一类禽流感传染病数学模型的动力学行为分析

科教研究 c。I。。。。。。。。，。。iii忑j：：iiii；÷j；；1【ij】IiiIj；】I；：ijiIE捌ChInaEauc8tIonlnn。vatIonHeraIc一一；I■‘EJ2丘■■C一■- 一类禽流感传染病数学模型的动力学行为分析 王红飞 (开封大学 河南开封 475000) 摘要：本文建立和研完了一奏禽流感传杂病动力学模型．模型中人类群体是sIR模型，禽类群体是sI模型．在建立模型时。考虑了人奏 易患者和分类染病者之间联秉．通过分析，得到了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性和全局渐近稳定条件，并得刭了疾病流行与否 的闽值． 关键词：禽流毒 局部浙近稳定性 全局渐近稳定性 闷值 中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673—9795(2009)08(a)一0039一02 DynamicAnaJysisofAKindoflnfectiousDiseaseModeIofbirdflu WangHongfei (Kaifen口Uniyeroity。Henan。Kaifeng，475000) Abstract：Inthispaper，啊reeonstructandstudyamodeIofbirdflu． 0nemodelisSIRinhu皿_n．theother皿odeli8SIinbird species．WeonsidertherelationshipsbetweensusceptibIeinhumnⅡbeingsandinfeetedinani血als．w。ediscussthelocalstabilit，r 蚰dgloh曩lst&bilityofthedisease—lreeequilibriu丑andthee耐emicequilibri岫．'陀getthe盯iticaIvalⅡewhetherdi鼬曩sewiUs纠?eads OrⅡOt． Keywords：BirdfIul Local童symptoticalIystabilityl GlobalasymptotieallystabiIityl criticalvalue 禽流感(BirdFlu或AvianInnl】eflza)是 由禽流感病毒引起的一种急性传染病。被国际 兽疫局定为甲类传染病，又称真性鸡瘟或欧洲 鸡瘟。按病原体类型的不同，禽流感可分为 高致病性、低致病性和非致病性禽流感三大 类。非致病性禽流感不会引起明显症状，仅 使染病的禽鸟体内产生病毒抗体。低致病性 禽流感可使禽类出现轻度呼吸道症状，食鼍减 少，产蛋量下降，出现零星死亡。高致病性禽 流感最为严重，发病率和死亡率均高，感染的 鸡群常常“全军覆没。。禽流感也可以感染 人，感染后的症状主要现为高热、咳嗽， 流涕、肌痛等，多数伴有严重的肺炎，严重者 心，肾等多种脏器衰竭导致死亡，病死率很 高。此病可通过消化道、呼吸道、皮肤损 伤和眼结膜等多种途径传播，人员和车辆往来 是传播本病的重要因素。禽流感传染病山寨 式的传播难以预防和控制，仅2009年的第一个 月，北京、山西、山东和湖南就已经确诊四 名感染者，其中三名死亡⋯。因此研究禽流感 传染病动力学模型对于预防控制该疾病的流 行将起到积极的作用。 在以往的文献中从同一群体考虑传染病 传播规律的文章有很多(f2】-110J)，在本文中，把 禽类的传播模犁和人类的疾病演变模型考虑 在一起。由于研究的系统包涵两个模型之间 的相互作用，因此这个系统更复杂。 为探讨禽流感的传染流行规律，根据古典 的K—M模型进行修正，把模型当中涉及到的 因素作如下假设： (1)人类种群M分为三类： S类：易感者，指未得病者，与染病禽接触 容易受到感染· 厶类：染病者，指染t传染病的人； 足类：移出者，指病愈或死亡者或被隔离 或住院。 (2)禽类种群M分成两类： 最类：易感禽，指未得病者，与染病禽接触 容易受到感染， ‘类：染病禽，指染上传染病的禽。 (3)在人类群体中，易感者将通过直接或间 =1所以z(t卜卜X(t)一Y(t)，(1．4) 接接触染病禽类，接触率为∥。，染病者将在移 出率’，。的作用下转变成移出者。 (4)在禽类群体中，易感禽与染病禽的接触 率为∥。。 (5)在人类和禽类中出生率和死亡率分别 相等，因此人类总数和禽类总数均为常数。 (6)设人类和禽类的免疫接种率分别为 Ph，Pb 本文研究以下模型： 文(t)；以‰一反s一惫一，一墨 ib∞：$hs。