备考精品）2011年高考数学解题_高分策略——难点突破与培优提高(61页)

2011年高考数学复习“应试笔记” 2011年高考数学解题·高分策略 ——难点突破与培优提高 2010-8-19 第I卷 160分部分 一、填空题 答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石! A、1～4题，基础送分题，做到不失一题！ 解题常用经典再现 A1.集合性质与运算 1、性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为 ； ②空集是任何集合的子集，记为 ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果 ，同时 ，那么A = B． 如果 ． 【注意】： ①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集． ④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）． 2、若Ａ={ }，则Ａ的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个. 3、 4、 De Morgan: ； . 【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 A2.命题的否定与否命题 *1.命题 的否定与它的否命题的区别： 命题 的否定是 ,否命题是 . 命题“ 或 ”的否定是“ 且 ”,“ 且 ”的否定是“ 或 ”. *2.常考模式： 全称命题p： ；全称命题p的否定 p： . 特称命题p： ；特称命题p的否定 p： . A3.复数运算 *1.运算律：⑴ ； ⑵ ； ⑶ . 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ . *3.重要结论： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ， ； ⑸ 性质：T=4； . 【拓展】： 或 . A4.幂函数的的性质及图像变化规律： (1)所有的幂函数在 都有定义，并且图像都过点 ； (2) 时，幂函数的图像通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图像下凸；当 时，幂函数的图像上凸； (3) 时，幂函数的图像在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图像在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图像在 轴上方无限地逼近 轴正半轴． 【说明】：对于幂函数我们只要求掌握 的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计 1.抽样： (1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取. (2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（ ）. 2.总体分布的估计就是用总体中的频率作为总体的概率. 总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ⑴频率分布直方图 用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ①频率= . ②小长方形面积=组距× =频率. ③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. ⑵茎叶图 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。 3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计； 样本平均数： 4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差). (1)一组数据 ①样本方差 ； ②样本差 = (2)两组数据 与 ,其中 , .则 ,它们的方差为 ,标准差为 ③若 的平均数为 ，方差为 ，则 的平均数为 ，方差为 . 样本数据做如此变换： ，则 ， . A6.回归直线方程 ，其中 A7.线性回归方程 必过定点 ,其中 , . B、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解) B1.线性规划 1、二元一次不等式表示的平面区域： （1）当 时，若 表示直线 的右边，若 则表示直线 的左边. （2）当 时，若 表示直线 的上方，若 则表示直线 的下方. 2、设曲线 （ ），则 或 所表示的平面区域： 两直线 和 所成的对顶角区域（上下或左右两部分）. 3、点 与曲线 的位置关系： 若曲线 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线 等），则 ，称点在曲线外部； 若 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则 ，称点亦在曲线“外部”. 4、已知直线 ，目标函数 . ①当 时，将直线 向上平移，则 的值越来越大；直线 向下平移，则 的值越来越小； ②当 时，将直线 向上平移，则 的值越来越小；直线 向下平移，则 的值越来越大； 5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义： （1） ，若 ，直线在y轴上的截距越大，z越大，若 ，直线在y轴上的截距越大，z越小. （2） 表示过两点 的直线的斜率，特别 表示过原点和 的直线的斜率. （3） 表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题. （4） 表示 到点 的距离. （5） ； （6） ； （7） ； 【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点 及余弦定理进行转化达到解题目的。 B 2.三角变换： 三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换． 三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础． 三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决． 