小学数学基础知识整理

小学#一# 九九乘法口诀表。学会基础加减乘。 小学一年级 九九乘法口诀表。学会基础加减乘。 小学二年级 完善乘法口诀表，学会除混合运算，基础几何图形。 小学三年级 学会乘法交换律，几何面积周长等，时间量及单位。路程计算，分配律，分数小数。 小学四年级 线角自然数整数，素因数梯形对称，分数小数计算。 小学五年级 分数小数乘除法，代数方程及平均，比较大小变换，图形面积体积。 小学六年级 比例百分比概率，圆扇圆柱及圆锥。 必背定义、定理 三角形的面积＝底×高÷2。 公式 S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长 公式 S= a×a 长方形的面积＝长×宽 公式 S= a×b 平行四边形的面积＝底×高 公式 S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高 公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 读懂理解会应用以下定义定理性质公式 一、算术方面 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5 6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。 O除以任何不是O的数都得O。 简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 7、么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。 等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。 8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。 9、 什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。 学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 10、分数：把单位"1"平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。 13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。 16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。 17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。 19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。 20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。 21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。 数量关系计算公式方面 1、单价×数量＝总价 2、单产量×数量＝总产量 3、速度×时间＝路程 4、工效×时间＝工作总量 5、加数+加数＝和 一个加数＝和＋另一个加数 被减数－减数＝差 减数＝被减数－差 被减数＝减数＋差 因数×因数＝积 一个因数＝积÷另一个因数 被除数÷除数＝商 除数＝被除数÷商 被除数＝商×除数 有余数的除法： 被除数＝商×除数+余数 一个数连续用两个数除，可以先把后两个数相乘，再用它们的积去除这个数，结果不变。例：90÷5÷6＝90÷（5×6） 6、 1公里＝1千米 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米 1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 1平方厘米＝100平方毫米 1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1000立方毫米 1吨＝1000千克 1千克= 1000克= 1公斤= 1市斤 1公顷＝10000平方米。 1亩＝666.666平方米。 1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米 7、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5或3:6或1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。 8、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3:6＝9:18 9、比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。 10、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3:χ＝9:18 11、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。如：y/x=k( k一定)或kx=y 12、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。如：x×y = k( k一定)或k / x = y 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 13、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100％就行了。 