线性代数之一矩阵

线性代数教学参考 刘剑平 2006年 9月 前言 课程介绍 背景 线性代数是代数的一个分支，由于费马和笛卡儿的工作而起源于十七世纪，线性代数是 研究有限维空间中线性关系的理论和方法的数学。线性代数课程在高等工业学校的教学 中是一门基础理论课，也是一门研究生入学考试的必考课程。由于线性问题广泛存在于技术 科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，而且无限维的问题也 常“离散化”为有限维问题来处理，因此线性代数的理论与方法已经渗透到现代科学、技术、 经济、管理的各个领域，提供描述、处理问题的思想和方法。随着科学技术数学化和计算机 的广泛应用，线性代数在现代科技和高等教育中的地位和作用愈显重要，尤其在计算机日益 普及的今天，解决大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已经成为人员常遇到 的课题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用各个学科，尤其在计算机、通讯、电子等学科 领域，这就要求学生具有关于本课程地基础知识，并熟练地掌握它地方法。 培养目的 线性代数是以讨论有限维空间线性理论为主的课程，具有较强地抽象性与逻辑性。通过 本课程地学习，使学生掌握线性代数地基本理论和基本方法，使学生获得应用科学中常用地 矩阵方法、线性方程组、二次型等理论及其有关基本知识，并具有熟练地矩阵运算能力和用 矩阵方法解决一些实际问题的能力，并在抽象思维和逻辑推理能力方面得到一定地训练，提 高分析和解决问题的能力，培养科学思维和创新能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数 学知识面奠定必要的数学基础。 学习方法 本课程定义、定理等概念比较多，由一定地抽象性，且有一套独特地理论体系和处理问 题的规律和方法。因此，有一定地学习难度。要学好，除了重视书本的学习，认真阅读教材 以外，做一定量的课外练习也是必不可少的，参考书的合理使用是行之有效的。只有在阅读 的基础上加以练习，才能加深对概念的理解和方法的掌握，从而获得相关的知识，进一步提 高逻辑思维能力。 课程的重点、难点 本课程的重点包括：矩阵的定义和运算；逆矩阵的求解；矩阵方程的求解；矩阵的初等 变换；行列式的定义和性质；行列式按行（列）展开定理；行列式的计算；克莱姆法则；矩 阵的秩的定义和计算；线性方程组的求解；向量组的线性关系；相似矩阵的定义和求解。 本课程的难点包括：逆矩阵的求解；矩阵的初等变换；高阶行列式的计算；线性方程组 的求解；向量组的线性关系；相似矩阵的求解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 教学和教学安排 以线性方程组的求解为核心展开矩阵、行列式等基本概念的讨论，进而解决线性方程组 的求解；同时，为了引出线性方程组解的结构，讨论了向量空间；最后，讨论了用途极广的 特征问题及二次型。 先讲矩阵是因为矩阵是线性代数的基础，一切代数运算归根到底是矩阵的运算，同时，讲行列 式也丰富了许多；先讲线性方程组的求解后讲向量空间是为了将抽象的向量关系用具体的线性方程 组的求解来解释，以便学生很好地理解概念。 教 材：《线性代数》，刘剑平、施劲松、曹宵临主编 华东理工大学出版社，2003 《线性代数》电子教材，刘剑平主编 华东理工大学出版社，2004 《工程数学》，刘剑平、施劲松、陆元鸿主编，华东理工大学出版社，2003 参 考 书：《线性代数精析与精练》，刘剑平、曹宵临主编，华东理工大学出版社，2004 《线性代数复习与解题指导》，刘剑平、曹宵临主编，华东理工大学出版社，2001 《工程数学习题解答与复习指南》，刘剑平等主编，华东理工大学出版社，2003 教学的基本内容安排 （一） 矩阵（11学时） 1.矩阵的概念 2.矩阵的运算 3.逆矩阵 4.矩阵的分块 5.初等变换与初等矩阵 （二） 行列式（9学时） 1．行列式的定义 2．n阶行列式的展开公式 3．行列式的性质 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 4．行列式的计算 5． 行列式的应用 （三） 矩阵的秩和线性代数方程组（9学时） 1．矩阵的秩 2．齐次线性方程组 3．非齐次线性方程组 （四） 向量空间（11学时） 1．向量的线性相关与线性无关 2．向量组的秩 3．向量空间 4．线性方程组解的结构 5． 向量的内积 （五）特征值问题与二次型（12学时） 1．方阵的特征值与特征向量 2．相似矩阵 3．实对称矩阵的对角化 4．二次型及其形 5． 正定二次型与正定矩阵 机动（2学时） 注：（36学时到四 2止） 第一章 1.1 基本内容 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 1.1.1 矩阵的概念 （1）定义 由 nm ´ 个元素 ( )njmiaij ,,2,1;,,2,1 LL == 排成的 m行，n列的矩阵元素表 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = mnmm n n aaa aaa aaa A L LL L L 21 22221 11211 称为维是 nm ´ 的矩阵，简记为 ( ) nmij aA ´ = 。 注1 本书中我们讨论的主要是实矩阵，即 A的元素 ija 为实数的情形。 注2 当 nm = 时，称 A为 n阶方阵。 