三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”. 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等. 具体地： （1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下： ， ； ， ； ； ； ， ； ； 等. （2）“降幂”与“升幂”（次的变化） 利用二倍角公式 和二倍角公式的等价变形 ， ，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化. （3）切割化弦（名的变化） 利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”. （4）常值变换 常值 可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换： 等. （5）引入辅助角 一般的， ，期中 . 特别的， ; ， 等. （6）特殊结构的构造 构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简. 举例： ， 可以通过 两式和，作进一步化简. （7）整体代换 举例： ， ，可求出 整体值，作为代换之用. B 3.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换 因为在 中， （三内角和定理），所以 任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值； ③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方. 即， ； ； ． ； ； . (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理． 面积公式： . 其中 为三角形内切圆半径， 为周长之半． (3)对任意 ， ； 在非直角 中， ． (4)在 中，熟记并会证明： *1. 成等差数列的充分必要条件是 ． *2. 是正三角形的充分必要条件是 成等差数列且 成等比数列． *3.三边 成等差数列 ； . *4.三边 成等比数列 , . (5)锐角 中, ， ； ； . 【思考】：钝角 中的类比结论 (6)两内角与其正弦值：在 中， ，… (7)若 ，则 . (8) . B 4.三角恒等与不等式 组一 组二 …… 组三 常见三角不等式 (1)若 ，则 ； (2) 若 ，则 ； (3) ； (4) 在 上是减函数； B5.概率的计算公式： ⑴古典概型： ； ①等可能事件的概率计算公式： ； ②互斥事件的概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)； ③对立事件的概率计算公式是：P( )=1－P(A)； ④独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A•B)＝P(A)•P(B)； ⑤独立事件重复试验的概率计算公式是： (是二项展开式[(1－P)+P]n的第(k+1)项). ⑵几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域 }，则A的概率定义为 注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件. 【说明】：条件概率：称 为在事件 发生的条件下，事件 发生的概率。 注意：① ；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 B6. 排列、组合 （1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是： ①直接法： ②间接法：即排除不符合要求的情形 ③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。 ②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。 ③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。 ④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。 ⑤多排问题单排法。 ⑥多元问题分类法。 ⑦有序问题组合法。 ⑧选取问题先选后排法。 ⑨至多至少问题间接法。 ⑩相同元素分组可采用隔板法。 ⑪涂色问题先分步考虑至某一步时再分类. （3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 组问题别忘除以 . B7.最值定理 ① ，若积 ，则当 时和 有最小值 ； ② ，若和 ，则当 是积 有最大值 . 【推广】：已知 ，则有 . （1）若积 是定值，则当 最大时， 最大；当 最小时， 最小. （2）若和 是定值，则当 最大时， 最小；当 最小时， 最大. ③已知 ，若 ，则有： ④ ，若 则有： B8.求函数值域的常用方法： ①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解； 【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系. ②逆求法：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围，型如 的函数值域； ④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域； ⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域； ⑥不等式法：利用基本不等式 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如 ，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧； ⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解； ⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域； ⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域． ⑩判别式法：对于形如 （ , 不同时为 ）的函数常采用此法． 