多值逻辑与范布尔代数

, , 年 呼 月 计 算 机 学 报 第 呼 期 多 值 逻 辑 与 范 布 尔 代 数 唐 桂 明 福建三明师范专科学校 · ’ 宫。 , “ 。 多值逻辑的广泛应用 , 越来越引起人们的关注 本文提出在满足 良序关系的多值逻 辑系统中 , 用二值范布尔代数示多值逻辑变量分量系数的 该方法使用二值逻辑 运算来处理多值逻辑问 在多元多值的情况下 , 亦能方便地借助计算机进行辅助 与 多值逻辑变量的矢量分解 。 , , ⋯ , 。 一 为多值变量的取值集合 , , , 一 为二值变 量的取值集合 , 并建立有序关系 ⋯ 。 一 在多值逻辑系统中引人二元运算 与运算 一 一 , 一 或运算 十 , 模加运算 尸 引入一元运算 非运算 又 , 一 一 定义 多值变量 的任一取值 畏, 选取与之对应的 尹 〔 , 使得 时 , 当且仅 当 , 一 , 妙 护 一 · · 一 一 ‘ 一 时 , 当且仅 当 妙 。 一 , 砂 一 护 · · 一 护 一 ‘ 一 一 ” 一 时 , 当且仅 当 ’ 一 , 一 一 , 二‘ · · 一 二一 , 称 砂 为多值变量 的 友分量的系数 , 夜〔 。 由定义 , 多值变量 的任一取值 , 其分量系数必同时满足如下两个性质 ︸劣 、 本文 年 月 日收到 计 算 机 学 报 年 及 · 及 · 户〔 。 且 及今 户 从 、 两式看出 , 当把 看成文献〔 中多状态系统中的变量时 , 砂 为状态变量 , 则与文献【 中具有相同的数学模型 , 因此有下面定理成立 定理 , 尹 , , · , 一 构成范布尔代数系统 其中对 砂 的非运算定义为 砂 一 十 ⋯ 砂一 , 砂 ⋯十 砂 一‘ 砂 〔 由定义 , 可把多值变量 写成矢量形式 一 · 砂 · ⋯ ‘ 一‘ · 。 一 一 习 砂 · 及 , 有时又把分量系数写成 【 」冷形式 定理 多值逻辑函数 , , ⋯ , , , ⋯ , 、 可写成矢量形式 可用多值逻辑系统的表达式表出 , 则 , , , ⋯ , 一 艺 奄 · 及, 其中 舜 。乙 , 及〔乙 , 且 花 ‘ 同样称 严为函数 及分量系数 推论 多值逻辑函数 , , ⋯ , 户 可写成矩阵形式 由 , , ⋯ , · ‘ · ⋯ “ 一‘ · 一 , ‘ , ⋯ , 一 , · , , ⋯ , , 一 了 一 ’ 从推论 看 出 , 不同函数的分量矩阵 是完全一样 , 其函数功能的差异仅体现在系 数矩阵 上 因而对多值逻辑函数的研究 , 只须研究其分量系数矩阵 卜 系数真值矩阵的范布尔代数表达式 由 式知 , 求出并化简 严的表达式是研究多值逻辑函数的关键 下面从函数真值 矩阵与分量系数真值矩阵的关系矩阵所表示的关系来求解 严的表达式 , 用范布尔代数化 简方法来得到最简的 严表达式 定义 多值逻辑函数 , , , ⋯ , 动 中的变量的 砂 个 重序元 之 即 , , ⋯ , 矽 分别对应着 , 个函数真值 叹 幼 〔乙 , 把 产 个真值按表 所 示顺序 , 构成 俨一‘ 矩阵 , 幼 , 称为函数的真值矩阵 , 记为 勺 定义 与 重序元 之中各元素 ‘ 的取值 友一一对应的分量系数 砂 , 按 之的 、 , 次序组成 重序元 碟 , 也对应着 砂 个系数真值 尸 斌 〔 , 及〔 。 同定义 一样构 成 。 , 一‘ 矩阵 九 之 , 称为系数真值矩阵 , 记为 材 定义 在给定的两个有限集 、 中 , 是 到 的二元关系 , 则有 ” 一 , 如果 ‘ , 〔 如果 ‘ , , 必 、 , ‘ 一一 定理 良口尺套 征明 。 在 矩阵 怎式 中 , 关于不同 友值的关系矩阵所表示的关 系 生 、 , 凌 一 左 〔, 尸 中 , 矩阵元 , 表示函数各分量的系数 , 由该矩阵得 出关于第 舜分量 呼 期 唐桂明 多值逻辑与范布尔代数 表 , 材 ‘ 二之 溉 一一‘兰一一生一 二 一一兰一生 一 二 一一一一一竺生 一 一“品 一 ” 一 月 一 月 一 , 。 ·· · 。 。 。 —一 刀 一 刀 一 刀 一 一 几 一 , , 一 一 刃 一 厂三‘汉一 系数的关系矩阵 冬二 与原系数真值矩阵一样是一个 俨一 , 矩阵 , 其表示的关系为 士 之, 赴 奋 〔 之〔 八 架 花 又因函数具有 , 个分量 , 因而存在 个这样分量系数的关系矩阵 各二 对于 嵘 〔 尹 , 由范布尔代数中状态变量正交性知 , 只有唯一的 尸〔 能使 嵘 , “ 〔砚 , 所以有 乞 ” , 即 生 付 一 及 一 女 成立 定理 多值逻辑函数的真值的关系矩阵与系数的真值的关系矩阵相等 即 袭 委二 证 在 汉 幼 中 , 矩阵元 乞〔 。 表示函数的各种取值 由该矩阵得 出关于 函数取值为 及的关系矩阵 各 , 与原矩阵一样是一个 。 俨一‘ 矩阵 , 所表示的关系为 天支 之, 奄 介 〔 。 之〔 黑 一 互 而 掩 及, 表示函数的取值 , 所以存在 。 个关系矩阵 罕 卜 由定理 中得 出的关系 此 与定 义 中 嵘 与 之的对应关系 , 即有 岌 轰, 成立 ’ ‘ 由定理 , 可导出下面推论成立 推论 夕务 生 乏 , · 推论 是本文的一个重要结论 , 它反映出 务与 严 、 间的联系 ’ 由于关系矩阵中的 元素均属于二值问题 , 因此只要知道 了函数的真值矩阵 , 便可用范布尔代数描述与简化其 系数表达式 才趁 例 , 一 · , , 〔乙 , 其分量系数的范布尔代数表达式求法 函数的真值矩阵与关系矩阵如下 ’ ,, 一一 一一, 一一 口‘ 一一矛 计 算 机 学 报 年 尸 一一 户 , 八︸︸︵八“ ︸ 利用文献 〔 给出的简化法则及推论 的结论 , 可写出分量系数的范布尔代数表达 式 · · · · 夕 一 砂 · 尹 分 · 尹 · 夕, 十 三 州 · 厂 则 , ‘, , 尹 · , ‘ ‘ · 尹 , ‘ · , , , · 夕, , · , , , · 少 , · , , , 了 当 , 〔 。 时 , 其分量系数的一般公式 〔 · ,‘一落 , 花 落小 了 ‘, ‘。乙 , 同样可写出二元 。 值“ 或 ”运算分量系数范布尔代数表达式 〔 ,‘一 ‘ · 息 花 息一 · , ‘ 例 设计一个三值 并对输人信号无约束 表 触发器 , 要求具有二值 触发器相应的置数 、 保持功能 , 表 一竺里些二立二 一二竺一止匕二一止竺 ‘ 一一卜二 卜二 止竺生一二一半一 一 保 持 ,, 。。· 入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入 》》 ” ,, , ” ” ” ” ,, 一一 ⋯⋯ ·· ·· 表 为该触发器激励表 考虑到 置 。 , 只须二值信号 根据激励表作出三值 触发器输出函数真值表 如表 所示 按例 方法 , 得分量系数表达式 ‘ , · , , 尸 · , , · ” · , ’ , · , · , · , , · 。 ‘ 一 ‘ , , · , · ” 综合以上三式 , 得出三值 触发器输出函数表达式 , 尺 · 亏 · 亏 · 不难用表 验证 式的正确性 图 所示为三值 触发器的逻辑图 , 由 式 下转封三 上接第 页 画出 图中均为三值门器件 图 由上两例看 出 , 该方法是处理多值逻辑问题的一种有效工具 参 考 文 献 陈廷槐 , 四值逻辑与星算法 , 计算机学报 , , 一 刘志模 、袁由光 , 逻辑代数的矢量扩展变换 , 计算机学报 , , , ,一 , 了 , , 一 一 张南纶 、 肖奚安 、朱梧稠 , 范布尔代数公理体系 , 空军气象学院学报 , , 一 张南纶 , 范布尔代数在开关电路中的应用 , 电子学报 , ,, ,, 山且 ,︸, ‘咔一,﹃‘