开普勒定律

1 开普勒问题－8.282 开普勒问题 一个质量为 m的天体围绕一个 比它质量大的多的天体 M进行非圆的 轨道运动。我们想要得出 r(t)和 θ(t)。 我们以在二维轨道平面应用 amF   = 开始。 0Fq = Þ 轨道角动量 L守恒， 但是， 22 r dt dmrmrrmrmvL ÷ ø ö ç è æ==== ^ q ww 代换＃1：从 Fr的方程中消去 ÷ ø ö ç è æ dt dq 项，得到现在的形式，含有 r，θ，和 t 2 22 22 dt rdmr mr Lm r GmM +÷ ø ö ç è æ-=- 或者 032 2 22 2 =-+ rm L r GM dt rd 这个方程是很难解出的。因此我们用链式微分定则来找出 r(θ)而不是 r(t)的方程式。 这将会获得开普勒轨道的形状。 从角动量守恒达式可得到 2r dt dmL ÷ ø ö ç è æ= q 我们有 2mr L dt d = q 因此， ÷ ø ö ç è æ=÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ= q q q d dr mr L dt d d dr dt dr 2 ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ=ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ= qq q q d dr mr L d d dt d d dr mr L dt d dt rd 222 2 2 22 2 dt rdmr dt dm r GmMFr +÷ ø ö ç è æ-=-= q 2 最后， úû ù êë é= qq d dr rd d rm L dt rd 222 2 2 2 11 r(θ)现在能写为以下方程 代换＃2 011 32 2 2222 2 =-+úû ù êë é rm L r GM d dr rd d rm L qq 或者 2 2 1 1 0d dr GMm d r d L rq q é ù + - =ê úë û 这个 r(θ)的方程比我们最初的 r(t)的方程要容易解，这点并不明显，但是的确如此！ 这个小技巧是作变量替换 u r 1º 代换＃3： 01 2 2 2 =-+ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ u L GMm ud du d d qq 或者 2 2 2 2 d u GMmu d Lq + = 首先，令方程式右边等于零产生一个方程 02 2 =+ u d ud q 这个方程的解的形式为： ( ) ( )bqq += cosBu （自己证明这个解） ， 其中 B和β是由边界条件给定的常数。 为了找到方程式右边不为零的解，我们简单的把 2 2 L GMm 加到上面得到的解的右边， 因此 ( ) ( ) ( ) 2 2 cos1 L GMmB r u ++=º bq q q 3 如果我们调整 r(θ)的图形，使 r的最小和最大值在沿 x轴上，这要固定β≡0。 最终， ( ) q q cos1 2 2 2 2 GMm BL GMm L r + = 还要确定常数 B。 我们的 r(θ)的表达式是一个椭圆形式。因此，让我们来了解一下椭圆的一些性质。 左图显示了半长轴和半短轴长度分别是 a 和 b 的椭圆。右图显示了同一个椭圆的常见 的几何结构，这里一个固定长度的细绳围绕着两个固定点（定义为两个焦点）拉紧，铅笔在 p点。两个焦点之间的距离，被定义为 2ea，e是轨道偏心率。 现在我们推导 r、θ 坐标中的椭圆方程。容易得出绳子的长度是 2a＋2ea＝2a(1+e)， 我们现在对右图应用余弦定理： ( ) qcos42' 222 earearr -+= ， 绳子的长度＝ arreaaearr 2'222' =+Þ+=++ ( ) ( ) qcos222 222 earearra -+=- ( ) ( )qcos11 22 earea -=- 最终，我们得到椭圆的极坐标方程： ( ) ( )( )qq cos1 1 2 e ear - - = 这与从开普勒轨道运动方程得到的形式完全一样！令这两个方程的分子相同，我们得 到： ( ) 2221 GMmLea =- 4 因此，我们发现对于一组给定的质量，如果我们选择一个半长轴 a，和轨道角动量 L， 这就确定了轨道的偏心率。这就得出了开普勒第一定律的证明。 开普勒第二和第三定律容易证明如下： 还记得 2dL m r dt qæ ö= =ç ÷ è ø 常数， 但是， ( )1 2 rd rq =轨道扫过的微分面积 m L dt dr dt dA 22 1 2 ==Þ q 最后，我们得到 2 1 r2 dA L dt m = = Ü常数 只是角动量守恒的结论，而不是 律的结论， 这是开普勒第二定律。 如果我们对轨道扫过面积的表达式进行积分，我们就能求出椭圆的面积。 