【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： 1. 型，可直接用不等式性质； 2. 型，先化简，再用均值不等式； 3. 型，通常用判别式法； 4. 型，可用判别式法或均值不等式法； ⑪导数法：一般适用于高次多项式函数求值域. …… B9.函数值域的题型 (一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段. 常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数. (二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域. 解题步骤：(1)换元变形； (2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。 (三) 分式函数求值域 ：四种题型 (1) ：则 且 . (2) ：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围. (3) ： ，则 且 . (4)求 的值域，当 时，用判别式法求值域。 ， 值域. (四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段. 判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解. (五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域. (六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围. B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”： ⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数 最大值. ⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数 的最大值. ⑶调整分子：例3.求函数 的值域； ⑷变用公式：基本不等式 有几个常用变形： , ， ， .前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4.求函数 的最大值； ⑸连用公式：例5.已知 ，求 的最小值； ⑹对数变换：例6.已知 ，且 ，求 的最大值； ⑺三角变换：例7.已知 ，且 ，求 的最大值； ⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知 ，且 ，求 的最小值. B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值 若 （ 为定值， ），可设 ，其中 . ① 在 上是增函数，在 上是减函数； ② 在 上是增函数，在 上是减函数； ③ .令 ，其中 .由 ，得 ，从而 在 上是减函数. ⑵和为定值 若 （ 为定值， ），则 ① 在 上是增函数，在 上是减函数； ② .当 时，在 上是减函数，在 上是增函数；当 时，在 上是减函数，在 上是增函数. ③ 在 上是减函数，在 上是增函数； ⑶积为定值 若 （ 为定值， ），则 ① .当 时，在 上是减函数，在 上是增函数；当 时，在 上是增函数； ② .当 时，在 上是减函数，在 上是增函数；当 时，在 上是减函数； ③ 在 上是减函数，在 上是增函数. ⑷倒数和为定值 若 （ 为定值， ），则 成等差数列且均不为零，可设公差为 ，其中 ，则 得 . ① .当 时，在 上是减函数，在 上是增函数；当 时，在 上是增函数，在 上减函数； ② .当 时，在 上是减函数，在 上是增函数；当 时，在 上是减函数，在 上是增函数； ③ .令 ，其中 且 ，从而 在 上是增函数，在 上是减函数. B12.理解几组概念 *1. 广义判别式 设 是关于实数 的一个解析式， 都是与 有关或无关的实数且 ，则 是方程 有实根的必要条件，称“ ”为广义判别式. *2. 解决数学问题的两类方法： 一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法. *3. 二元函数 设有两个独立的变量 与 在其给定的变域中 中，任取一组数值时，第三个变量 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 称为变量 与 的二元函数.记作： . 其中 与 称为自变量，函数 也叫做因变量，自变量 与 的变域 称为函数的定义域. 把自变量 、 及因变量 当作空间点的直角坐标，先在 平面内作出函数 的定义域 ；再过 域中得任一点 作垂直于 平面的有向线段 ，使其值为与 对应的函数值 ；    当 点在 中变动时，对应的 点的轨迹就是函数 的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域 就是此曲面在 平面上的投影. *4. 格点 在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念. *5. 间断点 我们通常把间断点分成两类：如果 是函数 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把 称为函数 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. *6. 拐点 连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点. 如果 在区间 内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定 的拐点. (1)求 ； (2)令 ，解出此方程在区间 内实根； (3)对于(2)中解出的每一个实根 ，检查 在 左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点. *7.驻点 曲线 在它的极值点 处的切线都平行于 轴，即 .这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性 定义在 上的函数 ，如果满足：对任意 的都有 ，则称是 上的凸函数.定义在 上的函数如果满足：对任意的 都有 ，则称 上的凹函数. 【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）. 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点. B13. 