三角形三条中线组成的三角形面积

三角形三条中线组成的三角形面积 △ABC有三条中线 AD、BE和 CF，以这三条中线组成的三角形， 其面积与△ABC的面积有什么关系呢? SSSS′′′′=3/4=3/4=3/4=3/4××××SSSS。。。。 这是个美妙绝伦的结论，可以记下来。 简单的说，如果知道了任意三角形的三条中线的长度，可以很轻 松的技术出这个三角形的面积。这在实际应用中，会非常方便。 （百度 pig1017pig1017pig1017pig1017） 证明如下： 先推导一下三角形的中线公式。（这是用海伦公式证明 的过程，其实还有更简单的几何证明的方法） 设△ABC的三个角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，它们的中 点依次为 D，E，F，则 AD的长可以这样求：在△ABC中， cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),在△ABD中， cosB=(a²/4+c²-AD²)/(ac)，所以 (a²+c²-b²)/(2ac)=(a²/4+c²-AD²)/(ac)， a²+c²-b²=a²/2+2c²-2AD²，2AD²=b²+c²-a²/2=(2b²+2c²-a²)/2， AD²=(2b²+2c²-a²)/4，AD=√(2b²+2c²-a²)/2。同理 BE=√(2a²+2c²-b²)/2，CF=√(2a²+2b²-c²)/2。 设(a+b+c)/2=p,则△ABC的面积 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =√[(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)]/4 =√[(b²+2bc+c²-a²)(a²-b²-c²+2bc)]/4 =√{[2bc+(b²+c²-a²)][2bc-(b²+c²-a²)]}/4 =√[4b²c²-(b²+c²-a²)²]/4 =√[4b²c²-(b²)²-(c²)²-(a²)²-2b²c²+2a²b²+2a²c²]/4 =√[2b²c²+2a²b²+2a²c²-(b²)²-(c²)²-(a²)²]/4。 设(AD+BE+CF)/2=p′，则△ABC的三条中线围成的三角形的面积 为 S′=√[p′(p′-AD)(p′-BE)(p′-CF)] =√[(AD+BE+CF)(BE+CF-AD)(AD+CF-BE)(AD+BE-CF)]/4 =√{[(AD+BE+CF)(BE+CF-AD)][(AD+CF-BE)(AD+BE-CF)]}/ 4 =√{[BE²+2BE×CF+CF²-AD²][AD²-BE²-CF²+2BE×CF]}/4 =√{[2BE×CF+(BE²+CF²-AD²)][2BE×CF-(BE²+CF²-AD²)]}/4 =√{4BE²×CF²-(BE²+CF²-AD²)²}/4 =√{4BE²×CF²-[(BE²)²+(CF²)²+(AD²)²+2BE²×CF²-2BE²×AD²-2CF² ×AD²]}/4 =√{4BE²×CF²-(BE²)²-(CF²)²-(AD²)²-2BE²×CF²+2BE²×AD²+2CF²× AD²]}/4 =√{2BE²×CF²+2BE²×AD²+2CF²×AD²-(BE²)²-(CF²)²-(AD²)²}/4 =√{BE²(2CF²-BE²)+AD²(2BE²-AD²)+CF²(2AD²-CF²)}/4 =√{(2a²+2c²-b²)/4×(4a²+4b²-2c²-2a²-2c²+b²)/4+(2b²+2c²-a ²)/4×(4a²+4c²-2b²-2b²-2c²+a²)4+(2a²+2b²-c²)/4×(4b²+4c²- 2a²-2a²-2b²+c²)/4}/4 =√{(2a²+2c²-b²)/4×(2a²+5b²-4c²)/4+(2b²+2c²-a²)/4×(5a²+ 2c²-4b²)/4+(2a²+2b²-c²)/4×(2b²+5c²-4a²)/4}/4 =√{(2a²+2c²-b²)(2a²+5b²-4c²)+(2b²+2c²-a²)(5a²+2c²-4b²)+ (2a²+2b²-c²)(2b²+5c²-4a²)}/16 =√{4(a²)²+8a²b²-4a²c²-5(b²)²+14b²c²-8(c²)²+4(c²)²+8c²a²-4 c²b²-5(a²)²+14a²b²-8(b²)²+4(b²)²+8b²c²-4b²a²-5(c²)²+14a²c² -8(a²)²}/16 =√{18a²b²+18b²c²+18c²a²-9(a²)²-9(b²)²-9(c²)²}/16 =3/4×√{2a²b²+2b²c²+2c²a²-(a²)²-(b²)²-(c²)²}/4。 前面已证√{2a²b²+2b²c²+2c²a²-(a²)²-(b²)²-(c²)²}/4=S,所以 SSSS′′′′=3/4=3/4=3/4=3/4××××SSSS。。。。