的交点构成的图形.顶点：n个；边：n条.边：n条；顶点：n个.下面分别考察n=3和n=4的情形null§ 1.4 平面对偶原则简单n点(线)形：n=3简单三点形简单三线形简单n点(线)形：n=4简单四点形简单四线形显然，简单n点(线)形与其顶点(边)顺序有关null§ 1.4 平面对偶原则(5) 完全n点形：n个点(其中无三点共线)及其每两点连线构成的图形.(5)' 完全n线形：n条直线(其中无三线共点)及其每两直线交点构成的图形.顶点：n个；边：n条；完全n点(线)形：n=3完全三点形ABC完全三线形abc这是一对自对偶图形，在使用中将不加区分. 简称三点形, 三线形.null§ 1.4 平面对偶原则完全n点(线)形：n=4完全四点形ABCD完全四线形abcd这是射影几何中最重要的一对图形，我们来作专门的剖析null完全四点形ABCD完全四线形abcd顶点4个边6条对边(没有公共顶点的边)3组对边点(对边的交点)3个对边三点形 XYZ边4条顶点6个对顶(不在同一边上的顶点)3组对顶线(对顶的连线)3条对顶三线形 xyz请课后画图，熟悉图形及名称. 今后将专门研究其重要性质null§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则2. 基本对偶图形举例1. 基本概念3. 作一图形的对偶图形例 1作下列图形的对偶图形.(P.32，例1.12)注作对偶图形的一般步骤.(P.32)第一步 观察图形的结构，将其中的点、直线标上字母，并计数. 第二步 分析并列出能够决定该图形的点与直线的关联关系. 第三步 对前两步的结果作对偶变换，并整理. 第四步 画出对偶图形.null例 1作下列图形的对偶图形.点2个直线5条关联关系(1) P,Q在l上；(2) a,b,l共点于P; c,d,l共点于Q直线2条点5个关联关系(1) ' p,q过点L；(2) ' A,B,L共线于p; C,D,L共线于q§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则2、对偶图形举例1、基本概念3、作一图形的对偶图形null§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则2. 基本对偶图形举例1. 基本概念3. 作一图形的对偶图形4. 平面对偶原则(1) 射影命题在射影平面上，若命题A仅与点和直线的关联、顺序关系有关，则称A为一个射影命题.(2) 对偶命题射影命题A射影命题PA作对偶变换互为对偶命题(3) 平面对偶原则定理1.9(平面对偶原则)在射影平面上，射影命题A成立射影命题PA成立null§ 1.4 平面对偶原则一、平面对偶原则2. 基本对偶图形举例1. 基本概念3. 作一图形的对偶图形4. 平面对偶原则例 2对偶命题举例 (1) A 过相异二点有且仅有一条直线. (1)' PA 两相异直线有且仅有一个交点. (2) A 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必定共线. (2)' PA 如果两个三点形的对应边交点共线，则其对应顶点的连线必定共点.注1只有射影命题才有对偶命题.注2对偶原则是一个一一对应F：点几何线几何 因此，对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化，可以起到事半功倍的作用.null§ 1.4 平面对偶原则二、代数对偶考察方程视为点的流动坐标，则方程表示直线视为直线的流动坐标，则方程表示点考察方程组点几何观点：方程组表示两直线交点，解出坐标为线几何观点：方程组表示两点的连线，解出坐标为规定令坐标相同的点与直线为代数对偶元素. 得代数对偶原则 注：事实上, 可以有许多种不同的代数对偶映射. 比如将在第四章学习的配极变换. null§ 1.4 平面对偶原则二、代数对偶例 3代数对偶结论举例.(1) 点(1)' 直线(2) 原点(2)' 无穷远直线(3) 无穷远直线上的点(3)' 过原点的直线(4)－(8) Thm. 1.5－Thm. 1.9(4)'－(8)' Thm. 1.5'－Thm. 1.9'null§ 1.6 Desargues定理一、Desargues定理一个古老、美丽、实用的重要定理！1、两个三点形的对应关系 若两个三点形对应顶点的连线共点，则称这对对应三点形具有透视中心，透视中心也称为Desargus 点. 若两个三点形对应边的交点共线，则称这对对应三点形具有透视轴，透视轴也称为Desargus 线.问题有趣请问你是怎样画出这两个图的？null画图过程演示null§ 1.6 Desargues定理一、Desargues定理1、两个三点形的对应关系2、Desargues定理定理(Desargues定理及其逆定理)证明：代数法. 请认真自学.纳闷这张美丽的图是如何画的？ 注1、仅用综合法，Desargues定理不可能在平面内获得证明，只能作为公理. 注2、Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题. 注3、满足Desargues定理的一对三点形称为透视的三点形.nullDesargues定理画图过程演示 提示：从现在起，画图要预先、思考，否则天大的纸也摆不下一张图！真尴尬耶！null§ 1.6 Desargues定理一、Desargues定理2、Desargues定理 注4、关于Desargues构图. 左图表示了一对透视的三点形ABC, A'B'C'. 左图中共有十个点、十条直线，过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点. 这十点、十线地位平等，此图称为Desargues构图.null 分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应边的交点恰为X, Y, Z即可.§ 1.6 Desargues定理二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 由题给, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个字母, 试 例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别为AD, BE, CF. 而BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线.null§ 1.6 Desargues定理二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 分析：因为R是动点，作R的另一个位置R'. 得到P', Q', 设P'Q', PQ交于C.只要证明A, B, C三点共线. 