了解几个定理 *1. 拉格朗日中值定理:    如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，那末在 内至少有一点 ，使 成立.这个定理的特殊情形，即： 的情形.描述如下：    若 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 ，那么在 内至少有一点 ，使 成立. *2. 零点定理： 设函数 在闭区间 上连续，且 ．那么在开区间 内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 （ ＜ ＜ ）使 ． *3. 介值定理： 设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同函数值， ，那么对于 之间任意的一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使得 （ ＜ ＜ ）． *4. 夹逼定理： 设当 时，有 ，且 ，则必有 【注】： ：表示以 为的极限，则 就无限趋近于零．（ 为最小整数） C、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力 C1.线段的定比分点公式 设 ， ， 是线段 的分点， 是实数，且 （或 = ），则 （ ） 推广1：当 时，得线段 的中点公式： 推广2： 则 （ 对应终点向量）． 三角形重心坐标公式：△ABC的顶点 ，重心坐标 ： 注意：在△ABC中，若0为重心，则 ，这是充要条件． 【公式理解】： *1.λ是关键( ) (内分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0 (-1<λ<0) 若P与P1重合，λ=0 P与P2重合，λ不存在 P离P2 P1无穷远，λ= *2.中点公式是定比分点公式 的特例； *3.始点终点很重要，如若P分 的定比λ= ，则P分 的定比λ=2； *4. 知三求一； *5.利用 有界性可求一些分式函数取值范围； *6. ＝ 则 是三点 共线的充要条件. C 2. 抽象函数 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题. 求解抽象函数问题的常用方法是： (1)借助模型函数探究抽象函数： ①正比例函数型： . ②指数函数型： . ③对数函数型： . ④幂函数型： , . ⑤三角函数型： , , , . , . （2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究： （3）利用一些方法（如赋值法（令 ＝0或1，求出 或 、令 或 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。 C 3.函数图像的对称性 (1)一个函数图像自身的对称性 性质1：对于函数 ，若存在常数 使得函数定义域内的任意 ，都有的图像关于直线 对称. 【注】： 亦然. 【特例】，当 时， 的图像关于直线 对称. 【注】： 亦然. 性质2：对于函数 ，若存在常数 使得函数定义域内的任意 ，都有 的图像关于点 对称. 【特例】：当 时， 的图像关于点 对称. 【注】： 亦然. 事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质. 性质3：设函数 ，如果对于定义域内任意的 ，都有 ，则 的图像关于直线 对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数. 性质4：设函数 ，如果对于定义域内任意的 ，都有 ，则 的图像关于点 对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数. 【小结】函数对称性的充要条件 函数关系式( ) 对称性 函数 图像是奇函数 函数 图像是偶函数 或 函数 图像关于直线 对称 或 函数 图像关于点 对称 【注】：这里代数关系式中两个“ ”（对应法则）内的“ ”（变量）前的正负号相异，如果把两个“ ”放在“ ”的两边，则“ ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转. (2)两个函数图像之间的对称性 1.函数 与 的图像关于直线 对称. 2.函数 与 的图像关于直线 对称. 3.函数 与 的图像关于原点 对称. 4.函数 与它的反函数 的图像关于直线 对称. 5.函数 与 的图像 关于直线 对称. 特别地，函数 与 的图像关于直线 对称. C4.几个函数方程的周期(约定 ) (1)若 ，或 ，则 的周期 ； (2)若 ，或 ，或 ，或 ， 或 ，或 ，或 ， 或 ，或 ，则 的周期 ； (3)若 ，则 的周期 ； (4)若 ，或 ，或 ，或 ，或 ，或 且 ，则 的周期 ； (5)若 ，则 的周期 ； (6)若 ，则 的周期 . 【说明】函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明. C5.对称性与周期性的关系 定理1：若定义在 上的函数 的图像关于直线 和 对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期. 推论1：若函数 满足 及 ，则 是以 为周期的周期函数. 定理2：若定义在 上的函数 的图像关于点 和直线 对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期. 推论2：若函数 满足 及 ，则 是以 为周期的周期函数. 定理3：若定义在 上的函数 的图像关于点 和 对称，则 是周期函数，且 是它的一个周期. 推论3：若函数 满足 及 ，则 是以 为周期的周期函数. C6.函数图象的对称轴和对称中心举例 函 数 满 足 的 条 件 对称轴(中心) 满足 的函数 的图像 [或 ] 满足 的函数 的图像 [或 ] 满足 的函数 的图像 满足 的函数 的图像 满足 的函数 的图像(偶函数) 满足 的函数 的图像(奇函数) 满足 与 的两个函数的图像 满足 与 的两个函数的图像 满足 与 的两个函数的图像 C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系 1、定义在 上的函数 ,若同时关于直线 和 对称,即对于任意的实数 ,函数 同时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是偶函数. 2、定义在 上的函数 ,若同时关于直线 和点 对称,即对于任意的实数 ,函数 同时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是奇函数. 3、定义在 上的函数 ,若同时关于点 和直线 对称,即对于任意的实数 ,函数 同时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是偶函数. 4、定义在 上的函数 ,若同时关于点 和点 对称,即对于任意的实数 ,函数 同时满足 ， ，则函数 是以 为周期的周期函数，且是奇函数. 