0 2 P dA Ldt P ab dt m pæ ö = = = ¬ç ÷ è øò 椭圆的面积 用半长轴和半短轴表示的椭圆的面积 从图中我们可以看出 a，b和 e的关系： 2 2 2 1 e a b -= 因此，我们能够得到下面的轨道周期 P和半长轴 a的关系： ( ) 2 232 242222 22 22 1 2 GMm Laeaba m PL p pp =-== ， 这里我们用了前一页的表达式 ( ) 22 21a e L GMm- = 。 最后只剩下 ( ) GM aP 3 2 2 2 = p 或者 2 3 2 ÷ ø ö ç è æ= Pa GM p ，偏心轨道的开普勒第三定律。 对于一个圆轨道来说，形式完全一样，除了这里的 a是半长轴以外。 5 轨道运动对时间的依从关系 回到最初的 r(t)的第二个轨道微分方程 2 2 2 2 2 3 0 d r GM L dt r m r + - = ，力的方程 但是， 2 2 dt rd 可以写为 ( )2 2 1 rvdr d ，这里 vr是径向速度。利用这一点，我们可以对上面的 方程（关于力和加速度）积分得到一个能量方程： 2 2 2 2 1 2 2r GM Lv r m r - + =常数 在近星点，vr=0，r=a(1-e)，而且 L 2 =GMm 2 a(1-e 2 )（处处成立）， 因此， 2 GM a = -常数 a GM rm L r GMvr 222 1 22 2 2 -=+- 能量守恒 或者 22 22 rm L r GM a GM dt drvr -+-== 或者 2 2 2 2 m LGMrr a GM rdrdt -+- = 现在替换 ( )22 1 eGMmaL -= ( )222 12 earar a GM rdrdt --+- = ( )22 2 1rdrdt GM a e r a a = - - 这种形式的方程可以通过构造以下（非常的）三角代换来进行积分： 令： ( ) cosr a ae u- = - sindr ae udu= 6 ( )( ) ueaea a GM duuaeueadt 22222 cos sincos1 - - = ( ) ae a GM duueeadt cos1 2 - = 还记得： 3 22 a GM P =÷ ø ö ç è æ p ( )duue P dt cos12 -=p ，这很容易积分。 ( )02 sint T u e u P p f - º = - ， 其中f是平均近点角，u是偏近点角 还记得： ( )uear cos1-= （从上面的三角代换得到） 以上两个方程表示了 r(t)的参数解，也就是 r(u)和 u(t)。 要用开普勒轨道拟合观测的数据，我们通常把参数方程写成关于同样的 u(t)方程的 x(u)、y(u)的形式。我们可以用我们的椭圆轨道解 ( ) qcos1 1 2 e ear + - = 来得到 x(u)和 y(u)。（注意分母中是+号，分母中是-号的比较容易导出。这是简单地在方向 上把椭圆翻转了 180°。）从椭圆的方程我们能得到 )1(cos 2earer -=+ q 或者 ( )[ ] ereaxr /1cos 2 --=ºq 用上面的 )cos1( uear -= 替换，得到： ( ) ( ) ( )[ ] ( ) eeuaeeueaeaux /coscos11 2 -=---= ( ) ( )euaux -= cos 同样可得： ( ) ueauy sin1 2-= 7 我们已得到 ( ) ueu P Tt sin2 -=-p 这些非线形方程被用来拟合轨道，其中 x(t)和 y(t)是已测量的。基本上，对于任意观 测时间 t，我们可以用牛顿的来解最下面的表达式 u。然后 x[u(t)]和 y[u(t)]由上面两 个方程导出，再和观测作比较。 8 平面上的加速度 2 2 dt rda  = 所以，使 rrr ˆ= ，这里 rˆ是径向的单位矢量。 因此，速度为 r dt drr dt dr dt rdv ˆˆ +==  ，由链式规律 qq ˆD=D r r 或者 qwq q ˆˆˆˆ =Þ D D = D D dt rd tt r ， 所以， ˆˆdrv r r dt w q= +  ， 最后， dt vda  = ， 或者 qwqwq w ˆˆˆˆˆ2 2 dt dr dt dr dt dr dt rd dt drr dt rda +÷ ø ö ç è æ+÷ ø ö ç è æ+÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ+=  从类似上面 dt rd ˆ 的推导，我们得到 r dt d ˆ ˆ w q -= rr dt dr dt dr dt drr dt rda ˆˆˆˆˆ 22 2 wqwq w qw -÷ ø ö ç è æ+÷ ø ö ç è æ+÷ ø ö ç è æ+=  合并同类项，我们得到 2 2 2 2 2 ˆˆ 2d r d dr da r r r dt dt dt dt q q w q é ùæ ö é ùæ öæ ö= - + +ê úç ÷ ç ÷ç ÷ê úè øè øè ø ë ûë û  其中，第一项是向心加速度，第二项是科里奥利加速度。