告一，hlh J圣^O)=^厶一∥^尺^+p^瓯 文(f)=地以厶一屁瓯惫 (1．1) km玩鼠最叫。文 人类总数不变为M，≮为易感者：‘为染 病者；月。为移出者。禽类种群M分成两类， S为易感禽，‘为染病禽。∥．为人类出生率 或公共死亡率，∥、为禽类出生率或公共死亡 率，声。，∥。分别为易感人类和易感禽类与染 病禽类的接触率，只，只分别为人类免疫率和 禽类接种率。其中S+‘+R=以，S+‘=M 这里参数均为正数。 则f)=器，y(f)-器硼)=篇瑚)； 器脚)=怒 (1．2) 由(1．1)和(1．2)可以得到 x(f)=此z(，)一屏x(f归(，)一p^工(f) Iy(|)=孱x(，)口(f)一^r(r) {z(r)=“ytO) 由(1．6)的第三个方程得到(卜以’)(∥口分 芦∥’)=o (2．1) 因此4。．-0，(2．2)，《。等(2．3) 若(2．2)成立，代入(1．6)得到因此得到： F=且，五‘=o‘ 几十以‘ ’ 边界平衡点(x-l‘，爿；)=‘瓦孝i’o’D。 若(2．3)成立代入(1．6)得到 噩2百瓦再等专丽(2-4)‘ (心+几)％+魄+n)反(1一《)～“’， 巧=而矗鬟蔫而耐：．5)‘ (玩+，^)，^+(，^+，^)卢★(1一彳：)、二‘。7 因此得到了正平衡点(五’，K‘，以，’)。 2边界平衡点稳定性分析 计算系统(1．6)关于平衡点(F，'，。A‘)的 Jacobian矩阵为 心∥4甘肛兹≯丸：} 中国科教创新导刊 ChInaEducatlonInnovatlonHerald39 万方数据 厩x‘ 、 叫。篡2吖l (3．1)一心n一晟+2．风月’J 、3‘1J 在系统(1．6)中边界平衡点为互+(墨‘，K’， 4。‘)=‘五半百’o’1)，r1．=o，即人类染病者 皆o，则边界平衡点互‘为天病平衡点，其Ja— cobian矩阵为 f一心一^一^善粤1 一以忐眦l：一?篇|(3．2)“+“ o o d．．“o．1、⋯7 l J 平衡点E’的稳定性是由于E’点Jacobian 矩阵的特征根决定的，若特征根均具有负实 部，则无病平衡点E。是局部渐近稳定的。 计算_厂(互)的特征根。因A．=一∥。一 只l时，无病平衡点茸’是 不稳定的。 下面证明当兄0所以矿≤0． 因此由Lyapunov—Lasaue定理，当R< 1时，无病平衡点E。是全局渐近稳定的。 (4．1) 其中Ⅳl(心+n耽+(胁+^)鼠(1一击)(4．2) 小一“吨一以(1一々 (4．3) 扛鲍见m鲁 (4．4) 电州蟛M护悍譬 一：{!：名卦∽，，叱一名一学l-o(4．5)O L—A 计算以岛’)的特征根．其中一个特征根 五：￡：啦以一层+孕：岛儿。一R)。若五=￡。啦以一层+等2岛儿。一R)。若 风>l，则五0。 即K一^；一一一“一尻(1一寺)一^o(4．8) 当R>l时可使(4．7)和(4．8)成立。 因此，当民。差昔>1时，地方病平衡点是 局部渐近稳定的。由此我们得出引理2。 引理2当R>l时，地方病平衡点压‘是局 部渐近稳定的，Rl时，无病平衡 点是不稳定的，地方病平衡点是稳定的。这 意味着，一旦有患病者，疾病就会流行而最终 将在一定区域内稳定在地方病平衡点。 因此，为了避免疾病的进一步流行，必须 减少R=差暑的值，有效的方法是降低禽类传 染率。一旦发生疫情要隔离传染源。另一种 方法是增大禽类免疫接种率，使各项损失降到 最低。 参考文献 【11范学工．新发传染病学．中南大学出版社， 2007． 【2】杨光，张庆灵．对传染病数学模型施加控 制的闽值分析．生物数学学报，2004，19 (2)：180～l84． 【3]曾大有，张文冶，唐艳容．关于流行病的数 学模型．华北航天工业学院学报，2005． 【4】H．W．Hethcote．Mathematicsofinfec— tiousdisea9es．SIAMReview，2005，42 (4)：599—653． 【5】T．L．Zhang，Z．D．Teng．Globalbe— haviorandoermanenceofSIRS epideminmodelwithtimedelay． NomlinearAnalysis：RealWorld Applications，2008，9：1409～1424． 【6】X．Z．Li，W．s．Li．GlobalAnalysi8of anSEISEDidemicModelwith NonmonotoneIncidenceRate．JOumal ofⅪnyangNomalUTliVersity：Natu— ralscienceEdition，2008，21(2)． 【7】C．J．