历届全国初中数学联赛试题15套

全国数学联赛试题 一九九一年 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． 1．​ 设等式 在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则 的值是 （A）3 ； （B） ； （C）2； （D） ． 　　　　　　　　　　　　　　　 答（ ） 2．​ 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是 （A）​ 10； （B）12； （C） 16； （D）18． 　　　　　　　　　　　　　答（ ） 3．​ 方程 的解是 （A） ； （B） ； （C） 或 ； （D） ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 答（ ） 4．​ 已知： （n是自然数）．那么 ，的值是 （Ａ） ；　　　　　　　（Ｂ） ； （Ｃ） ；　　　　　（Ｄ） ． 答（　　　） 5．​ 若 ，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（　　　） 6．​ 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足 ， ， ，那么 的最大值是 （Ａ） ；（Ｂ） ；（Ｃ） ；（Ｄ）１． 答（　　　） 7．​ 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是 ， 和 ，那么，正方形OPQR的边长是 （Ａ） ；（Ｂ） ；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 8．​ 在锐角ΔABC中， ， ， ，ΔABC的外接圆半径 ≤1，则 （Ａ） < c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤ ； 答（ ） 　（C）c > 2； 　　　　　（D）c = 2． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　） 　　二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是 ． ２．已知关于x的一元二次方程 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么， ． 3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x >０， 恒成立，则 　　　　　　　． ４．四边形ABCD中，∠ ABC ，∠BCD ，AB ，BC ， CD = 6，则AD = ． 第二试 x + y，　x － y，　x y，　 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）． 二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且 BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）． 求证：BF＝AF＋CF 　三、将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数． 一九九二年 第一试 一.选择题 本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.满足 的非负整数 的个数是 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4. 2.若 是一元二次方程 的根,则判别式 与平方式 的关系是 (A) > (B) = (C) > ; (D)不确定. 3.若 ,则 的个位数字是 (A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( ) 4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于 ,则这个多边形的边数必为 (A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( ) 5.如图,正比例函数 的图像与反比例函数 的图像分别相交于A点和C点.若 和 的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是 (A) (B) (C) (D)不确定 答( ) 6.在一个由 个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 ,则 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( ) 7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD, ,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB. 则AE:EB等于 (A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( ) 8.设 均为正整数,且 , ,则当 的值最大时, 的最小值是 (A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题 1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________. 2.若 ,则 的最大值是__________. 3.在 中, 的平分线相交于 点，又 于 点，若 ，则 . 4.若 都是正实数，且 ，则 . 第二试 一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 的两根，当这样的三角形只有一个时，求 的取值范围. 二、如图，在 中， 是底边 上一点， 是线段 上一点，且 . 求证： . 三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下： A：320651 B：105263 C：612305 D：316250 已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N. 一九九三年 第一试 一.选择题 本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.多项式 除以 的余式是 (A)1; (B)-1; (C) ; (D) ; 2.对于命题 Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设 是实数, .下列四个结论: Ⅰ. 没有最小值; Ⅱ.只有一个 使 取到最小值; Ⅲ.有有限多个 (不止一个)使 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个 使 取到最小值. 其中正确的是 (A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数 满足方程组 其中 是实常数,且 ,则 的大小顺序是 (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 5.不等式 的整数解的个解 (A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在 中, , 则 的值是 (A) (B) (C) (D) . 答( ) 7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于 (A) ; (B) (C) (D) . 答( ) 8. 可以化简成 (A) ; (B) (C) (D) 答( ) 二.填空题 1.​ 当x变化时,分式 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球. 3.若方程 有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则 =____________. 4.锐角三角形ABC中, .以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________. 第二试 一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积 的值变小,变大,还是不变?证明你的结论. 二. 中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将 分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度. 三.已知方程 分别各有两个整数根 及 ,且 . (1)求证: (2)求证: ≤ ≤ ; (3)求 所有可能的值. 1994年全国初中数学联赛试题 第一试 (4月3日上午8：30—9：30) 考生注意：本试共两道大题，满分80分. 一、选择题（本题满分48分，每小题6分） 本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分. 〔答〕( ) 2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0 B．都不大于0 C．至少有一个小0于 D．至少有一个大于0 〔答〕( ) 3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长 A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定 〔答〕( ) A．1 B．-1 C．22001 D．-22001 〔答〕( ) 5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角 A．4对 B．8对 C．12对 D．16对 〔答〕( ) 〔答〕( ) 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是 〔答〕( ) A．1001 B．1001,3989 C．1001,1996 D．1001,1996,3989 〔答〕( ) 二、填空题（本题满分32分，每小题8分） 各小题只要求在所给横线上直接填写结果. 3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______. 