注3 称 nmA ´ 与 nmB ´ 为同维（阶）矩阵，如果两个同维矩阵 A与 B的对应元素相等，则 A ＝B。 （2）特殊矩阵 零矩阵：元素全为零的矩阵，记作 0 行矩阵： [ ]naaaA ,,, 21 L= 列矩阵： ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = na a a A M 2 1 三角阵： =A ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é mn n n a aa aaa L MOMM L L 00 0 222 11211 称为上三角，满足 ( )jiaij >= 0 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = mnmm aaa aa a B L MOMM L L 21 2221 11 0 00 称为下三角，满足 ( )jiaij <= 0 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 对角阵： ( )nn mn aaadiag a a a A L L MOMM L L ,, 00 00 00 2211 22 11 = ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = 数量阵： ( ) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = k k k kkkdiag O L,, 单位阵： ( ) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 1 1 1,1,1 O Ldiag ，常记作 nI 或 I ，有时也记作 nE 或E。 对称阵： TAA = 反对称阵： TAA -= 注1 行（列）矩阵通常称为行（列）向量。并习惯用小写字母表示，其每一元素称为分量。 分量个数称为维数。 注2 上述所列的特殊矩阵，除零矩阵、行或列矩阵外,均为方阵。 注3 对反对称阵 ( )ijaA = 来说，必有 ( )niaii L,2,10 == 。 注4 任一方阵 A均可表示为一个对称阵和一个反对称阵之和，即 ( ) ( )TT AAAAA -++= 2 1 2 1 1.1.2 矩阵的运算 （1） 加法：设 ( ) nmij aA ´ = ， ( ) nmij bB ´ = ，则 ( ) nmijij baBA ´ +=+ （2） 数承：设 ( ) nmij aA ´ = ，k为数，则 ( ) nmij kakA ´ = （3） 乘法：设 ( ) smij aA ´ = ， ( ) nsij bB ´ = ，则 ( ) nmij cAB ´ = ，其中 ( )njmibabababaC sjisjiji s k kjikij LLL ,2,1;,2,12211 1 ==++== å = 注 两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn （4） 转置：设 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = mnmm n n aaa aaa aaa A L LL L L 21 22221 11211 ，则 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é mnnn m aaa aaa aaa L LL L L 21 22212 12111 称为 A的转置，记作 TA 或 A¢。 （5）运算规律： 下表给出了矩阵与数的运算规律之比较。 运算 数 矩阵 说明 加法 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) a+0=a A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+0=A 能够相加的矩阵 必须是同维矩阵 数乘 （ab）A=a(bA)=b(aA) (a+b)A=aA+bA a(A+B)=aA+aB a,b是数 A，B是同维矩阵 a*1=a 1*a=a A*I=A I*A=A 要注意 I的维数 (ab)c=a(bc) (AB)C=A(BC) A的列数须等于B的行 数 B的列数须等于D的行 数 A(b+c)=ab+ac (b+c)d=bd+cd A(B+C)=AB+AC (B+C)D=BD+CD B与 C须同维，A的列 数须等于 B的行数，B 的列数须等于 D 的行 数 Ab=ba 一般 AB ¹ BA 例 如 不能相乘但 ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é 00 01 2 1 , 0 1 2 1 00 01 若 0¹k , 且 ),kbkabkak == 或（ 则 a=b 若 BABLAL KBKALK ¹= =¹¹ 一般或 且或 ),( )0(0 消去律一般不成立，但 当 K（或 L）可逆时， A＝B必成立 lklk aaa +=· lklk AAA +=· A必须是方阵，且 k，l 为非负整数 乘 法 ( ) kkk baab = 一般 ( ) kkk BAAB ¹ 当 A，B为同阶方阵， 且 AB＝BA，k为非负 整 数 时 ， 有 ( ) kkk BAAB ¹ PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 转置 ( ) ( ) ( ) ( ) TTT TT TTT TT ABAB kAkA BABA AA = = +=+ = A， B为同维矩阵， k为数 A的列数须等于B的行 数 1.1.3矩阵的初等变换与初等矩阵 （1）矩阵 A的初等变换有如下三类： 第一类：将 A的第 i行（列）与第 j行（列）对换，记为 ( )ijij cr 。 