5、若偶函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数. 6、若偶函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数. 7、若奇函数 关于直线 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数. 8、若奇函数 关于点 对称，即对于任意的实数 ,函数 满足 ，则 是以 为周期的周期函数. 【拓展】： 1、若函数 为偶函数，则函数 的图像关于直线 对称. 2、若函数 为奇函数，则函数 的图像关于点 对称. 3、定义在 上的函数 满足 ，且方程 恰有 个实根，则这 个实根的和为 . 4、定义在 上的函数 满足 ，则函数 的图像关于点 对称. C8.关于奇偶性与单调性的关系. ① 如果奇函数 在区间 上是递增的,那么函数 在区间 上也是递增的; ② 如果偶函数 在区间 上是递增的,那么函数 在区间 上是递减的; 【思考】：结论推导 C7.原函数与反函数 原函数 ，对应的反函数为 (1) 原函数与反函数互为反函数，反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域. 【理解】： ①设 的定义域为 ，值域为 ，那么，对应的反函数 定义域为 ，值域为 . ②一般地，如果函数 有反函数，且 ，那么 ．这就是说点（ ）在函数 图像上，那么点（ ）在函数 的图像上． ③ 与 互为反函数.即，函数 的反函数是 ，函数 的反函数是 . ②函数 的图像与其反函数 的图像相同. (2)性质： ①原函数 的图像与其反函数 的图像关于直线 对称. ②在定义域上,只有单调函数才有反函数，并且单调函数必有反函数. 【注意】：*1.对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的．且非连续的非单调函数也可能有反函数； *2.周期函数不存在反函数，定义域为非单元素集的偶函数也不存在反函数； ③互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性； 设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y．如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数 在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同． 【注意】函数 的图像与其反函数 的图像的交点位置. 当它们是递增时，交点在直线 上；当它们递减时，交点可以不在直线 上，并且交点个数不定. ④如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数； ⑤设 的定义域为 ，值域为 ，则有 ， ； 【注意】： ，如 的反函数； ⑥若函数 存在反函数，则其反函数为 ，并不是 ，而函数 是 的反函数； C 9.几何体中数量运算导出结论 数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质. 1.在长方体 中： ①体对角线长为 ，外接球直径 ； ②棱长总和为 ； ③全(表)面积为 ，体积 ； ④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则有 cos2 +cos2 +cos2 =1，sin2 +sin2 +sin2 =2. ⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有 cos2 +cos2 +cos2 =2，sin2 +sin2 +sin2 =1. 2.在正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直) 顶点在底上射影为底面垂心；③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内 顶点在底上射影为底面内心. 3.在正四面体中：设棱长为 ，则正四面体中的一些数量关系： ①全面积 ；②体积 ；③对棱间的距离 ； ④相邻面所成二面角 ；⑤外接球半径 ；⑥内切球半径 ； ⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值 . 4.在立方体中： 设正方体的棱长为 ，则 ①体对角线长为 ，②全面积为 ，③体积 ，④内切球半径为 ,外接球半径为 ,与十二条棱均相切的球半径为 ,则 , , ,且 【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果. 5.在球体中： 球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合． 球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长． 球心和截面圆的距离 与球的半径 及截面圆半径 之间的关系是 . 掌握球面上两点 、 间的距离求法： ⑴计算线段 的长；⑵计算球心角 的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧 的长. 【注】：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”. 【补充】： 一、四面体． 1．对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质： ①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心； ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心； ③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1； ④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°． 