把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 14、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100％就行了。 把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 15、要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。 16、最大公约数：几个数都能被同一个数一次性整除，这个数就叫做这几个数的最大公约数。（或几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做最大公约数。） 17、互质数： 公约数只有1的两个数，叫做互质数。 18、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 19、通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。（通分用最小公倍数） 20、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。（约分用最大公约数） 21、最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。 分数计算到最后，得数必须化成最简分数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，即能用2进行约分。个位上是0或者5的数，都能被5整除，即能用5进行约分。在约分时应注意利用。 22、偶数和奇数：能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。 23、质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。 24、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1不是质数，也不是合数。 28、利息＝本金×利率×时间（时间一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应） 29、利率：利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做月利率。 30、自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。0也是自然数。 31、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。如3. 141414 32、不循环小数：一个小数，从小数部分起，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做不循环小数。 如3. 141592654 33、无限不循环小数：一个小数，从小数部分起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。如3. 141592654…… 34、什么叫代数? 代数就是用字母代替数。 35、什么叫代数式?用字母表示的式子叫做代数式。如：3x =ab+c 一般运算规则 1 每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3 速度×时间＝路程路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4 单价×数量＝总价总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5 工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7 被减数－减数＝差被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8 因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长 S面积 a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) 体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底三角形底=面积 ×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积 C周长 ∏ d=直径 r=半径 周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r 面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长 侧面积=底面周长×高表面积=侧面积+底面积×2 体积=底面积×高体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积×高÷3 可能难免有疏漏，敬请大家指出！ 小学数学的基础知识、基本概念（仅供参考） 自然数 用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……叫做自然数。 整数 零和自然数叫做整数。（这里仅对小学范围内而言） 小数 先弄清什么是“十进分数”。分母是10n的（n为自然数）分数叫做“十进分数”。由于任何一个“十进分数”都能写成小数的形式，例如：7/10＝0.7，7/10^2＝0.07等等，所以一般而言，小数是特殊形式的分数。但是不能说小数就是分数！ 混小数（带小数） 小数的整数部分不为零的小数叫混小数，也叫带小数。 纯小数 小数的整数部分为零的小数，叫做纯小数。 循环小数 小数部分有规律地重复出现一个或几个数字，例如：0.333……，1.2470470470……都是循环小数。 