第二类：以非零常数 k乘 A的 i行（列），记作 ( )( )kckr ii )( 。 第三类：将 A的第 i行(列)的 k倍加到第 j行（列）上去，记作 ( ) ( )( )kckr ijij 。 （2）初等矩阵是单位阵 I经过一次初等变换后得到的矩阵 ij ij R r I ¾®¾ ， )()( kRkrI ii ¾¾ ®¾ ， )( )( kR kr I ij ij ¾¾ ®¾ ij ij c c I ¾®¾ ， )()( kckcI ii ¾¾ ®¾ ， )( )( kR kc I ij ij ¾¾¾ ®¾ （4） 初等变换与初等矩阵之间的关系 （5） 初等矩阵左（右）乘 A，相当与对 A进行一次相应的初等行（列）变换，例如： ABRB r A ij ij Û¾®¾ ， BACB c A ij ij =Û¾®¾ 。 注 1 若矩阵 A经过有限次初等变换得到矩阵 B，则称 B与 A等价，此时必有等式 BCACRR ts =LL 11 成立，其中 1RRs L 和 tCC L1 均为初等矩阵。 注 2 任一矩阵 A 经有限次初等变换后均可化为形如 ú û ù ê ë é 00 0rI 的矩阵，其中 r 为 A 的秩，称 矩阵 ú û ù ê ë é 00 0rI 为 A的标准型。 1.1.4 可逆矩阵的定义 设 A为 n阶方阵，若存在 n阶方阵 B，使 AB＝BA＝I，则称 A为可逆矩阵，称 B为Ａ的你 矩阵。 注 1 可逆矩阵必是方阵。 注 2 A若为可逆，其逆必唯一，故 A的呢矩阵记作 1-A ，即有 IAAAA == -- 11 注4 可逆矩阵又称为非退化阵或非奇异阵或满秩阵，不可逆阵又称为退化阵或奇异阵或降 秩阵。 1.1.5 可逆矩阵的性质 （1）若 A可逆，则 TA ， 1-A 均可逆，且 ( ) AA =-- 11 ， ( )TT AA 11)( -- = PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn （2）若 A可逆，数 0¹k ，则 kA可逆，且 11 1)( -- = A k kA （3） 若 A，B是同阶可逆阵，则 AB可逆，且 ( ) 111 --- = ABAB 注 若 A，B为同阶的可逆矩阵，则 A＋B不一定可逆。 1.1.6 可逆矩阵的判别方法 （1） 利用定义：若 AB＝BA＝I，则必有 A可逆，且 BA =-1 。 （2） 利用行列式：若 é ù 0¹A ，则 A可逆。 （3） 利用性质（3）：将矩阵分解成可逆矩阵的乘积。 （4） 利用矩阵的秩：A为 n阶方阵，若 ( ) nAr = ，则 A可逆。 （5） 利用线性方程组：若 nn´ 方程组 bAx = 有唯一解，则 A可逆。 （6） 利用向量组的线性无关性：若方阵 A的行（或列）向量线性无关，则 A可逆。 （7） 利用初等矩阵：若 A可分解为有限个初等矩阵之积，则 A可逆。 （8） 利用特征值：证明数零不是 A的特征值，则 A可逆。 （9） 利用反证法：这是常用方法。 注1 方法（1）在具体使用时，实际上只需验证 AB＝I或 BA＝I，即两者只要有一个成立 时，就必有 BA =-1 ，当然此时 A，B必须是同阶矩阵。 注2 初 等 矩 阵 都 是 可 逆 阵 ， 且 其 逆 也 是 初 等 矩 阵 （ ( ) ( ) ( )kRkR k RkRRR ijijiiijij -=÷ ø ö ç è æ== --- 111 ,1, ），因此，对任一矩阵 A，必存在可 逆阵 P，Q，使 ú û ù ê ë é = 00 0rIPAQ ，这称为 A的标准分解。 注3 方法（7）说明可逆阵必与单位阵等价，这一结论也是我们利用初等变换求逆矩阵的 理论依据。 1.1.7 逆矩阵的计算方法 （1） 利用初等变换 ( ) ( )1|| －行 AIIA ¾®¾ 或 ÷÷ ø ö çç è æ ¾®¾÷÷ ø ö çç è æ 1I A － 列 A I 注 ( ) ( )1|| －行 AIIA ¾®¾ 只能用行初等变换 ÷÷ ø ö çç è æ ¾®¾÷÷ ø ö çç è æ 1I A － 列 A I 只能用列初等变换 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn （2） 利用伴随阵 A AA * 1 =- 注 在具体计算时这一公式适用于较低阶的矩阵 （3） 利用分块矩阵 （4） 凑法：当条件中有矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出 AB＝I的形式， 从而可得 BA =-1 ，这一方法适用于抽象矩阵求逆。 1.1.8 分块矩阵的定义于运算 （1） 定义 用若干条纵线和横线把一个矩阵分成若干个小块。每一小块称为矩阵的一个子块和 子矩阵，则一这些子块为元素的原矩阵称为分块矩阵。 （2） 运算 （3） 进行分块矩阵的加、减、乘法和转置运算，可降子矩阵当作通常矩阵的元素看待。 注 1 同维矩阵，只有用同样的分块方法时，才能进行分块相加。 这 2 分块乘法只有当左边矩阵分法于右边矩阵的行分法一致时才能进行。 