4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______. 第二试 (4月3日上午10：00—11：30) 考生注意：本试共三道大题，满分60分. 一、（本题满分20分） 如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证： △ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。 二、（本题满分20分） 周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？ 三、（本题满分20分） 某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计. n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15 做对n个题的人数 7 8 10 21 …… 15 6 3 1 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？ 1994年全国初中数学联赛参考答案 第一试答案 一、选择题； 小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D C B C 二、填空题： 第二试提示及答案. 一、连结OA，OC，OP，OQ.证明△OCP≌△OAQ，于是 ∠CPO=∠AQO，所以O，A，P，Q四点共圆. 三、这个表至少统计了200人. 995年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题 1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ] A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b A．1 B．2 C．3 D．4 3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是 4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 ［ ] A．62π B．63π C．64π D．65π 5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 [ ] A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定 6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[ ] A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0 二、填空题 1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。 4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠CAB＝______． 第二试 1、​ 已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。 二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数 理由。 三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。 1995年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一、选择题 1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有 c＝(53)11＝12511 ＜24311＝(35)11＝a ＜25611＝(44)11＝b。选C。 利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。 2．讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组 直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。 3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1＋x2＝2＞1。三根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x1－x2｜＜1又 有0≤4－4m＜1． 4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由 AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122） ＝52×132 ＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2 故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D． 5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选B．其实，这只能排除A、C，不能排除D． 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B． 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有 ｜CE－DF｜＝2OL． 即M＝N．选B． 6．讲解：取a＝-1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不等式平方，有 ｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜． 显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾），有 两边都只能取1或-1，故只有1＞-1，即 有a＜0且a＋b＞0，从而b＞-a＞0．选B． 二、填空题 1．讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．经计算12，22，…，102，知十位数字为奇数的只有42＝16，62＝36．然后，对两位数10a＋b，有 （10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2． 其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b＝4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，…，95中个位数出现了几次4或6，有2×9＋1＝19． 2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a 学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2＋a作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．比如，由①有 由②－①，得 由③－②并将④代入，得 还可由①得 ⑥÷⑤即得所求． 3．讲解：这个题目是将二次函数y＝x2－x与反比例函数 因而x＝1时，y有最小值1． 4．讲解：此题由笔者提供，原题是求sin ∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°．解法如下： 与AB2＝AB2＋AC2 ② 联立，可推出 而式①、③表明，AB、AC是二次方程 改为求∠CAB之后，思路更宽一些．如，由 第二试 一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证S≥2T． 在这个题目的证明中，要用到AK ＝AL＝AD． 今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK＝AL＝AD(斜边上的高)，再求证KL通过△ABD、△ADC的内心（图7）． 其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等．下面是几个有代表性的证法． 证法1：如图6，连DF，则由已知，有 连BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB， 得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线． 由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心． 证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得 ∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是∠CED的平分线． 本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂． 由这个证明可知，F是△DCB的外心． 证法4：如图8，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC＝∠GBA＋∠GAB＝45°＋∠2， ∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1 =45°+∠1 得∠1＝∠2． 从而∠DCF＝∠GCF， 得CF为∠DCE的平分线． 证法5：首先DF是∠CDE的平分线，故 △CDE的外心I在直线DF上． 现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA＝CB＝CD＝d,则直线AB是一次函数 y＝-x＋d ① 的图象（图9）．若记内心I的坐标为（x1，y1），则 x1＋y1＝CH＋IH ＝CH＋HB＝CB＝d 满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心． 还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证． 二、讲解：此题的原型由笔者提供．题目是： 于第一象限内，纵坐标小于横坐标的格点． 这个题目的实质是解不等式 求正整数解．直接解，数字较繁．但有巧法，由 及1≤y＜x， 知1＋2＋…＋(x－1)＜1995＜1＋2＋…＋x． 