纯循环小数 与纯小数有实质性的区别，指循环节从十分位就开始的循环小数，叫做纯循环小数。例如：，。 混循环小数 与纯循环小数有唯一区别：不是从十分位开始循环的循环小数，叫混循环小数。例如，，。 有限小数 小数的小数部分只有有限个数字的小数（不全为零）叫做有限小数。 无限小数 小数的小数部分有无数个数字（不包含全为零）的小数，叫做无限小数。循环小数都属于无限小数的范围，但不是仅指循环小数而言。例如，圆周率π也是无限小数（就现阶段而言，还没有发现其规律性）。 分数 表示把一个“单位1”平均分成若干份，取其中的一份或几份的数，叫做分数。（分成零份在此不讨论） 真分数 分子比分母小的分数叫真分数。 假分数 分子比分母大，或者分子等于分母的分数叫做假分数。（分母、分子为零在此不讨论） 带分数 一个整数（零除外）和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。带分数也是假分数的另一种表示形式，相互之间可以互化。 关于 (n表示自然数)是否是分数 是分数，但不能用分数的意义去解释它，它既不属于真分数，也不属于假分数，而是一个特殊分数。 数与数字的区别 数字（也就是数码）：是用来记数的符号，通常用国际通用的阿拉伯数字 0~9这十个数字。其他还有中国小写数字，大写数字，罗马数字等等。 数是由数字和数位组成。 零的意义 零既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限。如温度等。零是一个完全有确定意义的数。 零是一个数。 零是一个偶数。 零是任何自然数（0除外）的倍数。 零有占位的作用。 零不能作除数。 零是自然数。 [推荐]小学数学的基础知识、基本概念十进制 十进制计数法是世界各国常用的一种记数方法。特点是相邻两个单位之间的进率都是十。10个较低的单位等于1个相邻的较高单位。常说“满十进一”，这种以“十”为基数的进位制，叫做十进制。 加法 把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，其中两个数都叫“加数”，结果叫“和”。 减法 已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。其中“和”叫“被减数”，已知的加数叫“减数”，求出的另一个加数叫“差”。 乘法 求n个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。其中相同的这个数及n个这样的数都叫“因数”（相同的这个数也叫“被乘数”，另一个数也叫“乘数”），结果叫“积”。 除法 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。除法是乘法的逆运算。其中“积”叫做“被除数”，已知的一个因数叫做“除数”，求出来的另一个因数叫做“商”。 加、减法的相互关系 加数＝和－另一个加数 减数＝被减数－差 被减数＝差＋减数 利用这样的关系，求未知数x。 例1： х＋37＝54 解： х＝54－37 х＝17 例2： 87－ х＝63 解： х＝87－63 х＝24 例3： х－87＝63 解： х＝63＋87 х＝150 　例1、例2、例3分别运用上面三个关系式，求出未知数х 乘、除法的相互关系 因数＝积÷另一个因数 除数＝被除数÷商 被除数＝商×除数 利用这样的关系，求未知数х。 例1： 3 х＝63 解： х＝63÷3 х＝21 例2： 63÷ х＝21 解： х＝63÷21 х＝3 例3： х÷21＝3 解： х＝3×21 х＝63 例1、 例2、例3分别运用上面的三个关系式，求出未知数 х。 加、减法的运算定律 加法交换律：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变，叫做加法交换律。 通常运用这种定律，进行简算。 例如：93＋1877＝1877＋93＝1970等。 加法结合律：三个数相加，先把前二个数相加，再加第三个数，或者，先把后二个数相加，再加上第一个数，其和不变。这叫做加法结合律。 例如：73＋69＋31 ＝73＋（69＋31） ＝73＋100 ＝173 在减法中，被减数、减数同时加上或者减去一个数，差不变。 在减法中，被减数增加多少或者减少多少，减数不变，差随着增加或者减少多少。反之，减数增加多少或者减少多少，被减数不变，差随着减少或者增加多少。 在减法中，被减数减去若干个减数，可以把这些减数先加，差不变。 乘、除法运算定律 乘法的交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这叫做乘法的交换律。 通常运用这种定律进行简算。 例如：3×137＝137×3＝411等。 乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数，或者，先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。这叫做乘法结合律。 应用上述二个定律，可以使一些计算简便。 例如：43×25×4 ＝43×（25×4） ＝43×100 ＝4300 4×7×9×25 ＝（4×25）×（7×9） ＝100×63 ＝6300 乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加（或相减）。这叫做乘法分配律。 应用这个定律，可以使一些计算简便。 例如：102×54 ＝（100＋2）×54 ＝100×54＋2×54 ＝5400＋108 ＝5508 98×54 ＝（100－2）×54 ＝100×54－2×54 ＝5400－108 ＝5292 73×64＋64×27 ＝64×（73＋27） ＝64×100 ＝6400 103×88－88×3 ＝88×（103－3） ＝88×100 ＝8800 乘法的其他运算定律 一个因数扩大若干倍，必须把另一个因数缩小相同的倍数，其积不变。 