注4 分块转置除了行列互换外，每一子块也需转置，即若 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = srss r r AAA AAA AAA A L MMM L L 21 22221 11211 则 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = T sr T r T r T s TT T s TT T AAA AAA AAA A L MMM L L 21 22212 12111 1.1.9 利用分块矩阵求逆矩阵 （1） 对分块对角阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = sA A A A O 2 1 若 ( )可逆，siAi ,,2,1 L= 则 A可逆且 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = -1 1 2 1 1 1 sA A A A O － － － （2） 对 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = s A A A A 2 1 N 若 ( )可逆，siAi ,,2,1 L= 则 A可逆且 ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ë é - - 1 1 1 1 1 1 － － －＝ A A A A s s N （3） 对 ú û ù ê ë é = C DB A 0 或 ú û ù ê ë é = CD B A 0 其中 B为 mm´ 可逆阵，C为 nn´ 可逆阵，则 A可逆，且 ú ú û ù ê ê ë é 1 111 1 0 － －－－ － － ＝ C DCBB A 或 ú ú û ù ê ê ë é 111 1 1 0 －－－ － － － ＝ CDBC B A 注 当矩阵的零元素较多时，可考虑分块，时告诫矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算，这是 简化矩阵运算的一个途径。 1.1.10 用列（行）方块易推得的一些结论 （1） 将 A按列分块 [ ]n mnmm n n aaa aaa aaa A aaa ,,, 21 21 22221 11211 L L LL L L = ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = 其中 ja 是 A的第 j列，则 ( )njAe jj L,2,1== a PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 其中 je 为单位阵 nI 的第 j列。 （2） 将 A按行分块 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = T m T T A b b b M 2 1 其中 T ib 为 A的第 i行，则 ( )miAe TiTi ,,2,1 L== b 注 由（1），（2）可得到 ijj T i aAee = （3） 将 1-A 列分块 [ ]nA aaa ,,, 211 L=- 则 1-A 的计算也可转化为方程组 ( )nieA ii ,,2,1 L==a 的求解问题。 （4） 关于正交阵 定义：若 IAAT = ，即 1-= AAT ，称 A为正交阵。 结论：将 A列分块 [ ]nA aaa ,,, 21 L= ，则由 IAAT = 可得 î í ì = ¹ = ji ji j T i 1 0 aa 同理，由 IAAT = 可的 A的行向量组具有同样的结论。 1.2 典型例题分析 1） 矩阵乘法 例 1 设 ú û ù ê ë é -- = 24 12 A ，B＝ ú û ù ê ë é - - 26 13 ，求 AB，BA， 2A 解 AB＝ ú û ù ê ë é -- 24 12 ú û ù ê ë é - - 26 13 ＝ ú û ù ê ë é 00 00 BA＝ ú û ù ê ë é - - 26 13 ú û ù ê ë é -- 24 12 ＝ ú û ù ê ë é -- 1020 510 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 2A ＝ ú û ù ê ë é -- 24 12 ú û ù ê ë é -- 24 12 ＝ ú û ù ê ë é 00 00 注 1 BAAB ¹ ，交换律不满足。 注 2 0,0 ¹¹ BA ，可有 0,0 2 == AAB 。 注 3 0,2 ¹= AAAB ，但 BA ¹ ，消去律不满足。 例 2 已知 A＝ ú û ù ê ë é 10 11 ，求与 A可交换的一切矩阵。 解 解法一 若 B与 A可交换，则由 AB＝BA知，B必为二阶方阵。 设 B＝ ú û ù ê ë é 2221 1211 bb bb ，则 AB＝ ú û ù ê ë é 10 11 ú û ù ê ë é 2221 1211 bb bb ＝ ú û ù ê ë é ++ 2221 22121211 bb bbbb BA＝ ú û ù ê ë é 2221 1211 bb bb ú û ù ê ë é 10 11 ＝ ú û ù ê ë é + + 222121 121111 bbb bbb 根据 AB＝BA，有 ï ï î ï ï í ì += = +=+ =+ 222122 2121 12112212 111211 bbb bb bbbb bbb 解得 221121 ,0 bbb == ，由此可得到与 A可交换得任一矩阵是 B＝ ú û ù ê ë é 11 1211 0 b bb 其中 1211 ,bb 为任意实数。 