由OX, OY, OZ共点于O, 只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在OX, OY, OZ上, 且三双对应边交点恰为A, B, C即可. 如图，PQR, P'Q'R'正是所需.反思条件“AB经过O ”对于本题结论纯属多余！ 例2 设OX, OY, OZ为三条定直线, A, B为定点, 其连线经过O. R为OZ上的动点, 直线RA, RB分别与OX, OY交于P, Q. 求证：PQ经过AB上的一个定点.null§ 1.6 Desargues定理二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 证明：考察三点形PQR与ABC，它们有透视中心S，从而他们有透视轴，即A1, B1, C1三点共线. 引申：同理可证 例3 已知完全四点形PQRS, 其对边三点形为ABC. 设A1=BC×RQ, B1=AC×RP, C1=AB×PQ. 求证：A1, B1, C1三点共线.null§ 1.6 Desargues定理二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 证明：设动点P的另一个位置为P', 依题意作图, 得交点X', Y'. 考察三点形AXX'与BYY', 因为其对应边的交点P, C, P'共线，所以其对应顶点的连线AB, XY, X'Y'共点, 此点为AB上的定点.2、不可及点的作图问题注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图. 例4 设A, B, C为不共线三点, P是过C的定直线上的动点, AP×BC=X, AC×BP=Y. 求证：XY经过定点.思考：(1). 考察三点形PXY与P'X'Y'进行证明. (2). 将本例与例2比较.null§ 1.6 Desargues定理二、应用举例2、不可及点的作图问题 例5. 已知平面上二直线a, b, P为不在a, b上的一点. 不定出a, b的交点a×b, 过P求作直线c, 使c经过a×b.解. 作法： (1). 在a, b外取异于P的一点O.过O作三直线l1, l2, l3.设l1, l2, 分别交a, b于A1, A2; B1, B2. (2). 连PA1, PB1分别交l3于A3, B3. (3). 连A2A3, B2B3交于Q. (4). PQ=c为所求直线. 证明：由作法，三点形A1A2A3, B1B2B3有透视中心O. 故其对应边的交点P=A1A3×B1B3, Q=A2A3×B2B3以及a×b三点共线，即c=PQ经过a, b的交点.null第二章 射影变换本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究.null§ 2.1 交比一、点列中四点的交比1、定义交比 — 最根本的射影不变量 定义2.1. 设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 ≠ P2，其齐次坐标依次为a, b, a+λ1b, a+ λ2b. 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比. 定义为(2.1)称P1, P2为基点偶， P3, P4为分点偶. 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则(2.2)null 证明定理2.1. 以P1, P2,为基点，参数表示P3, P4. 设a+λ1b=a', a+λ2b=b'. 从中解出a, b, 得于是， P1, P2, P3, P4的坐标可表示为即由交比的定义，有注：定理2.1可以作为交比的一般定义.(2.2)§ 2.1 交比null一、点列中四点的交比1、定义2、性质(1). 交比的初等几何意义 如果限于欧氏平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即(2.3)(2). 交比的组合性质 显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关. 改变次序一般会改变交比值. 因此，依次序不同，共线四点可以构成4!=24个交比. 设(P1P2,P3P4 )=r. 我们来探讨这24个交比的规律. § 2.1 交比null一、点列中四点的交比1、定义2、性质(1). 交比的初等几何意义(2). 交比的组合性质 定理2.2 设(P1P2,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下： 推论 由定理2.2，相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值： 此即P.45, 式(2.4). 不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！§ 2.1 交比null一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况 定理2.3 共线四点的交比值出现0, 1, ∞三者之一这四点中有某二点相同. 证明 可根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4 = P1进行验证即可. 即当四点中有某二点相同时，上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, ∞.4、调和比定义 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则称推论1 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则此四点互异.推论2 相异四点P1, P2, P3, P4可按某次序构成调和比这四点的6个交比值只有3个：§ 2.1 交比null一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比调和比是最重要的交比！ 对于(P1P2,P3P4 )= –1, 利用初等几何意义，我们有此时, 若则可合理地认为于是这表示P3为P1P2的中点，从而有 推论3 设P1, P2, P为共线的通常点. P∞为此直线上的无穷远点.则P为P1P2的中点注：本推论建立了线段的中点、调和比、直线平行性之间的联系§ 2.1 交比null一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1). 由坐标求交比 例1 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令i=1,2.