例如：64×125 ＝（64÷8）×（125×8） ＝8×1000 ＝8000 除法的运算定律---商不变性质 两个数相除，被除数和除数同时扩大或者缩小相同的一个数（零除外），商的大小不变。 例如：11725÷25 ＝（11725×4）÷（25×4） ＝46900÷100 ＝469 [推荐]小学数学的基础知识、基本概念乘法的意义 一道乘法算式一般有下面几个意义： 一、求几个相同加数的和是多少？ 二、求一个数的若干倍是多少？ 例如：27×13，其一求13个27的和是多少？其二求27的13倍是多少？（乘数比1大的小数也是如此） 又如：27×0.3或者的意义：求27的十分之三是多少？ 除法的意义 一道除法算式，一般有下面几个意义： 一、一个数里有几个除数。简称“包含除法”。例如，24÷3表示24里面包含有几个3。 二、一个数是另一个数的多少倍。 例如：24÷3，表示24是3的多少倍？ 三、把一个数平均分成若干份，每份是多少？简称“等分除法”。 例如：24÷3，表示把24平均分成3份，每份是多少？ 四、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。例如：，表示：已知一个数的三分之一是24，求这个数。 整除与除尽 整除：甲数除以乙数（甲、乙为自然数），商是整数，余数为零。就说甲数能被乙数整除。 除尽：甲数除以乙数（乙数不为零），商是有限数。就说甲数能被乙数除尽。 整除可以说是除尽，但除尽就不能说一定叫整除。 例如：1÷5＝0.2，叫除尽，但不叫整除。因为商是小数。 又如：10÷3＝3……1，既不叫整除，（因为余数不为零）也不叫除尽。 约数和倍数 当甲数能被乙数整除时，就说甲数是乙数的倍数，乙数是甲数的约数。这两个概念都是相对而存在。一个自然数，不存在是否倍数与约数。例如：“3是约数”，就是一个错误说法。只能是对3、6、9、……等数而言，是其中某个数的约数。 奇数与偶数 凡是能被2整除的数叫偶数，反之，不能被2整除的数叫奇数。 质数（素数）与合数 一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。反之，一个数的约数除了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。 1是否质数 由于1的约数只有1个，所以1既不是质数，也不是合数。 公约数 几个数公有的约数，叫做公约数。 它的个数是有限的，既有最大的，也有最小的。 互质数 两个数的公约数只有1，而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。 质数与互质数 这两个概念没有什么联系。两个质数，不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。 质因数 把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这样的质数叫做质因数。 分解质因数 把一个合数分解成几个质数相同的形式，就叫做分解质因数。 公倍数 几个数公有的倍数，叫做公倍数。它的个数是无限的，只有最小的，没有最大的。 最大公约数 几个数公有的约数中，最大的一个就叫做这几个数的最大公约数。 最小公倍数 几个数公有的无限个倍数中，最小的一个，就叫做这几个数的最小公倍数。 能被2整除的判断方法 一个数能否被2整除，只要看这个数的末尾是否有0、2、4、6、8这五个数的其中一个即可。 能被4整除的判断方法 一个数能否被4整除，只要看这个数的末尾两位数能否被4整除即可。 能被8整除的判断方法 一个数能否被8整除，只要看这个数的末尾三位数能否被8整除即可。 能被5整除的判断方法 一个数能否被5整除，只要看这个数的末尾是否有0、5这两个数的其中一个即可。 能被3整除的判断方法 一个数能否被3整除，只要看这个数的各个数位上的数字和能否被3整除即可。（或是把每个数位上被3除的余数加起来，满了就弃，只看最后结果能否被3整除） 例如：判断75394213这个数能否被3整除？方法如下进行： 从最高位开始。第一个数被3除的余数为1，第二个数被3除的余数为2，合起来刚好是3，就不参与计算。第三、四两个数被3除的余数为零。第五、六两个数能被3整除，最后一个数能被3整除，但第7个数不能被3整除。所以，这个数肯定不能被3整除。 能被9整除的判断方法 它与判断3的方法相似，差别仅在于和一定能被9整除。 能被7整除的判断方法 一个数能否被7整除，只要把这个数的末尾（已去掉最后一个数）逐次减去末尾数字的2倍，最后的结果如果是零或者是7，这个数一定能被7整除。例如：判断37569能否被7整除。判断方法： 第一步：3756－9×2＝3738；第二步：373－8×2＝357；第三步：35－7×2＝21；第四步：2－1×2＝0，这个数一定能被7整除。 能被11整除的判断方法 与判断7的方法相近。把一个数的末尾（已去掉最后一个数）逐次减去末尾数字，最后的结果如果是零，或者能被11整除，这个数一定能被11整除。例如：判断38467能否被11整除。判断方法：第一步：3846－7＝3839；第二步：383－9＝374；第三步：37－4＝33；第四步：3－3＝0，这个数一定能被11整除。 能被13整除的判断方法 与判断7的方法相近。把一个数的末尾（已去掉最后一个数）逐次减去末尾数字的9倍，最后的结果是零或者能被13整除，这个数一定能被13整除。例如：判断258245能否被13整除。判断方法，第一步：25824－5×9＝25779；第二步：2577－9×9＝2496；第三步：249－6×9＝195；第四步：19－5×9，注意：由于不够减，改写成：5×9－19＝26，26能被13整除，所以这个数一定能被13整除。 能被25整除的判断方法 它与4的判断方法相同。一个数能否被25整除，只要看这个数的末尾两位数能否被25整除即可。