但1953＝1＋2＋…＋62＜1995＜1＋2＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，从而y＝21，所求的格点为(21，63)． 经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算． 有x2－x＋18≤10｜x｜． 当x≥0时，有x2－11x＋18≤0， 得2≤x≤9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9); 当x＜0时，有 x2＋9x＋18≤0， 得-6≤x≤-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点： (-6,6),(-3,3)． 对x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,…顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且当x＞9时，由 对x<0，取x＝-1,-3,-6,-8,…顺次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且当x<-6时，由 知y>-x，再无满足y≤｜x｜的解． 故一共有6个整点，图示略． 解法3：先找满足条件y＝｜x｜的整点，即分别解方程 x2－11x＋18＝0 ① x2＋9x＋18＝0 ② 可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)． 再找满足y＜｜x｜的整点，这时 2＜x＜9或-6＜x＜-3， 依次检验得(4，3)、(7，6)．故共有6个整点． 三、讲解：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n－2中，必有一个数A与n互质(2≤A≤n－2)，记 B＝n－A≥2， 有n＝A＋B． 此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾． 但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体找出来． (1)当n为奇数时，有 n＝2＋(n－2)， (2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有 (3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有 1996年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定 A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [ ] 4．设x1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根，那么x134x22+19的值等于 [ ] A．4 B．8 C．6 D．0 5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 [ ] A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 [ ] A．4个 B．8个 C．12个 D．24个 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______． 3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且 4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______． 第二试 一、（本题满分20分） 某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数． 二、（本题满分25分） 设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP． 三、（本题满分25分） 已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值． 1996年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C 二、填空题 第二试 一、 解 据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145，而mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得 综上可知，每人捐款数为25元或47元． 二、 证 作AD、BO的延长线相交于G，∵OE 三、 解 据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(1，0)中，故 经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小． 一九九七年 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3) 的平方根是 ; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知 ,那么满足上述不等式的整数x的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数 满足 ,代数式 的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( ) 4.给定平面上 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形 中, , , ,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为 (A)4 (B) (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知 , , , 均垂直于 , , , , ,则AP+PB等于 （A）12； （B）13； （C）14； （D）15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当 取遍0到5的所有实数值时,满足 的整数 的个数是 . 3.若 , 满足 ,则 的取值范围是 . 4.若正整数x, y满足 ,则 等于___________. 第二试 一.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点, PE垂直AC于点F, PF垂直BC于点F, PG垂直EF于点G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD=PC,试证: ,且BC=BD. 二.已知 为整数,且 ,方程 的两个根 满足关系式 试求所有的整数点对( ). 三.已知定理:“若三个大于3的质数, 满足关系式 ,则 是整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论. 1998年全国数学联赛试卷 一、选择题：（每小题6分，共30分） 1、已知a、b、c都是实数，并且 ，那么下列式子中正确的是（　　） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 2、如果方程 的两根之差是1，那么p的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ） （Ｄ） 3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知 ，并且 ，那么直线 一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有（ ） （Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分） 6、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=___________。 7、已知直线 与抛物线 相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。 9、已知方程 （其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 10、B船在A船的西偏北450处，两船相距 km，若A船向西航行，B船同时向南航行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是___________km。 三、解答题：（每小题20分，共60分） 11、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。 12、设抛物线 的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求 的值。 13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。 （1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。 （2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。 1998年全国初中数学联赛参考答案 一、选择题 1．B 根据不等式性质． 2．D 由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程 的两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=l．又由 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2， 得l2=(-p)2-4．∴p2=5， 3．C 如图连ED， 又∵DE是△ABC两边中点连线． 故选C． 4．B 得 2(a+b+c)=p(a+b+c)． ∴有p=2或a+b+c=0． 当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限． 当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是 ∴y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限． 