Fu，L．Z．Zheng．Exponentialsta— bilityOfSEIRSepidemicmodelwith twodelays．JofMath(PRC)． 【8】P．H．I船Ue．S0mefurthernotesonthe useofmatricesin populatiOn mathematics．Biometrika，1948，35： 213—245． 【9】M．A．Aziz—Alaoui．StudyofLeslie— Gower—typetritrophicpopulation mOdeLChaosS01itonsFractals，2002， 14(8)：1275～1293． 【l0】原存德，胡宝．具有阶段结构的SI传染病 模型．应用数学学报，2002，25(2)：193～ 203． (上接38页) 写作能力，对学生适应社会工作有不少的好 处。 4讨论 随着科学技术和我国经济的高速发展，我 国人民的生活水平已得到不断的提高，由此对 环保的要求越来越高，过去那种凡是害虫均施 用化学农药的做法已不适合现代社会的环保 理念，这对我们高等院校所培养的人才要求更 高，只有那些专业基础扎实、知识面宽、工 作能力强、素质高的德智体全面发展的人才 才能在就业压力巨大的社会上找到理想的工 作。因此，作为园林专业本科生的《园林植 物昆虫学》课程教学的改革应不断深化，为 培养出合格的林业技术人员提供保障。 参考文献 【l】李孟楼，王敦，孙全友，等．森林昆虫学教材 的结构分析及整合【J】．中国林业教育，2005 (2)：63～66． 【2】李巧．西南林学院森林昆虫学课程建设思 40 中国科教劬新导刊 chInaEducatlonInnovationHeraId 考[J】．西南林学院学报。2004，24(增刊)： 28～30． 【3】壬桂清．改革教学方法适应时代要求一《森 林昆虫学》教学改革途径的探讨【J】．森林 病虫通讯，2000(2)：37—39． 【4】朱巽．高职((园林昆虫学》课程教学研 究【J】．长沙铁道学院学报(社会科学版)， 2008。9(1)：120～121． 【5】武三安．园林植物病虫害防治(第2版)【M】． 北京：中国林业出版社，2007． 耋∥ “ “o - 一r一 - X 中0 叩 万方数据 一类禽流感传染病数学模型的动力学行为分析 作者： 王红飞， Wang Hongfei 作者单位： 开封大学,河南开封,475000 刊名： 中国科教创新导刊 英文刊名： CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD 年，卷(期)： 2009，(22) 被引用次数： 0次 参考文献(10条) 1.范学工 新发传染病学 2007 2.杨光.张庆灵 对传染病数学模型施加控制的阈值分析[期刊论文]-生物数学学报 2004(02) 3.曾大有.张文冶.唐艳容 关于流行病的数学模型 2005 4.H W Hethcote Mathematics of infectious diseases 2005(04) 5.T L Zhang.Z D Teng Global behavior and permanence of SIRS epidemin model with time delay 2008 6.X Z Li.W S Li Global Analysis of an SEIS Epidemic Model with Nonmonotone Incidence Rate 2008(02) 7.C J Fu.L Z Zheng Exponential stability of SEIRS epidemic model with two delays 8.P H Leslie Some further notes on the use of matrices in population mathematics 1948 9.M A Aziz-Alaoui Study of Leslie-Gower-type tritrophic population model 2002(08) 10.原存德.胡宝 具有阶段结构的SI传染病模型[期刊论文]-应用数学学报 2002(02) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_rdsta200922034.aspx 授权使用：哈尔滨理工大学(heblgdx)，授权号：8fae2f71-9926-47e6-bdef-9e6e010af8a8 下载时间：2011年1月17日