（或者是把这个数扩大4倍，未尾是两个零也可以判断） 能被125整除的判断方法 它与8的判断方法相同。一个数能否被125整除，只要看这个数的末尾三位数能否被125整除即可。（或者是把这个数扩大8倍，末尾是三个零也可以判断） 分数单位 取分子为1，分母不为零的真分数，就叫这个分数的分数单位。例如：的分数单位是，它有7个这样的分数单位。又如的分数单位是，它有13个这样的分数单位（将带分数化成假分数）。 分数化有限小数的判断方法 一个分数能否化成有限小数，主要看分母（这里的分数一定是最简分数）是不是只有质因数“2或5”。掺杂任何其他质因数，都不能化成有限小数，反之，就一定能化成有限小数。例如：7/25、17/75等都能化成有限小数。5/6、13/35等都不能化成有限小数。 分数没有基本单位 对于不同的分数来说，由于各自的等分量不同，所以表示的大小就不相等。例如：和这两个分数的单位分别是和，每一份的大小不一样。不同的分数，有不同的分数单位。没有一个共同的量，就没有基本单位。另外，分数是用于连续的量，而连续量在变化过程中是不可能分剩的。在计量时，这些单位是独立的，不可能有辅助单位。因此，也就没有基本单位。 [推荐]小学数学的基础知识、基本概念分数的基本性质 一个分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的一个数（零除外），分数的大小不变，这叫分数的基本性质。 分数的通分、约分 通分：把几个单位不同的分数，化成相同单位，且大小不变的分数，叫做通分。 约分：把一个分数化成同它相等的，分子、分母较小的分数，叫做约分。 循环小数化分数的方法 把一个循环小数化成分数，分为以下几种： 一、纯循环小数：循环节是几位数，其分母就由几个9决定，分子就是循环节。例如： 二、混循环小数：小数部分的第一个数字到循环节，所组成的数，减去不循环的数字所组成的数的差是分子。由循环节的位数确定几个9，不循环的数字确定0，“9”放在左边，“0”放在右边。 . .. . . . 例如：0.3=3/9=1/3 0.75=75/99=25/33 0.541=541/999 0.13=（13-1）/90=12/90=2/15 百分数 表示一个数是另一个数的百分之向的数，叫做百分数。百分数是特殊分数。特征是分母为100，采用符号“％”（叫做百分号）来表示。分子可以是整数，也可以是小数。 百分率 两个相同量的比的比值，用百分数和的形式表示时，这个比值叫做这两个量的百分率，也叫百分比。通常的“××率”就是百分数。如“出勤率”等。 成数、折扣 成数、折扣是指那些分母为10的分数。如三成是十分之三，八折是十分之八。 千分数 表示一个数是另一个数的千分之几的数，叫做千分数。用符号“‰”来表示。 准确数与近似数（近似值） 与实际情况完全符合的数，叫做准确数。 与实际情况接近而有一定误差的数，叫做近似数（或叫近似值）。 量 客观事物所具有的能区别程度异同的属性叫做量，也就是说，事物的多少、大小、长短、轻重、高低、快慢等属性都叫做量。 连续量与不连续量 连续量：不能用数数的方法来计量的量，叫做连续量。例如，长度、体积等。 不连续量：只能用数数的方法来计量的叫做不连续量。例如，人数、树木的棵数等。 计量 要测定某种量，必须有一种同类量作标准，把一种量和另一种作标准的同类量进行比较，叫做计量。 名数与不名数 量数与计量单位名称合起来叫做名数。例如：7米、18千克、9时25分等都叫名数。 没有带单位名称的数，叫做不名数。如2、4、6、8等，都叫不名数。 量 客观事物所具有的能区别程度异同的属性叫做量，也就是说，事物的多少、大小、长短、轻重、高低、快慢等属性都叫做量。 连续量与不连续量 连续量：不能用数数的方法来计量的量，叫做连续量。例如，长度、体积等。 不连续量：只能用数数的方法来计量的叫做不连续量。例如，人数、树木的棵数等。 计量 要测定某种量，必须有一种同类量作标准，把一种量和另一种作标准的同类量进行比较，叫做计量。 名数与不名数 量数与计量单位名称合起来叫做名数。例如：7米、18千克、9时25分等都叫名数。 没有带单位名称的数，叫做不名数。如2、4、6、8等，都叫不名数。 度、量、衡 度：测定物体的长度时，叫做度。 量：测定物体的体积（或容量）叫做量。 衡：测定物体的重量，叫做衡。 公历年的平年、闰年 平年：把公历年份除以4（这里不是整百的公历年份）有余数时，就把这一年叫做平年，计365天。其中二月份有28天。 闰年：把公历年份除以4（这里不是整百的公历年份）余数为零时，就把这一年叫做闰年，计366天。其中二月份有29天。如果年份是整百的，则除以400，再看余数。 时刻与时间 时刻表示一天内某一个特指的时候，例如上午8时30分开会，这里的“8时30分”这是时刻。时间表示两个是期或两个时刻的间隔。例如，做作业用去30分钟，这里的“30分钟”就是时间。 [推荐]小学数学的基础知识、基本概念比和比值 比：两个数相除，叫做两个数的比。一般地当数a除以b（b≠0）就叫做a与b的比，记作a:b。也可以用分数形式表示为。 比值:比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 比和比值有本质的不同。如既可看作是比，又可看作是比值。如果化成，则只能表示为比值。 比的化简 把一个比化为最好简整数比，叫做比的化简。一般情况下，化简以后的比，前后两项为互质数。 比例 表示两个比相等的式子叫做比例。 正比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的积一定。这两种量就叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。 几何学 几何学是数学的三大基础部门之一。专门研究物体的形状、大小和相互的位置关系。也就是研究客观世界的形式及其数量关系。一般分为：解析几何学、微分几何学、非欧几何学、射影几何学、拓扑学、代数几何学等等。 体 用来度量一个物体的形状与大小，叫做几何体，简称“体”。 