斯托克斯

nullnullStokes公式 一、斯托克斯公式二、空间曲线积分与路径无关的条件 连通区域的类型 连通区域的类型 设有空间区域 G. 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线都可以不经过 G外的点而连续地 收缩为G 中的一点, 则称G 为空间一维单连通域.例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 .既是一维也是二维单连通区域 ;是二维但不是一维单连通区域 ;是一维但一、 斯托克斯( Stokes ) 公式 一、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理1. 设光滑曲面  的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与  的正向符合右手法则, 在包含 在内的一证:情形1  与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).则有定向一致null则(利用格林公式) null因此同理可证三式相加, 即得斯托克斯公式 ;null情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把  分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果  是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕null为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分示:例1. 利用斯托克斯公式计算积分例1. 利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解: 记三角形域为, 取上侧,则边界, 方向如图所示. 利用对称性例2.  为柱面例2.  为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算解: 设为平面 z = y 上被  所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (4) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有(1) 对G内任一分段光滑曲线 , 与路径无关(2) 在G内存在某一函数 u, 使(3) 在G内处处有证:证:设函数 则同理可证 故有null若(2)成立, 则必有因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有同理证毕由斯托克斯公式即得.(自证) 例3. 验证曲线积分例3. 验证曲线积分与路径无关, 并求函数解: 令 积分与路径无关,因此内容小结内容小结1. 斯托克斯公式2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件在内与路径无关在内处处有在内处处有设 P, Q, R 在内具有一阶连续偏导数, 则