2．直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形．（在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD． 3．等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形．根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体． （在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为h），则有 ①等腰四面体的体积可表示为 ； ②等腰四面体的外接球半径可表示为 ； ③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为 ； ④h = 4r． 二、空间正余弦定理． 空间正弦定理：sin∠ABD/sin∠A-BC-D=sin∠ABC/sin∠A-BD-C=sin∠CBD/sin∠C-BA-D 空间余弦定理：cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A-BC-D 6.直角四面体的性质： 在直角四面体 中, 两两垂直,令 ,则 ⑴底面三角形 为锐角三角形； ⑵直角顶点 在底面的射影 为三角形 的垂心； ⑶ ； ⑷ ； ⑸ ； ⑹外接球半径R= . 7. 球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长． (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长． (3)球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为 , 外接球的半径为 ． C10.圆锥曲线几何性质 如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用. 椭圆方程的第一定义： 双曲线的第一定义： 圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹．简言之就是 “ （数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图. 当 时，轨迹为椭圆； 当 时，轨迹为抛物线； 当 时，轨迹为双曲线； 当 时，轨迹为圆（ ，当 时）． 圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中 ，椭圆中 、双曲线中 . 圆锥曲线的焦半径公式如下图： 特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点. C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）. 1.平移变换 向量平移法则： 按 平移得 ，即 按 平移得 ，当 时，向右平移， 时，向左平移.当 时，向上平移， 时向下平移.对于“从 到 ”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“ ”是“左负右正，上正下负”. 【小结】：“按向量平移”的几个结论 ①点 按向量 平移后得到点 . ②函数 的图像 按向量 平移后得到图像 ，则 的函数解析式为 . ③图像 按向量 平移后得到图像 ，若 的解析式 ，则 的函数解析式为 . ④曲线 ： 按向量 平移后得到图像 ，则 的方程为 . ⑤向量 按向量 平移后得到的向量仍然为 . 2.翻折变换 (1)由 得到 ，就是把 的图像在 轴下方的部分作关于 轴对称的图像，即把 轴下方的部分翻到 轴上方，而原来 轴上方的部分不变. (2)由 得到 ，就是把 的图像在 轴右边的部分作关于 轴对称的图像，即把 轴右边的部分翻到 轴的左边，而原来 轴左边的部分去掉，右边的部分不变. 3.伸缩变换 (1)设点 是平面直角坐标系内的任意一点，在变换 的作用下，点 对应于点 ，函数 在变换 下得到 (2)将 的横坐标变为原来的 倍，纵坐标变为原来的 倍，得到 即 4.对称变换 (1)函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到； (2)函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到； (3)函数 的图像可以将函数 的图像关于原点对称即可得到； (4)函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称得到. (5)函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称即可得到； . 【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题 (1) 观察变换前后位置变化：.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换. (2) 观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置； 深刻理解圆锥曲线在形和数上的统一. (2)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数 ”及函数 等）相互转化. (3)理解等轴双曲线 与反比例函数 图像的本质联系. (4)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系. C 12. 借助图象比较大小 C 13.常用的近似计算公式（当 充分小时） (1) ； . (2) ； . (3) ； . (4) （ 为弧度）； （ 为弧度）； （ 为弧度）. C 14.大小比较常用方法： ①作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； ②作商（常用于分数指数幂的代数式）； ③分析法； ④平方法； ⑤分子（或分母）有理化； ⑥利用函数的单调性； ⑦寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法； ⑧图像法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法. C 15.不定项填空题易误知识点拾遗： (1)情况存在的“个数”问题 ①空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面＿＿个.