面 面是几何学中的原始概念。通常指一个物体的表面或者是平面。面没有厚度。 线 线是几何学中的原始概念。通常可以理解为：二个面相交的地方就是线。它既没有宽度，也没有厚度。 点 点是几何学中的原始概念。通常理解为：两条线相交的地方就是点。点只有位置。没有长度、宽度和厚度。 直线 一点在平面上或者空间中向一定的方向或相反方向运动所形成的轨迹，叫做直线。通过二点能够引伸一条直线，也只能引一条直线。直线是向两个方向无限延伸的。它没有端点，无法度量。 射线 从线段的一个端点朝一个方向无限延长，就得到一条射线。这个端点叫做射线的端点，也叫做原点。射线只有一个端点，它无法度量。 线段 把三个不在直线上的点用线段逐点连接起来，所组成的图形叫做折线。其中每条边的线段叫做折线的边，其起点和终点叫做端点。 曲线 既不是直线又不是折线的线，叫做曲线。如圆就是一条封闭曲线。 垂线、垂足 两条直线相交，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫垂足。 斜线和斜足 两条直线相交不成直角时，其中的一条直线叫做另一条直线的斜线，交点就业是斜足。 平行线 在同一平面内的两条不相交的直线，叫做平行线 面积和地积 面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。 地积就是土地的面积。 体积和容积（容量） 体积：用来表示物体所占空间的大小，叫做体积。 容积：一个容器所能容纳物体的体积，叫做容积或容量。 球的体积计算 球的体积等于球的半径的立方与π的积的。 球的表面积计算 球的表面积等于球的直径的平方与π的积。 方程、解议程和方程的解 方程：含有未知数的等式叫做方程。小学里一般称为简易方程。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 应用 根据生产和生活中的实际问题，用文字或语言叙述出一些已知数量，已知数量与未知数量之间的相互关系，并需要出未知数量的题目，叫做应用题。 应用题与式题 式题可以直接计算，应用题只有已知量的问题，没有运算顺序。应用题一般分为两大类，简单应用题。在复合应用题中，典型应用题是它的一种特殊类型。 数量关系 数量关系是指应用题中条件与条件之间，条件与问题之间的关系。常用的数量关系有：单价、数量和总价；速度、路程和时间；工作效率、工作量和工作时间等等。 分析法 分析法通常是指答应用题的一种思考方法。它是从“问题”入手，步步顺推，同因导果的思考方法。 分析——综合法 把“分析法”与“综合法”综合在一起进行思考，就叫做分析——综合法。 平均数问题 有几个不相同的数，要移多补少，使它们完全相等。求这样所得到的数，叫做平均数问题。一般计算公式是： 总数÷总份数＝平均数 例：张明和李华的身高加起来是280厘米，张明和王强的身高加起来是276厘米，李华和王强的身高加起来是290厘米。这三人的平均身高是多少厘米？ 算式是：(280+276+290)÷2÷3 ＝846÷2÷3 ＝423÷3 ＝141(厘米) 答：这三人的平均身高是141厘米。 归一问题 在解答过程中，必须先求出“单一量”（单位时间的工作量、物品的单价、单位时间所走的路程等），再根据其他条件求出结果。通常把这类应用题叫做归一问题。 例：高年级同学在校内搞绿化植树活动。5个同学栽树20棵，照这样计算，12个同学可以栽树多少棵？ 20÷5×12 ＝4×12 ＝48（棵） 答：12个同学可以栽树48棵。 较复杂的归一问题：通过两次或两次以上的运算才能求出单一量的归一问题，叫做较复杂的归一问题。 例：用4台粉碎机7小时可以粉碎饲料8400千克。照这样的工作效率，再工作5小时，这4台粉碎机还可以粉碎多少千克饲料？ 8400÷4÷7×(5×4) ＝2100÷7×20 ＝300×20 ＝6000（千克） 答：这4台粉碎机还可以粉碎6000千克饲料。 行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。 例1：AB两地相距2800千米，甲乙两车同时从AB两地相向开出。甲车每小时行45千米，乙车每小时行25千米。两车需要几小时相遇？ 2800÷（45+25） =2800÷70 =40（小时） 答：两车需要40小时相遇 相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。 追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。 解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。一般有： 追及的路程÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=追及的路程 追及的路程÷追及时间=速度差 甲、乙两人分别从东西两地同时向东面行。甲步行每小时行5千米，乙骑车每小时行14千米。4小时后，甲被乙追上。求东西两地的距离。 当乙追上甲时，乙比甲多走的路程正好是东、西两地的距离。 （14－5）×4=36（千米） 答：东西两地的距离为36千米。 流水问题（行船问题） 已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。 解答这类问题，一般要掌握下面几个数量关系： 船的静水速度+水速=顺水船速 船的静水速度－水速=逆水船速 （顺水船速+逆水船速）÷2=船的静水速度 （顺水船速－逆水船速）÷2=水速 例：从甲地到乙地的水路有120千米，水的速度为每小时2.5千米。某船在静水中每小时行7.5千米。它在甲、乙两地之间往返一次需要多少小时？ 解：求船在甲、乙两地之间往返一次共需多少小时，实际上就是求它顺水而下与逆水而上共需多少小时。 7.5+2.5=10(千米)→顺水船速 7.5－2.5=5(千米)→顺水船速 120÷10+120÷5=36（小时） 答：它在甲、乙两地之间往返一次需要36小时。 [推荐]小学数学的基础知识、基本概念过桥问题 一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题。 解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。 例1：一列火车全长180米，每秒行驶20米，要经过840米的隧道，全车通过需要多少秒？ 列式：（840+180）÷20 =1020÷20 =51（秒） 答：全车通过需要51秒。 例2：一列火车通过605米长的桥要45秒，以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒。求这列火车的速度及车长。 分析：行驶605米与行驶380米的时间差，是所行的路程的差，用去的时间，就是行驶两个不同路程的时间差。由此可以求出火车的速度。 列式：（605－380）÷（45－30） =225÷15 =15(米) 用火车的速度乘以45秒(或30秒)得到火车45秒所行的路程，比桥长要多。这个多的实际上就是车长（或是30秒所行的路程，比山洞要长，这个多出的就是车长）。 列式：15×45－605 =675－605 =70(米) 或：15×30－380 =450－380 =70（米） 答：这列火车的速度是每秒行15米，车长是70米。 和倍问题 已知两个数量和及两者之间的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做和倍问题。一般关系式有： 总数÷（倍数+1）=较小的数 较小的数×倍数=较大的数 例：甲、乙两个学校，甲校和乙校的学生人数的和是240人，甲校人数是乙校人数的3倍。甲、乙两校各有学生多少人？ 240÷（3+1） =240÷4 =60（人） →乙校人数 60×3=180人 →甲校人数 答：甲校有学生180人，乙校有学生60人。 和差问题 已知两个数的和与差，求这两个数的应用题，叫做和差问题。一般关系式有： （和－差）÷2＝较小数 （和＋差）÷2＝较大数 例：甲乙两数的和是24，甲数比乙数少4，求甲乙两数各是多少？ （24＋4）÷2 ＝28÷2 ＝14 →乙数 （24－4）÷2 ＝20÷2 ＝10 →甲数 答：甲数是10，乙数是14。 差倍问题 已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题，叫做差倍问题。基本关系式是： 两数差÷倍数差＝较小数 例：有两堆煤，第二堆比第一堆多40吨，如果从第二堆中拿出5吨煤给第一堆，这时第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原来两堆煤各有多少吨？ 分析：原来第二堆煤比第一堆多40吨，给了第一堆5吨后，第二堆煤比第一堆就只多40－5×2吨，由基本关系式列式是： （40－5×2）÷（3－1）－5 ＝（40－10）÷2－5 ＝30÷2－5 ＝15－5 ＝10（吨） →第一堆煤的重量 10+40＝50（吨） →第二堆煤的重量 答：第一堆煤有10吨，第二堆煤有50吨。 还原问题 已知一个数经过某些变化后的结果，要求原来的未知数的问题，一般叫做还原问题。 还原问题是逆解应用题。一般根据加、减法，乘、除法的互逆运算的关系。由题目所叙述的的顺序，倒过来逆顺序的思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果。 例：仓库里有一些大米，第一天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售出的重量，比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨，这个仓库原来有大米多少吨？ 分析：如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是19＋12吨。第一天售出以后，剩下的吨数是（19＋12）×2吨。以下类推。 列式：[（19＋12）×2－12]×2 ＝[31×2-12]×2 ＝[62-12]×2 ＝50×2 ＝100（吨） 答：这个仓库原来有大米100吨。 置换问题 题中有二个未知数，常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算。其结果往往与条件不符合，再加以适当的调整，从而求出结果。 例：一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？ 分析：先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是20×100＝2000（分），比原来的总值多2000－1880＝120（分）。而这个多的120分，是把10分一张的看作是20分一张的，每张多算20－10＝10（分），如此可以求出10分一张的有多少张。 列式：（2000－1880）÷（20－10） ＝120÷10 ＝12（张）→10分一张的张数 100－12＝88（张）→20分一张的张数 或是先求出20分一张的张数，再求出10分一张的张数，方法同上，注意总值比原来的总值少。 盈亏问题（盈不足问题） 题目中往往有两种分配，每种分配方案的结果会出现多（盈）或少（亏）的情况，通常把这类问题，叫做盈亏问题（也叫做盈不足问题）。 解答这类问题时，应该先将两种分配方案进行比较，求出由于每份数的变化所引起的余数的变化，从中求出参加分配的总份数，然后根据题意，求出被分配物品的数量。其计算方法是： 当一次有余数，另一次不足时： 每份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 当两次都有余数时： 总份数＝（较大余数－较小数）÷两次每份数的差 当两次都不足时： 总份数＝（较大不足数－较小不足数）÷两次每份数的差 例1、解放军某部的一个班，参加植树造林活动。