运用特征根求通向

一类递归数列的通项及其应用 运用特征数求一阶递推数列的通项 刘振民 （诸暨市荣怀中学，浙江 311800） 一个数列可以由通项公式来确定，也可以由相邻项的关系及初始项来确定，我们把数列的这种若干连续项之间的关系叫做递推关系，由递推关系和初始条件给出的数列叫做递推数列．等差数列也可以用递推关系来定义： 满足下列条件 ， 的数列称为等差数列． 类似地，等比数列的定义： 满足下列条件 ， 的数列称为等比数列． 因此，等差数列和等比数列是两个特殊的递推数列，是研究其他数列的基础，其定义、通项公式和求和公式是解决复杂数列问题的重要工具． 一般地，由两个连续项之间的关系 及一个初始项 所确定的数列，叫做一阶递推数列；由三个连续项之间的关系 及两个初始项 ， 所确定的数列，叫做二阶递推数列，如数列 满足 ，（其中 为常数），这个数列就是二阶递推数列，…．在高考试题中，主要以一阶递推数列为主，应引起足够的重视．递推数列的通项公式求法很多，技巧性较强，这里重点介绍形如 的一阶递推数列的通项公式的求法． 问题 已知数列 的首项为 ，当 时， （其中 为常数），求数列 的通项公式． ：（1）当 时，则有 ，即 （ ）， 根据等差数列定义，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， 所以数列 的通项公式为 （2）当 时，由已知得 ，这明数列 是一个各项均为 常数列，所以数列 的通项公式为 （3）当 ，且 ， 时，由已知得 ， 即 （ ） 根据等比数列的定义可知，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以数列 的通项公式为 ． （4）当 时，设 ，则 ， 又由已知 ，比较两式的右边，可得 所以 ． 于是有 （*） 若 ，则当 时，由上式（*）可得 = ，…… 类推， ． 若 ，则有（*）可知数列 是以 为首项，公比为 的等比数列， 所以 即 ． 由以上讨论可以得出：一般地，数列 的首项为 ，当 时， （其中 为非零常数，且 ），取 ，称 为递推关系中特征数，它对求通项公式很有用，应记住．在解题时要先将递推关系变成形如 的形式，然后再考查特征数，以便对递推关系进一步变形． 例1 已知数列 ， ，且对于 时恒有 ，求数列 的通项公式． 分析：显然， ，而 ，可知，数列 是常数列． 解：由已知的 ，又因为 ， 所以 ． 例2 数列 的前 和 满足 ，（ ）, (1)​ 求 的值及 与 的关系； (2)​ 求证： 是等比数列，并求出 的通项公式． 分析：利用 ，将已知条件中转化即可求得 与 的关系，问题很容易解决． 解：（1）由 ，得 ， =1 当 时， ，得 （2）由（1）知 ，则有 ，由于 ， ， 所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， ，即 ． 例3 在数列 中， 求 ． 分析：将已知关系式变形为 ，两边同除以 可得 ，记 ，则 ，这就可以用前面的公式求出 ，从而得到 的表达式． 略解：由已知关系式得 所以数列 是以 为首项，公比为3得等比数列，故 ，所以 例4 设数列 中， ， （其中 为常数 ），求 ． 分析：将已知 两边平方并去分母可得 ，两边同除以 得 ，所以 可看作是公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式进行求解． 解：由已知得 所以 ， 即 因此，数列 是公差为1的等差数列， 所以 即 由已知， 与 的符号相同，而 与 的符号相同，因而 与 的符号相同，所以 通过以上例子可看出，求一阶递推数列的通项公式应注意对递推关系的灵活变形，转化为可运用等差数列或等比数列可处理的形式是关键，在解题中若能准确运用特征数 ，则可大大简化解题过程，提高解题的速度． 联系电话 13185576936 05758072861 通讯地址 浙江省诸暨市荣怀中学高中部 电子邮箱 liuzhenmin1@sina.com