（7个）； ②过直线外一点有＿＿个平面与该直线平行（无数个）； ③一直线与一平面斜交，则平面内有＿＿条直线与该直线平行.（0）； ④3条两两相交的直线可以确定＿＿个平面（1个或3个）； ⑤经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有＿＿条（0或1）； ⑥3个平面可以把空间分＿＿个部分.（4或6或7或8）； ⑦两两相交的4条直线最多可以确定＿＿个平面（6个）； ⑧两异面直线成60°，经过空间外一点与它们都成30°（45°，60°，80°）的直线有＿＿条.（1；2；3；4）； (2)平面与空间的“区分”问题 1.错误的命题 ①垂直于同一条直线的两直线平行； ②平行于同一直线的两平面平行； ③平行于同一平面的两直线平行； ④过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两个不同平面内的两条直线叫做异面直线； ⑥一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直…… 2.正确的命题 ①平行于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行； ④两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面…… (3)易误提点： ① 是 为钝角的必要非充分条件. ②截距不一定大于零，可为负数，可为零； ③ 常常会是等式不成立的原因， 模为0，方向和任意向量平行，却不垂直； ④在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑 ，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”； ⑤直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. C16．关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … …. D、13～14，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽 D1.熟知几个重要函数 1. (1) 时， 为“双钩函数”： ① 定义域： ；值域为 ； ② 奇偶性：奇函数（有对称中心）； ③ 单调性：在区间 上单调递增； 在区间 上单调递减. ④ 极值： 时取到极大值， 时取到极小值. ⑤ 记住 的图像的草图. ⑥ 不等式性质： 时， ； 时， . (2) 时， 在区间 上为增函数. 【思考】：图像大致如何分布. (3)常用地，当 时， 的特殊性质略. 【探究】：①函数 的图像变化趋势怎样？ ② 的有关性质. 2. 化简为， ①定义域： ；值域为 的一切实数； ②奇偶性：不作讨论； ③单调性：当 时，在区间 上单调递增； 当 时，在区间 上单调递减. ④对称中心是点 ； ⑤两渐近线：直线 和直线 ； 【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中 的系数确定. ⑥平移变换： 可由反比例函数 图像经过平移得到； ⑦反函数为 ； 【说明】：分式函数 与反比例函数 ，离心率均为 ，同源于双曲线 . 3.三次函数图像与性质初步 *1.定义：形如 的函数叫做三次函数. 定义域为 ,值域为 . *2.解析式：①一般式： ； ②零点式： *3.单调性： 【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问题时，我们需要考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法. 那三次函数 的图像及性质，要从那里入手呢？ 再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质. 所以， ，导函数对称轴 . 【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处. （“极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点） （一）若 令 ，由根与系数关系知： ， 两极值点： （1）当 ， ， ，约定 ，则拐点在 轴左边，极值点分布在 轴左边.根据零点的个数，尝试做出如下图像： （2）当 ， ， 时，拐点在 轴左边，极值点分布在 轴两边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值； （3）当 ， ， 时，拐点在 轴右边，极值点分布在 轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略 （4）当 ， ， 时，拐点在 轴右边，极值点分布在 轴两边，且左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略 （二）若 由 知：无极值点，拐点横坐标仍为 ，所以图像如右图所示. （三）若 即 时， 在 R上恒成立， 即 在 为增函数. (-∞， ) （ ，+∞) 的符号 + 0 + 的单调性 ↗ ↗ *4.极值： 函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系 (1)若 ，则 在R上无极值； (2) 若 ，则 在R上有两个极值；且 在 处取得极大值，在 处取得极小值. *5.零点个数(根的性质) 函数 的图像与 轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？ （联系函数的极值，进行等价转化） 一个交点：极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”； 两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零； 三个交点：极大值大于零，极小值小于零. D2.几个重要图像 1. （ ） 2. （ ） 3. （ ） 4. （ ） 5. 6. D3.函数 的零点处理： （1） 的零点（不是点而是数） 的根 与 轴的交点的横坐标 的交点问题. （2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题. （3）零点存在定理： 单调且端点值异号 使 . 【说明】： 1.方程 在 上有且只有一个实根，与 不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特别地，方程 有且只有一个实根在 内，等价于 ，或 且 ，或 且 . 