如果每人栽5棵树苗，还剩下14棵树苗；如果每人栽7棵，就差4棵树苗。求这个班有多少人？一共有多少棵树苗？ 分析：由条件可知，这道题属第一种情况。 列式：（14＋4）÷（7－5） ＝18÷2 ＝ 9（人） 5×9＋14 ＝45＋14 ＝59（棵） 或：7×9－4 ＝63－4 ＝59（棵） 答：这个班有9人，一共有树苗59棵。 年龄问题 年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变，而倍数差却发生变化。 常用的计算公式是： 成倍时小的年龄＝大小年龄之差÷（倍数－1） 几年前的年龄＝小的现年－成倍数时小的年龄 几年后的年龄＝成倍时小的年龄－小的现在年龄 例1、父亲今年54岁，儿子今年12岁。几年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍？ （54－12）÷（4－1） ＝42÷3 ＝14（岁）→儿子几年后的年龄 14－12＝2（年）→2年后 答：2年后父亲的年龄是儿子的4倍。 例2、父亲今年的年龄是54岁，儿子今年有12岁。几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍？ （54－12）÷（7－1） ＝42÷6 ＝7（岁）→儿子几年前的年龄 12－7＝5（年）→5年前 答：5年前父亲的年龄是儿子的7倍。 例3、王刚父母今年的年龄和是148岁，父亲年龄的3倍与母亲年龄的差比年龄和多4岁。王刚父母亲今年的年龄各是多少岁？ （148×2＋4）÷（3＋1） ＝300÷4 ＝75（岁）→父亲的年龄 148－75＝73（岁）→母亲的年龄 答：王刚的父亲今年75岁，母亲今年73岁。 或：（148＋2）÷2 ＝150÷2 ＝75（岁） 75－2＝73（岁） 鸡兔问题 已知鸡兔的总只数和总足数，求鸡兔各有多少只的一类应用题，叫做鸡兔问题，也叫“龟鹤问题”、“置换问题”。 一般先假设都是鸡（或兔），然后以兔（或鸡）置换鸡（或兔）。常用的基本公式有： （总足数－鸡足数×总只数）÷每只鸡兔足数的差＝兔数 （兔足数×总只数－总足数）÷每只鸡兔足数的差＝鸡数 例：鸡兔同笼共有24只。有64条腿。求笼中的鸡和兔各有多少只？ （64－2×24）÷（4－2） ＝（64－48）÷（4－2） ＝16 ÷2 ＝8（只）→兔的只数 24－8＝16（只）→鸡的只数 答：笼中的兔有8只，鸡有16只 牛吃草问题（船漏水问题） 若干头牛在一片有限范围内的草地上吃草。牛一边吃草，草地上一边长草。当增加（或减少）牛的数量时，这片草地上的草经过多少时间就刚好吃完呢？ 例1、一片草地，可供15头牛吃10天，而供25头牛吃，可吃5天。如果青草每天生长速度一样，那么这片草地若供10头牛吃，可以吃几天？ 分析：一般把1头牛每天的吃草量看作每份数，那么15头牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上这片草地10天长出草，以下类推……其中可以发现25头牛5天的吃草量比15头牛10天的吃草量要少。原因是因为其一，用的时间少；其二，对应的长出来的草也少。这个差就是这片草地5天长出来的草。每天长出来的草可供5头牛吃一天。如此当供10牛吃时，拿出5头牛专门吃每天长出来的草，余下的牛吃草地上原有的草。 （15×10－25×5）÷（10－5） ＝（150－125）÷（10－5） ＝25÷5 ＝5（头）→可供5头牛吃一天。 150－10×5 ＝150－50 ＝100（头）→草地上原有的草可供100头牛吃一天 100÷（10－5） ＝100÷5 ＝20（天） 答：若供10头牛吃，可以吃20天。 例2、一口井匀速往上涌水，用4部抽水机100分钟可以抽干；若用6部同样的抽水机则50分钟可以抽干。现在用7部同样的抽水机，多少分钟可以抽干这口井里的水？ （100×4－50×6）÷（100－50） ＝（400－300）÷（100－50） ＝100÷50 ＝2 400－100×2 ＝400－200 ＝200 200÷（7－2） ＝200÷5 ＝40（分） 答：用7部同样的抽水机，40分钟可以抽干这口井里的水。 公约数、公倍数问题 运用最大公约数或最小公倍数解答应用题，叫做公约数、公倍数问题。 例1：一块长方体木料，长2．5米，宽1．75米，厚0．75米。如果把这块木料锯成同样大小的正方体木块，不准有剩余，而且每块的体积尽可能的大，那么，正方体木块的棱长是多少？共锯了多少块？ 分析：2．5＝250厘米 1．75＝175厘米 0．75＝75厘米 其中250、175、75的最大公约数是25，所以正方体的棱长是25厘米。 （250÷25）×（175÷25）×（75÷25） ＝10×7×3 ＝210（块） 答：正方体的棱长是25厘米，共锯了210块。 例2、两啮合齿轮，一个有24个齿，另一个有40个齿，求某一对齿从第一次接触到第二次接触，每个齿轮至少要转多少周？ 分析：因为24和40的最小公倍数是120，也就是两个齿轮都转120个齿时，第一次接触的一对齿，刚好第二次接触。 120÷24＝5（周） 120÷40＝3（周） 答：每个齿轮分别要转5周、3周。 分数应用题 指用分数计算来解答的应用题，叫做分数应用题，也叫分数问题。 分数应用题一般分为三类： 1．求一个数是另一个数的几分之几。 2．求一个数的几分之几是多少。 3．已知一个数的几分之几是多少，求这个数。 其中每一类别又分为二种，其一：一般分数应用题；其二：较复杂的分数应用题。 工程问题 它是分数应用题的一个特例。是已知工作量、工作时间和工作效率，三个量中的两个求第三个量的问题。 解答工程问题时，一般要把全部工程看作“1”，然后根据下面的数量关系进行解答： 工作效率×工作时间＝工作量 工作量÷工作时间＝工作效率 工作量÷工作效率＝工作时间 百分数应用题 这类应用题与分数应用题的解答方式大致相同，仅求“率”时，表达方式不同，意义不同。