初二数学八年级数学上册等腰三角形

§14．3．1．2 等腰三角形（二） 第八课时 教学目标 （一）教学知识点 探索等腰三角形的判定定理． （二）能力训练要求 探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念． （三）情感与价值观要求 通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力． 教学重点 等腰三角形的判定定理及其应用． 教学难点 探索等腰三角形的判定定理． 教学 讲练结合法． 教具准备 多媒体课件、投影仪． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 [师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？ [生甲]等腰三角形的两底角相等． [生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． [师]同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题． Ⅱ．导入新课 [师]同学们看下面的问题并讨论： 思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ [生甲]应该能同时赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB，所以两船能同时赶到出事地点． [生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要，也就是∠A如果不等于∠B，那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点． [师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ [生丙]我想它们所对的边应该相等． [师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明． [生丁]我是运用三角形全等来证明的． （投影仪演示了同学证明过程） [例1]已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）． 求证：AB=AC． 证明：作∠BAC的平分线AD． 在△BAD和△CAD中 ∴△BAD≌△CAD（AAS）． ∴AB=AC． [师]太好了．从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形．这个结论也回答了我们一开始提出的问题．也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形． （演示课件） 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． [师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用． （演示课件） [例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． [师]这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形． 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）． 求证：AB=AC． [师]同学们先思考，再分析． [生]要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C． [师]这位同学首先想到我们这节课的重点，很好! [生]接下来，可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系． [师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据． （演示课件，括号内部分由学生来填） 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边）． [师]看大屏幕，同学们试着完成这个题． （课件演示） 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC． 求证：AB=AD． （投影仪演示学生证明过程） 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）． 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD（等角对等边）． [师]下面来看另一个例题． （演示课件） [例3]如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？ [师]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 解：选取比例尺为1：100（即为1cm代1m）． （1）作线段DE=4cm； （2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B； （3）在MN上截取BC=2.5cm； （4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长． [师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少． Ⅲ．随堂练习 （一）课本P143 1、2、3． 1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形． 答案：∠1=72°，∠2=36°． 等腰三角形有：△ABC、△ABD、△BCD． 2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 答案：是等腰三角形．因为，如图可证∠1=∠2． 3．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD． 答案： 证明：∵OA=OB， ∴∠A=∠B． 又∵AB∥DC， ∴∠A=∠C，∠B=∠D． ∴∠C=∠D． ∴OC=OD（等角对等边）． （二）补充练习： 如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD． （1）求证：△ABD是等腰三角形． （2）求∠BAD的度数． 答案： （1）证明：∵AC⊥BD， ∴∠ACB=∠ACD=90°． 又∵AC=AC，BC=CD， ∴△ACB≌△ACD（SAS）． ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD是等腰三角形． （2）解：由（1）可知AB=AD， ∴∠B=∠D． 又∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC， AC=CD． ∴∠D=∠DAC（等边对等角）． 在△ABD中，∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°， ∴2（∠BAC+∠DAC）=180°． ∴∠BAC+∠DAC=90°， 即∠BAD=90°． （鼓励学生思考其他解法） Ⅳ．课时小结 本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了一定的了解．在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力． Ⅴ．课后作业 （一）课本P147─2、4、5、9、13题． （二）预习P144～P145． Ⅵ．活动与探究 [探究1]等腰三角形两底角的平分线相等． 过程：利用等腰三角形的性质即等边对等角，全等三角形的判定及性质． 结果： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）． ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB， ∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2， ∴△BDC≌△CEB（ASA）． ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）． [探究2]等腰三角形两腰上的高相等． 过程：同探究1． 结果： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分别是△ABC的高． 求证：BE=CF． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）． 又∵BE、CF分别是△ABC的高， ∴∠BFC=∠CEB=90°． 在△BFC和△CEB中， ∵∠ABC=∠ACB，∠BFC=∠CEB，BC=CB， ∴△BFC≌△CEB（AAS）． ∴BE=CF． [探究3]等腰三角形两腰上的中线相等． 过程：同探究1． 结果： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的中线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）． 又∵CD= AC，BE= AB， ∴CD=BE． 在△BEC和△CDB中， ∵BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB， ∴△BEC≌△CDB（SAS）． ∴BD=CE． 板书 §14．3．1．2 等腰三角形（一） 一、等腰三角形的判定定理──等角对等边 二、等腰三角形判定定理的应用 三、随堂作业 四、课时小结 五、课后作业 备课资料 墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平．他拿来一个如下图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤．小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点．如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的．你能说明其中的道理吗？ 答案：根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC（即木条），如果重锤过点A，说明直线AD垂直于水平线，那么木条就是水平的．根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直． - 1 - _1189950815.unknown _1189950848.unknown _1189950856.unknown _1189950823.unknown _1189950714.unknown