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2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案[www.edu5.net][教育资源网 http://www.edu5.net] 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°，则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为（） A. B. C. D. 2. 设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（） A. B. C. D....

[教育资源网 http://www.edu5.net] 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°，则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为（） A. B. C. D. 2. 设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（） A. B. C. D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于（） A. B. C. D. 4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意实数x恒成立，则的值等于（） A. B. C. −1 D. 1 5. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（） 6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A(−3，0)，B(1，−1)，C(0，3)，D(−1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。 8. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于________。 11. 已知函数，则f(x)的最小值为________。 12. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 设，求证：当正整数n≥2时，an+1试题

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一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°，则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为（ B ） A. B. C. D. 解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角A−PB−C的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在△AMC中，由余弦定理得。 2. 设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ A ） A. B. C. D. [−3，3] 解：令，则有，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立。由于，所以，从而上述不等式等价于。 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A. B. C. D. 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a−2b+10>0得2b0…(1)， …(2)， …(3)，由此解得。对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为 …(4)。同理可求得直线l2的方程为 …(5)。(4)−(5)得，因为x1≠x2，故有 …(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得 …(7)，其中，，代入(7)式得2yp=(3−2k)xp+2，而xp=2，得yp=4−2k。又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。 15. 设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。证明：记，，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令，，，，其中k为任意整数。容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当时，显然成立；当x=kπ时，h(x)=h(kπ)=h(kπ−2kπ)=h(−kπ)=−h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，，故，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。欢迎访问 http://www.k12zy.com [教育资源网 http://www.edu5.net] 教学资源集散地。最大的免费教育资源网！ _1253892011.unknown _1253898040.unknown _1253899461.unknown _1253900861.unknown _1253901848.unknown _1253902321.unknown _1253904111.unknown _1253904135.unknown _1253904168.unknown _1253902546.unknown _1253903145.unknown _1253903202.unknown _1253902637.unknown _1253902403.unknown _1253901940.unknown _1253902311.unknown _1253901891.unknown _1253901397.unknown _1253901556.unknown _1253901729.unknown _1253901479.unknown _1253901032.unknown _1253901260.unknown _1253900974.unknown _1253900364.unknown _1253900528.unknown _1253900599.unknown _1253900795.unknown _1253900575.unknown _1253900416.unknown _1253900495.unknown _1253900398.unknown _1253900192.unknown _1253900342.unknown _1253900199.unknown _1253900226.unknown _1253899954.unknown _1253899978.unknown _1253899509.unknown _1253898489.unknown _1253898749.unknown _1253899265.unknown _1253899314.unknown _1253898768.unknown _1253898648.unknown _1253898704.unknown _1253898529.unknown _1253898319.unknown _1253898444.unknown _1253898460.unknown _1253898480.unknown _1253898346.unknown _1253898102.unknown _1253898294.unknown _1253898089.unknown _1253894857.unknown _1253896736.unknown _1253897777.unknown _1253897925.unknown _1253897998.unknown _1253897833.unknown _1253896827.unknown _1253897667.unknown _1253896770.unknown _1253896483.unknown _1253896544.unknown _1253896713.unknown _1253896497.unknown _1253896427.unknown _1253896470.unknown _1253894910.unknown _1253894462.unknown _1253894654.unknown _1253894744.unknown _1253894780.unknown _1253894686.unknown _1253894579.unknown _1253894598.unknown _1253894533.unknown _1253892298.unknown _1253892683.unknown _1253894031.unknown _1253892670.unknown _1253892144.unknown _1253892185.unknown _1253892068.unknown _1253885034.unknown _1253888503.unknown _1253889129.unknown _1253891936.unknown _1253891963.unknown _1253891995.unknown _1253889979.unknown _1253891837.unknown _1253891876.unknown _1253891827.unknown _1253889421.unknown _1253888653.unknown _1253888897.unknown _1253889058.unknown _1253888764.unknown _1253888545.unknown _1253888586.unknown _1253888515.unknown _1253886205.unknown _1253887965.unknown _1253888055.unknown _1253888077.unknown _1253888099.unknown _1253888007.unknown _1253886717.unknown _1253886780.unknown _1253886338.unknown _1253885726.unknown _1253885792.unknown _1253885914.unknown _1253885778.unknown _1253885613.unknown _1253884424.unknown _1253884813.unknown _1253884831.unknown _1253885008.unknown _1253885028.unknown _1253884823.unknown _1253884804.unknown _1253884403.unknown _1253884413.unknown _1253884281.unknown _1253884259.unknown _1253884272.unknown _1253884249.unknown

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