解法二 将 A分解为 A＝ ú û ù ê ë é 10 11 ＝ ú û ù ê ë é 10 01 ＋ ú û ù ê ë é 00 10 ＝I＋ ú û ù ê ë é 00 10 由于单位阵 I与任何矩阵都可交换，故问题变为求与 ú û ù ê ë é 00 10 ＝C可交换得矩阵，设 其为 B＝ ú û ù ê ë é 2221 1211 bb bb PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn CB＝ ú û ù ê ë é 00 10 ú û ù ê ë é 2221 1211 bb bb ＝ ú û ù ê ë é 00 2221 bb BC＝ ú û ù ê ë é 2221 1211 bb bb ú û ù ê ë é 00 10 ＝ ú û ù ê ë é 21 11 0 0 b b 由于 CB＝BC得 12221121 ,,0 bbbb == 任意，故与 A可交换的矩阵为 B＝ ú û ù ê ë é 11 1211 0 b bb 其中 1211 ,bb 为任意实数。 例 3 已知 T úû ù êë é= 2 1,0,,0, 2 1 La 是 n维列向量，A＝ TI aa- ，B＝ TI aa2+ ，求 AB 与 BA。 解 显然 A、B均为 n阶方阵，有矩阵运算规律可得 AB＝[ TI aa- ][ TI aa2+ ]= ( ) TTTTTT II aaaaaaaaaaaa 2122 -+=--+ 由于 =aa T úû ù êë é 2 1,0,,0, 2 1 L T úû ù êë é 2 1,0,,0, 2 1 L ＝ 2 1 4 1 4 1 =+ ，所以 AB＝I。 由于 A，B是同阶方阵，故由 AB＝I，可得必有 BA＝I。 注 1 对 n 维列向量a 来说， Taa 与 aa T 由很大不同，由此也说明多任一矩阵 TT AAAAA 与, 是未必相同的，应看仔细，不能混为一谈。 注 2 对矩阵运算，应尽量先由运算规则进行符号运算，至最后结果再将具体数字代 入算得结果。 2） 方阵幂得计算 常用方法有： （1）利用乘法结合律 （2）递推法 （3）利用数学归纳法 （4）利用分块矩阵 （5）利用矩阵对角化 例 4已知a ＝ [ ]T3,2,1 ，b ＝ T úû ù êë é 3 1, 2 1,1 ，A＝a Tb ，求 nA 。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 解 由 Tb a ＝ úû ù êë é 3 1, 2 1,1 [ ]T3,2,1 ＝3，A＝a Tb ＝ [ ]T3,2,1 úû ù êë é 3 1, 2 1,1 ＝ ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ë é 1 2 33 3 212 3 1 2 11 知 nA ＝ ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ë é = - - - 1 2 33 3 212 3 1 2 11 3 1 1 1 n TnTTTTTTTT nn ababbabababaababab ＝ 个 ＝ 个 4444 34444 21 L444 3444 21 L 例 5 设 P＝ ú û ù ê ë é 21 32 ，Λ＝ ú û ù ê ë é 10 01 － ，Q＝ ú û ù ê ë é 21 32 － － ，A＝PΛQ，计算 QP及 nA 。 解 QP＝ ú û ù ê ë é 21 32 － － ú û ù ê ë é 21 32 ＝ ú û ù ê ë é 10 01 ＝I nL ＝ ( ) î í ì +=L = =ú û ù ê ë é - 12 2 10 01 kn knI n nA ＝ [ ] [ ][ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì +=ú û ù ê ë é - - = = î í ì +=L = = L=LLLL= LLL=L 12 74 127 2 12 2 kn knI knQP knPQ QPQQPQPQPP QPQPQPQP n n L L 例 6 已知 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é --- --- --- --- = 1111 1111 1111 1111 A ，求 nA 。 解：（递推法） 因为 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é == 4 4 4 4 2 AAA ＝4 I ，所以 AAAA 223 2== ，于是 当 n为偶数时 ( ) ( ) IIAA n nn n 22 2222 === 当 n为奇数时 AAIAAA nnnn 111 2)2( --- === PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 例 7 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 2200 0200 0034 0043 A ，求 4A 。 解： ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 2200 0200 0034 0043 A ＝ ú û ù ê ë é 2 1 0 0 B B ，其中 ú û ù ê ë é = 34 43 1B ， ú û ù ê ë é = 22 02 2B 于是 ú ú û ù ê ê ë é = 4 2 4 14 0 0 B B A ，而 ú û ù ê ë é = 250 0252 1B ＝25 I ，故 .525 424 1 IIB == ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = 12 01 2 11 01 11 01 2 2222B ，故 ú ú û ù ê ê ë é =ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = 46 4 44 2 22 02 12 01 12 01 2B ，所以 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é = 46 4 4 4 4 2200 0200 0050 0005 A 例 8 设 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 100 010 101 A ，求 nA 。 解 解法一 BIA += ú ú ú û ù ê ê ê ë é + ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 000 000 100 100 010 001 由于 I 与B可交换，故 ( )å = -= n k kknk n n BICA 0 又 0, 2 ==- BII kn ，从而 ,,3,20 L== kB k 所以 ú ú ú û ù ê ê ê ë é =+=+= - 100 010 01 110 n nBIBICICA nn n n n 注 这种做法一般来说是将 A写成 A＝B+C,然后用二次式展开，但注意前提条件是 BC＝ CB且 0=mC （m很小）。 解法二 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 因为 ú ú ú û ù ê ê ê ë é == 100 010 201 2 AAA ， ú ú ú û ù ê ê ê ë é == 100 010 301 23 AAA ， ú ú ú û ù ê ê ê ë é == 100 010 401 34 AAA 观察这些规律，可推得 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 100 010 01 n An 此结论正确与否，还需用数学归纳法证明，为此，假设 n＝k时成立 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 100 010 01 k Ak 当 n＝k＋1时 ú ú ú û ù ê ê ê ë é + = ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é ==+ 100 010 101 100 010 101 100 010 01 1 kk AAA kk 故 n＝k＋1时结论也成立，于是上述结果正确。 解法三 （利用分块矩阵） 将 A 列分块 A＝ [ ]3121321 ,,],,[ eeee +=aaa ，其中 ( )3,2,1=iei 为 3I 的第 i 列，则由 iiAe a= ，得 [ ] [ ] [ ] [ ]31213121312131212 2,,,,,,,, eeeeAeAeAeAeeeeeAA +=+=+=+= aaaa [ ] [ ] [ ]3121312131213 3,,2,,2,, eeeeeeeeAA +=+=+= aaaa 假设 n＝k时成立 [ ]3121 ,, ekeeeAk += ，则当 n＝k＋1时， [ ] [ ] [ ]3121312131211 )1(,,,,,, eekeekekeeeAAk ++=+=+=+ aaaa 由数学归纳法知，对一切 n有 [ ] ú ú ú û ù ê ê ê ë é =+= 100 010 01 ,, 3121 n eneeeAn 解法四 （利用初等矩阵） 显然，A是初等矩阵，则 43421 L 个n AAAIAn = ，相当于对 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 100 010 001 I 施行 n次列初等变换， 故 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 100 010 01 n An 例 9 设 ( ) 233 23 ++-= xxxxf ，以 ( )Af 表示矩阵多项式 IAAA 233 23 ++- ，即 ( ) IAAAAf 233 23 ++-= ，如果 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - = 100 110 011 A ，求 ( )Af 。 