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B． 5．C 在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图 ∴a=1，2，3…9，共9个． ∴b=3×8+1，3×8+2，3×8+3，…， 3×8+8．共8个． ∵9×8=72（个），故选C． 二、填空题 6．解 如图，过A作AG⊥BD于G， ∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”． ∴PE+PF=AG． ∵AD=12，AB=5， ∴BD=13． 7．解 如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1， ∴S△OAB=S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O 8．解 如图，当圆环为3个时，链长为3a+ 故a可取1，3或5． 10．解 如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2x． ∴A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|． 三、解答题 11．解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D， ∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠CED+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠CED． 于是Rt△ABE∽△CED， 又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等． 解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h． ∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠FEH+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠FEH． ∴Rt△EHF∽Rt△BAE． 即EH=2h， 又∵HC=FH， 12．解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程 (2)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得 a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2， a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13， a16=(21a+13)2=441a2+546a+169 =987a+610． a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597． ∵a2-a-1=0，∴64a2-64a-65=-1， 即 (8a+5)(8a-13)=-1． ∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796． 13．解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是 W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10) =-800x+17200． ∴5≤x≤9． ∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数) 由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元． (2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是 W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10) =-500x-300y-17200 ∴W=-500x-300y+17200， W=-200x-300(x+y)+17200 ≥-200×10-300×18+17200=9800． 当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800． 又W=-200x-300(x+y)+17200 ≤-200×0-300×10+17200=14200． 当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200． 1999年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试 （4月4日上午8:30--9:30） 考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。 1、计算 的值是（ ）。 （A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。 2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ ）。 （A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 3、设 ，将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。 4、若函数 ，则当自变量 取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。 5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ ）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。 6、有下列三个命题：（甲）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（乙）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（丙）若 是不相等的无理数，则 是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。 1、已知 且 ，则 ＝________。 2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。 3、已知 为整数，且满足 ，则 ＝________。 4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。 　 =============== =============== =============== 第二试 （4月4日上午10:00--11:30） 考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分。 一、（本题满分20分）     某班参加一次智力竞赛，共 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题 满分20分，题 、题 满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题 的人数与答对题 的人数之和为29，答对题 的人数与答对题 的人数之和为25，答对题 的人数与答对题 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？ 二、（本题满分25分）     如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。 三、（本题满分25分）     已知 为整数，方程 的两根都大于－1且小于0，求 和 的值。 =============== =============== =============== 第一试参考答案 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。 1、计算 的值是（ D ）。 （A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。 解：原式＝ 。 2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ C ）。 （A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。∴ 。 3、设 ，将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ B ）。 解：由方程组 的解知两直线的交点为 ，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于 ，小于 的数，不等于 ，故图D不对；故选B。 4、若函数 ，则当自变量 取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ B ）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。 解： 当 时， 。∴当自变量 取2、3、…、98时，函数值都为0。而当 取1、99、100时， ，故所求的和为： 。 5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ C ）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。 解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC＝90°，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2。 6、有下列三个命题：（甲）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（乙）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（丙）若 是不相等的无理数，则 是无理数。其中正确命题的个数是（ A ）。 （A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 解： ，只要令 ， ，则 为有理数，故（甲）不对；又若令 ， ，则 为有理数，故（乙）不对；又若令 ，则 为有理数，故（丙）不对；故正确命题个数是0，应选（A）。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。 1、已知 且 ，则 ＝ 2 。 解： ，即 ， ， ， ， ， 。 2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于 44° 。 解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°，AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM＝∠MAB＝ ，∵∠AMC＝44°。又AN为切线，∴∠NAC＝∠B＝36°，∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°＝92°，∴△ANM的最小角为44°。 3、已知 为整数，且满足 ，则 ＝ 3 。 解：左边＝ ，即 ， ，而 为整数，且不相等， 只可能取值 或 。不妨设 ，则 ，或 ，∵（2）无整数解，由（1）得 ， 。 4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝ 。 解：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB，∴ ，即 。令DN＝1，CT＝MD＝ ，则AM＝ ，BM＝ ，BT＝ ，代入（1）式得 ，注意到 ，解得 。 =============== =============== =============== 第二试参考答案 一、（本题满分20分）     某班参加一次智力竞赛，共 三题，每题或者得满分或者得0分。其中题 满分20分，题 、题 满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题 的人数与答对题 的人数之和为29，答对题 的人数与答对题 的人数之和为25，答对题 的人数与答对题 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？     解：设 分别表示答对题 、题 、题 的人数，则有 ， ， ，∴答对一题的人数为37－1×3－2×15＝4，全班人数为1＋4＋15＝20，∴平均成绩为 。 答：班平均成绩为42分。 二、（本题满分25分）     如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。     证：作DE⊥AC于E，则AC＝ AE，AG＝ ED。由切割线定理有：AG2＝AF·AC， ∴ ED2＝AF· AE，∴5ED2＝AF·AE，∴AB·ED＝AF·AE，∴ ，∴△BAF∽△AED，∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠ABF＋∠DAB＝90°，∴AD⊥BF。 三、（本题满分25分）     已知 为整数，方程 的两根都大于－1且小于0，求 和 的值。     解：根据函数 的图象和题设条件知：当 时， ，∴ …①；当 时， ，∴ …②。抛物线顶点的横坐标 满足 ，∴ …③。 ∵ ，即 ，∴ …④，由①、③、④得 ，若 ，则由②、④得 且 ，得 ； 若 ，则 且 ，无整数解； 若 ，则 且 ，无整数解； 若 ，则 且 ，无整数解；故所求 的值为 2000年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试（4月2日上午8:30----9:30） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、计算 的值是（ ）。 （A）1；（B） ；（C） ；（D）5。 2、若 ，则 的值是（ ）。 （A） ；（B） ；（C）5；（D）6。 3、设 是不相等的任意正数，又 ，则 这两个数一定（ ）。 （A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。 4、正整数 小于100，并满足等式 ，其中 表示不超过 的最大整数，这样的正整数 有（ ）。 （A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。 5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）。 （A）4；（B）6；（C） ；（D） 。 6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于（ ）。 （A）10；（B） ；（C） ；（D）14。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、 是正数，并且抛物线 和 都与 轴有公共点，则 的最小值是________。 2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为________元。 3、实数 满足 和 ，则 ________。 4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM的最大值和最小值分别记为 和 ，则 ________。 第二试（4月2日上午10:30----11:30） 一、（本题满分20分）     设 是实数，二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点 。     （1）求证： ；     （2）若 间的距离不超过 ，求 的最大值。 二、（本题满分25分）     EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG＝ ，FH＝ ，四边形EFGH的面积为 。 （1）求证： ； （2）试用 表示正方形ABCD的面积。 三、（本题满分25分）     设关于 的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数 的值。 =============== =============== =============== 第一试试题答案 一、1、（C）；2、（A）；3、（C）；4、（D）；5、（D）；6、（B）。 二、1、20；2、150；3、4；4、 。 第二试部分试题答案 三、 。 2001年全国初中数学联赛 一、选择题（每小题7分，共42分） 1、a，b，c为有理数，且等式 成立，则2a+999b+1001c的值是（ ） （A）​ 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定 2、若 ，且有5a2+2001a+9=0及 ，则 的值是（ ） （A） （B） （C） （D） 3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ） （A） （B） （C） （D） 4、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ） （A） （B） （C）∠ABD=∠ACB （D） 5、①在实数范围内，一元二次方程 的根为 ；②在△ABC中，若 ，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和 中，a，b，c分别为△ABC的三边， 分别为 的三边，若 ，则△ABC的面积S大于 的面积 。以上三个命题中，假命题的个数是（ ） （A）0（B）1（C）2（D）3 6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ） （A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8 二、填空题（每小题7分，共28分） 1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为 。 2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 。 3、已知 是正整数，并且 ，则 = 。 4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。 3、​ 解答题（共70分） 1、在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线 上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求 的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。（20分） （1）​ 证明：若 取任意整数时，二次函数 总取整数值，那么 都是整数； （2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25分） 3、如图，D，E是△ABC边BC上的两点，F是BC延长线上的一点，∠DAE=∠CAF。（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若△ABD的外接圆的半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长。 解答题： 1、​ 如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐 角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k，FH= ，四边形EFGH的面积为S。 （1）求证：sinθ= ； （2）试用 来表示正方形的面积。 2、​ 求所有的正整数a，b，c，使得关于x的方程 ， ， 的所有的根都是正整数。 3、在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为△ABC的外心。 求证：（1）△AEF∽△ABC； （2）AO⊥EF 4、如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线 平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。 求证：PM PN＝PR PS 2002年全国初中数学联合竞赛试卷 （2002年4月21日8：30—10：30） 一、选择题（本题42分，每小题7分） 1、已知a= -1，b=2 - ，c= -2，那么a，b，c的大小关系是（ ） (A) a