2. 在 上连续，且 ，则 在 上至少有一个零点（奇数个零点），可能有无数个零点. ， 在 上可能无零点也可能有无数个零点. 3.两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对 . D4.比例的几个性质 ①比例基本性质： ； ②反比定理： ； ③更比定理： ； ④合比定理； ； ⑤分比定理： ； ⑥合分比定理： ；⑦分合比定理： ； ⑧等比定理：若 ， ，则 . D5.（1）三角形中的 “三线定理”（斯德瓦定理） 在△ABC中，D是BC上任意一点，则 ． ①若AD是BC上的中线， ； ②若AD是∠A的平分线， ，其中 为半周长； ③若AD是BC上的高， ，其中 为半周长． （2）三角形“五心”的向量性质(P为平面ABC内任意一点)： ① 为 的重心 ② 为 的垂心 ； ③ 为 的内心 ④ 为 的外心 ； ⑤ 为 中 的旁心 ； D6.含绝对值不等式 (1)复数集内的三角形不等式： 其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号. (2)向量不等式： 【注意】： 同向或有 ； 反向或有 ； 不共线 .(这些和实数集中类似) (3)代数不等式： 同号或有 ； 异号或有 . D7.重要不等式 1、和积不等式： (当且仅当 时取到“ ”)． 【变形】：① （当a = b时， ） 【注意】： ， ② (当且仅当 时取“=”号)． 2、均值不等式： 两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均 算术平均 几何平均 调和平均” 【拓展】： ①幂平均不等式： ② “算术平均 几何平均（a1、a2…an为正数）”： （a1=a2=…=an时取等） 3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： ① ② （ ， ）； 4、柯西不等式： ①（代数形式）设 均为实数，则 ，其中等号当且仅当 时成立. ②（向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则 ，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立. ③（三角形式）设 为任意实数，则： 【思考】：三角形不等式中等号成立的条件是什么？ ④（推广形式）设 则 等号成立当且仅当 时成立．（约定 时， ） 5、绝对值不等式： 双向不等式： （左边当 时取得等号，右边当 时取得等号.） 6、放缩不等式： ① ，则 . 【说明】： （ ，糖水的浓度问题）. 【拓展】： . ② ， ，则 ； ③ ， ； ④ ， . ⑤ , . D8.三角函数最值题型及解题捷径 ① ； ② ； ③ ； ④ （均值不等式法）； ⑤含有 或 ； ⑥ . D9.数论中的一些浅显结论 数论可以分为：初等数论，代数数论，几何数论，解析数论等.数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆. 主要结论有： ①带余除法：若 是两个整数， ，则存在两个整数 使得 （ ）， 是唯一的.特别地，如果 ，那么 .这时 被 整除，记作 ，也称 是 的约数， 是 的倍数. ②若 ， ，且 互质，则 . ③唯一分解定理：每一个大于1的自然数 都可以写成质数的连乘积，即 其中 为质数， 为自然数，并且这种表示是唯一的.（1）式称为 的质因数分解或标准分解. ④约数个数定理：设 的标准分解式为（1），则它的正约数个数为： ⑤整数集的离散性： 与 之间不再有其他整数.因此，不等式 与 是等价的. …… …… …… 二、解答题 做题提醒：获得高分不仅需要采取多夺分策略，还须谨记坚持少丢分策略 第十五题（三角基础题）——基础题你答对了吗？ 15.1、正弦定理 1.知识工具： 在△ABC中， （ 是 外接圆直径 ）. 【变式】：① ； ② ； ③ 。 ④ 在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角. 【注明】：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用： (1)三角形内角和定理： (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (3)面积公式： (4)三角函数的恒等变形 ， ， ， 2.三种题型 ①利用正弦定理公式原型解三角形 ②利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化. ③三角形解的个数的判定： 方法一：画图观察 已知 ，其中 ， ⑴ 为锐角时： ① 时，无解； ② 时，一解（直角）； ③ 时，两解（一锐角，一钝角）； ④ 时，一解（一锐角）. ⑵ 为直角或钝角时： ① 时，无解； ② 时，一解（锐角）. 方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数. 15.2、余弦定理 1.知识工具： 等三个； 等三个。 【注明】：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理.在变形中，注意三角形中其他条件的应用. 2.三种题型 ①利用余弦定理公式的原型解三角形. ②利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形： 凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式. ③判断三角形的形状. 根据余弦定理，当 ， ， 中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当 ， ， 中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论. 判断三角形形状的方法： (1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用 这个结论. 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解. 15.3、正余弦定理实际应用 求距离 两点间不可通又不可视 两点间可视但不可达 两点都不可达 求高度 底部可达 底部不可达 ①计算高度； ②计算距离； ③计算角度； ④测量方案的设计 实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解. 15.3、常见结