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1分配与分组

2011-01-18 18 侵权/举报
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谈谈分配问题与分组问题的解法

关键词:分组  均匀 不均匀 分配 定向分配  不定向分配

n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象,称为分配问题,分定向分配和不定向分配两种问题;将n个不同元素按照某些条件分成k组,称为分组问题。.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的;而后者即使2组元素个数相同,但因对象不同,仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

 
例1 将6本不同的书,全部分给甲、乙、丙三名学生:
(1) 甲得1本,乙得2本,丙得3本,有多少种分法?

(2) 一人得1本,一人得2本,一人得3本,有多少种分法?

(3) 每人均得2本,有多少种分法?

(4) 甲得4本,乙和丙各得1本,有多少种分法?

(5) 一人得4本,另两人各得1本,有多少种分法?


(6) 每人至少得1本,有多少种分法?

     解:(1)先从6本书中任取1本给甲,有 种取法,再从余下的5本书中任取2本给乙,有 种取法,最后把余下的3本书给丙,有  种取法,根据乘法原理得共有分法:      (种)
    (2)一人得1本,一人得2本,一人得3本,除去(1)中甲得1本,乙得2本,丙得3本的情形外,也可以是甲得2本,乙得1本,丙得3本等等。因此要考虑人的排列顺序,将甲乙丙三人作全排列有 个,然后乘以(1)中分书的方法数,即得一人分得1本,一人得2本,一人得3本的分法数,共有 (种)
    (3)对于每人均得2本的情形,无需考虑人的排列顺序,不妨设从6本书中任取2本给甲,有  种取法,再从余下的4本书中任取2本给乙,有  种取法,最后把余下的2本书给丙,有  种取法,因此每人均得2本的分法共有
  
(种)
    (4)先从6本书中任取4本给甲,有  种取法,再从余下的2本书中任取1本给乙,有 种取法,最后把余下的1本书给丙,有  种取法,因此共有分法
   =30(种)。
    (5)先从甲乙丙三人中选一人得4本书,其排列为 ,其余2人各得1本,无需考虑人的排列顺序,所以分书的方法数共有
   
(种)

  6)每人至少得1本,可分为三类:
一人得1本,一人得2本,一人得3本
每人均得2本; 
一人得4本,另两人各得1本,这三类在前(2)、(3)、(5)中已分别讨论过,根据加法原理得共有分法
(种)
例2 将6本不同的书,分为三组
(1) 一组有1本,一组有2本,一组有3本,有多少种分法?
(2) 每组各有2本,有多少种分法?
(3) 一组有4本,另两组各有1本,有多少种分法?

    分析:本例与上例有所不同,将书分给三人,由于三人有别,分书与人的排列顺序有关,而将书分成三组是与各组的排列顺序无关的。
    解:(1)不妨先从6本书中任取1本作为一组,再从余下的5本书中任取2本作为一组,最后余下的3本作为一组,因此分法共有
  (种)
   (2)因为分书与各组的顺序无关,所以将6本书平均分为三组的方法数应是将6本书平均分给三个人的方法数的 倍,因此所求分书方法数是
   / 
(种)
   (3)先从6本书中任取4本作为一组,有  种取法,再将余下的2本书平均分为两组,1种分法,因此共有方法数
   
(种)
    例3 将4名男同志和4名女同志分配到四个单位工作:
(1) 每个单位2名同志,有多少种分法?

(2) 每个单位1名男同志1名女同志,有多少种分法?

   (3) 每个单位2名男同志或2名女同志,有多少种分法?
    解:本题属分配问题
   (1) 每个单位分2名同 志分法种数为 (种)
   (2) 从4名男同志和4名女同志中各任选1名到第一个单位有16 种选法;再从余下的3名男同志和3名女同志中各任选1名到第二个单位,有9种选法,如此到第三个单位,有4 种选法;到第四个单位,有1种选法,所以每个单位男女同志各1名的分配方法有
(种)
或者,可以先把4名男同志分到四个单位,每个单位1人,有
种分法;再将4名女同志分到四个单位,每个单位1人,也有  种分法。因此共有分配方法
 
 (种)

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