5.1-5.2

nullnull 一个统计问题总有它明确的研究对象.5.1.1 总体与个体研究对象的全体称为总体(母体)，总体中每个成员称为个体.总体5.1 简单随机样本null 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.null 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布. 这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.null 而概率分布正是刻划这种集体性质的适当工具. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.从另一方面看 统计的任务,是根据从总体中抽取的样本，去推断总体的性质. 由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量…) ，所谓总体的性质，无非就是这些指标值的集体的性质.null 例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.寿命X可用一概 率分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .null 类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示. 统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.null 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.5.1.2 样本null 但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 . 样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的容量为n的样本可以看作n维随机变量.null例1样本及观察值的表示方法:(1)肉罐头,由于随机性,每个罐头的净重都有差别,现在从生产线上随机抽取10个罐头,秤其净重,得如下结果：这是一个容量为10的样本的观察值,它是来自该生产线罐头净重这一总体的一个样本的观察值.null例1样本及观察值的表示方法:(2)对363个零售商店调查得其周零售额的结果如下:这是一个容量为363的样本的观察值,对应的总体是所有零售店的周零售额.不过这里没有给出每一个样本的具体的观察值,而是给出了样本观察值所在的区间,称为分组样本的观察值.这样一来当然会损失一些信息,但是在样本量较大时,这种经过整理的数据更能使人们对总体有一个大致的印象.null2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量. 由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布.null 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示.若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为并称其为样本分布. 简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.null（1）其概率分布为称其为离散样本密度.（2）其概率密度为则样本的概率密度为称其为连续样本密度.null例2态总体.正态总体是统计应用中最常见的总体,现则其样本密度由下式给出:null例3分布,即它恰好等于样本中取值为1的分量之总数.有某特征(如废品)的个体所占的比例,亦称为比率.null例3分布,即有某特征(如废品)的个体所占的比例,亦称为比率.从总体中随机抽取一个个体,可视为一个随机试验,若恰好抽到具有该特征的个体,否则,这样,未知的,故需通过抽样对其作统计推断.null例4则样本的概率分布为而null 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.注: 总体、样本、样本值的关系null 统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质. 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体. 样本是联系二者的桥梁null 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.5.1.3 统计量 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量. 它是完全由样本决定的量.null 几个常见统计量样本均值样本方差它反映了总体均值 的信息它反映了总体方差 的信息null样本k阶原点矩样本k阶中心矩 k=1,2,… 它反映了总体k 阶矩 的信息 它反映了总体k 阶 中心矩的信息null 5.2 抽样分布 统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布” . null 抽样分布就是通常的随机变量函数的分布. 只是强调这一分布是由一个统计量所产生的. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.抽样分布精确抽样分布渐近分布（小样本问题中使用）（大样本问题中使用)null 5.2.1 统计学的三大分布nullnull null(3)则证故null于是则，E(X)=n, D(X)=2nnull(4) 应用中心极限定理可得，null例1又设解因为所以且相互独立,于是null例1又设解且相互独立,于是则有nullT的密度函数为：记为T～t(n).2. t 分布null(1)具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为: E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 对n >2 (3)当n充分大时，其图形类似于正态分布密度函数的图形.见图4-2 不难看到，当n充分大时，t 分布近似N (0,1)分布. 但对于较小的n，t分布与N (0,1)分布相差很大.null由定义可见，3. F分布null即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.X的数学期望为:若X~F(n1,n2)， X的概率密度为null例2试问统计量服从何种分布?解因为所以null解因为所以即得null 统计三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！！ 教材100页给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义. 它在计算概率查表时经常使用. 定义:（1）null（2）分位数. 例如，标准正态分布的上侧分位数和双侧分位数分别如下图：null分位数的性质：通常，直接求解分位数是很困难的，对常用的统计分布，可利用附录中给出的分布函数值表来得到分位数的值. 例如:null例3求标准正态分布的水平 0.05 的上侧分位数和双侧分位数.解由于查标准正态分布函数值表可得它满足:查标准正态分布函数值表可得今后,注:分位数与双侧分位数.null例如: 分布的上 分位数(2)自由度为n的null例如: 分布的上 分位数(3)自由度为n的查表得到null注：①正态分布，故有②null例4互独立,令使解由于null解由于由得nullnull例如,对表中未列出的常用上侧分位数,可用上述性质求之.null 当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理. 这里我们不加地叙述. 除定理4.3外，其它几个定理的证明都可以在教材上找到.5.2.2 几个重要的抽样分布null 定理 5.1(1) (样本均值的分布)nullnull例5个样本,求:解所以于是null例5个样本,求:解得故null 定理 5.1(2) (样本方差的分布)nullnull例6知,计算概率解计算与随机变量有关的事件的概率,必须知道该随机变量的分布.以及定理 5.1有null故null所以null例7的一个样本,差.解由定理 ,得所以null于是且null例8在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从现在进行了 25 次发射试验,着点偏离目标中心的距离的样本方差,解根据定理, 有null解根据定理 ,有于是null 定理 5.1(3) null 定理 5.2 (两总体样本均值差的分布) null 定理 5.2 (两总体样本均值差的分布) null 定理 5.3 (两总体样本方差比的分布) 上述5个抽样分布定理很重要，要牢固掌握.null例9的两个相互独立的样本,解由题设及定理 ,知于是null例10两个样本均值和方差,解由定理 ,即知null解于是即故null一般总体抽样分布的极限分布极限分布，定义体连续点组成的集合，若简记为null定理5.4并设总记则与标准正态分布的分布函数.（证略）.注：定理5的结论表明，完