对于i=1, 利用P.17例1.3, 有同理, 对于i=2, 可求得于是，§ 2.1 交比null一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1). 由坐标求交比(2). 由交比求坐标 定理2.4 设并已知和其中三点的坐标. 则第四点的坐标可唯一确定. 例2 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐标依次为(1,1,1), (1,–1,1), (1,0,1). 求P3的坐标. 解：设则显然由可得从而P3的坐标为(3,–1,3). 注：若要求P1, 或P2的坐标, 则需先将两个已知点交换到第1,2位置再计算.§ 2.1 交比null一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算(1). 由坐标求交比(2). 由交比求坐标 推论4 设P0, P1, P*为点列l(P)中取定的相异三点. 则为点列l(P)与之间的一个双射. 其中 从而，可以利用交比定义射影直线上一种非齐次射影坐标.§ 2.1 交比null一、点列中四点的交比 例3 一直线依次交三点形P1P2P3的三边P2P3, P3P1, P1P2于Q1, Q2, Q3.在此三边上另取点Q1', Q2', Q3', 使 求证：§ 2.1 交比null一、点列中四点的交比证明：(一)、准备§1.2, 例1.6设有以α=0, β=0, γ=0为边的三线形与过其顶点的三直线. 则此三直线共点其方程可以写成对偶命题设有以a, b, c 为顶点坐标的三点形与在其各边上的三个点. 则此三点共线其坐标可以表为本例设P1(a), P2(b), P3(c). 则Q1, Q2, Q3的坐标可以表为又不妨设Pi, Qi各不相同，则pqr≠0.§ 2.1 交比此外，设null一、点列中四点的交比证明：(一)、准备因为于是从而同理从而有§ 2.1 交比 (二)、证明. 主要是运用§1.2齐次坐标的基本性质以及线性代数知识. 请自学，并认真体会.注：由本例，利用无穷远点的性质，可以推出初等几何中的两个著名定理：Menelaus定理、Ceva定理. 见教材.null一、点列中四点的交比二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示 设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p∈S(p), 其坐标可表示为称a, b为基线, λ为参数.注1这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. 参数λ的几何意义？不易说清楚！将给出一种具有明确几何意义的特定参数λ. 容易看出 λ=0 → a; λ=1 → a+b; λ=∞ → b注2线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比.课件作者：南京师大数科院周兴和§ 2.1 交比null二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示 定义 设p1, p2, p3, p4为线束S(p)中四直线，且p1≠p2，其齐次坐标依次为a, b, a+λ1b, a+ λ2b. 则记(p1p2, p3p4)表示这四直线构成的一个交比. 定义为(2.5)称p1, p2为基线偶， p3, p4为分线偶. 定理2.5 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则(2.6)2、定义注上述定义、定理与点列的交比具有完全相同的格式.§ 2.1 交比null二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量 定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4). 则 证明 设直线p1, p2, p3, p4的齐次坐标分别为a, b, a+λ1b, a+λ2b, 直线s的齐次坐标为c. 由Thm.1.6'可以求出点Pi的坐标分别为而于是§ 2.1 交比null二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量 推论2.5 设Pi为点列l(P) 中四点, Pi与不在l上的定点S连线依次为pi (i=1,2,3,4). 则 证明 与定理2.6完全对偶. 定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4). 则由定理2.6和推论2.5, 立即可得下述重要结论定理2.7 交比为射影不变量.注由定理2.7, 关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过对偶的方式相互移植、相互转化. § 2.1 交比null二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量4、直线交比的初等几何意义(1). 斜率表示 如图, 在以S(x0,y0)为束心的线束中，取定二直线x=x0, y=y0. 则直线的(负)斜率k可以作为参数来表示线束. 由定理2.5，可得 定理2.8 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有注容易看出，斜率参数§ 2.1 交比null(1). 斜率表示 设直线pi与x轴正向的夹角为αi (i=1,2,3,4). 则将ki=tanαi代入上式，并利用三角恒等式进行化简，可得 定理2.9 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有其中(pi pj)表示由pi到pj的夹角.(2). 三角函数表示 定理2.8 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有 推论2.6 设pi (i=1,2,3,4)为通常线束中四直线. 则p3, p4为p1, p2夹角的内外平分线(p1p2, p3p4)=–1, 且p3⊥p4 .证明略. 本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系.§ 2.1 交比null二、线束中四直线的交比1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量4、直线交比的初等几何意义5、直线交比的计算 (1). 由已知条件求交比. 方法一. 与点的交比计算完全对偶. 方法二. 以一条特殊直线截已知线束, 转化为点的交比计算. 技巧是, 取合适直线, 使