解 解法一 令 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 000 100 010 B ，则容易计算 03 =B ，由于 BIA -= ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) I IBIBBIBBBI IBIBIBIAf 3 23336333 233 232 23 = +-+-+--+-= +-+---= 解法二 由于 IAAA -+- 33 23 ＝ ( ) 0 000 100 010 3 3 = ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - =- IA 所以 ( ) ( ) IIIAAf 333 =+-= 3） 逆矩阵的计算 例 10 （1）设 ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 000 300 020 A ,求 1-A 。 （3） 设 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 00 00 00 3 2 1 A A A A ，其中 ( )3,2,1=iAi 是可逆方阵，求 1-A 。 解 （1） 解法一 （初等变换法） PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn [ ] ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é - ¾¾¾ ®¾ ÷÷ ø ö çç è æ- ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ ú ú ú û ù ê ê ê ë é - ¾®¾ ú ú ú û ù ê ê ê ë é -¾®¾ ú ú ú û ù ê ê ê ë é -= 0 3 10 00 2 1 4 100 100 010 001 3 1 2 1 4 1 010 001 100 304 020 004 001 010 000 020 300 004 100 010 001 004 300 020 3 2 1 23 13 M M M M M M M M M M M M M r r r r rIA 所以 ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é - =- 0 3 10 00 2 1 4 100 1A 解法二（分块矩阵） ú û ù ê ë é = 2 1 B B A ，其中 ú û ù ê ë é - = 30 02 1B ， [ ]42 =B ，则 ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é - =ú û ù ê ë é = - - - 0 3 10 00 2 1 4 100 1 1 1 21 B B A （2）类似于（1）的解法二 A可分块为 , 3 ú û ù ê ë é = A B A 其中 ú û ù ê ë é = 2 1 0 0 A A B ，则 ú û ù ê ë é = - - - 1 2 1 11 A A B ，于是 ú ú ú û ù ê ê ê ë é =ú û ù ê ë é = - - - - - - 00 00 00 1 2 1 1 1 3 1 1 31 A A A B A A 例 11 计算例 6中矩阵 A的逆矩阵 1-A 。 解 解法一（利用定义） PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 有例 6知， IA 4 4 4 4 4 2 = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ，从而 IAA =÷ ø ö ç è æ 4 1 ，由逆矩阵定义知 AA 4 11 =- 解法二 （利用正交阵） 显然， [ ]4321 ,,, aaaa=A 的列向量满足 ( ) î í ì = ¹ = ji ji j T i 4 0 aa ，设 AB 2 1 = ，则B为正交 阵，从而 TBB =-1 ，故 ( ) AAABBBA TTT 4 1 4 1) 2 1( 2 1 2 1 2 12 111 ====== --- 注 本题也可用初等变换法，但运算较繁。 例 12 设 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = 7600 0540 0032 0001 A ， ( ) ( )AIAIB -+= -1 ，求 ( ) 1-+ BI 。 解 （利用单位阵技巧） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = +=·+= -++++= -++=+ -- --- --- 4300 0320 0021 0001 2 12 11 111 111 AIIAI AIAIAIAI AIAIIBI 注 单位阵技巧主要是指巧妙使用下面二式 AIAAIIAAAA ==== -- ,11 这一方法对未具体给出的矩阵的有关逆的推倒有较大用处。 例13 已知 n阶方阵 A满足 0322 =-+ IAA 。 （1） 求 ( ) ( ) 111 4,2, --- ++ IAIAA 。 （2） 是整数）nnIA (+ 是否可逆，若可逆，求其逆。 解 这是典型的利用“凑法”的例子。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn （1） 由 0322 =-+ IAA ，可得 ( ) ( ) IIAAIIAA =+=+ 2 3 1,32 即 ，从而 ( ) ( ) AIAIAAA 3 12,2 3 1 11 =++= -- 由于 ( ) ( ) ( )( ) IIAIA IIAIAAIIAAAIAA 542 5424582432 22 ++-= ++-+=+--+=-+ 所以，由 0322 =-+ IAA ，可得 ( )( ) IIAIA 542 -=+- ，即 ( )( ) IIAIA =+-- 42 5 1 从而 ( ) ( )IAIA 2 5 14 1 --=+ - 注 这一方法不仅可以求出矩阵的逆，同时也可证明矩阵可逆。 （2）因为 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )InnInAnIA InnInnAnnAAIAA 2 22 232 232232 -+--++= -+--+-++=-+ 所以，由 0322 =-+ IAA ，可得 ( ) ( )( ) ( ) ( )( )InnnnInAnIA +-=-+=-++ 13232 2 当 可逆，且时，－且 nIAnn +¹¹ 13 ( ) ( )( ) ( )( )InAnnnIA -++ 213 11 ＋－ ＝ － 当 ( )( ) 033 =-+= IAIAn 时，有 。 若 可逆则 IIAIA 43, =+= 。 若 IA ¹ ，则 ( ) 03 =+ xIA 有非零解，故 03 =+ IA ，即 IA 3+ 不可逆。 当 1-=n 时，有 ( )( ) 03 =+- IAIA 。 若 IA 3-= ，则 IIA 4-=- 可逆。 若 IA 3-¹ ，则 ( ) 0=- xIA 有非零解，故 0=- IA ，即 IA - 不可逆。 例14 设 A是 n阶方阵， ( ) 1(0 －，求是某个确定的正整数） AIkAk -= 。 解 据例 13的思路 由于 ( )( ) IAAAIAIIAIA kkk =++++-=-= -12,0 L即，故 ，故知 AI - 可 逆，且有（ 11) -- +++=- kAAIAI L PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 4） 求解矩阵方程 例 15 设 A，B满足 BAIAB +=+ 2 ，且 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 101 020 101 A ，求矩阵 B。 解 BAIAB +=+ 2 ，也即 ( ) IABIA -=- 2 ，由于 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - =- 001 010 100 IA 可逆，所以 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ú ú ú û ù ê ê ê ë é - =+=+--=--= -- 201 030 102 121 IAIAIAIAIAIAB 例 16 设 n阶矩阵 A、B满足 ABBA =+ 。 （1） 证明 IA - 可逆。 （2） 已知 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 200 012 031 B ，求矩阵 A。 解 （1）由 ABBA =+ ，即 ,0=-+ ABBA 即 ( ) ( ) IBIAIA -=--- 。可得 ( )( ) IIBIA =-- ，所以 IA - 可逆，且 ( ) ( ) 11 -- -=- IBIA （3） 由 ( ) ( ) 11 -- -=- IBIA 得 ( ) ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é -+= ú ú ú û ù ê ê ê ë é - +=-+= - - 200 01 3 1 0 2 10 100 002 030 1 1 IIIBIA 注 A也可直接由 ABBA =+ 求得 ( ) 1--= IBBA ，但运算较繁。 5）有关矩阵可逆得证明题 例 17 已知 ABI + 可逆，试证 BAI + 亦可逆，且 ( ) ( ) AABIBIBAI 11 -- +-=+ 。 证 本题因为已经给出了 ( ) 1-+ ABI ，故证明只需验证即可，即验证 ( ) ( )( ) IAABIBIBAI =+-+ -1 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn 因为 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) IBABAI AABIABIBBAI AABIBABABIBBAI AABIBIBAI =-+= ++-+= +-+-+= +-+ - -- - 1 11 1 故知 BAI + 可逆，且 ( ) ( ) AABIBIBAI 11 -- +-=+ 注 若没有给出结论，一般证法如下： 因为 ABI + 可逆，所以存在方阵 C，使 ( ) ( ) ICABIABIC =+=+ 从而 CIABCCABIABCCCABC -==Þ=+=+ 对 ( ) ( ) BCABAACIBBCABAABICCICAB -=-=+=-= - 及有 1, 则 0=-- BCABABCABA ，即 ( ) IBAIBCABAI =+-+ 即 ( )( ) ( ) ( ) AABIBIBCAIBAIIBAIBCAI 11 -- +-=-=+=+- 则 例 18 设 A是 n阶方阵， x是 n维非零列向量，且 TxxIA -= ，证明 （1） AA =2 的充要条件是 1=xxT 。 （2） 1=xxT 时， A是不可逆矩阵。 证 （1） ( ) ( ) TTTTTTT xxxxIxxxxxxIxxIxxIA 22))((2 -+=+-=--= 若 AA =2 ，则 ( ) TTT xxIxx