第一章函数、极限、连续

考研辅导高等数学 第一章 函数 极限 连续 1.1 数列极限的求法 一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散 1. 数列极限： 描述语言：当 充分大时，数列一般项 无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数 ，则称 就是数列 的极限． “ ”语言： ， ，当 时，有 ． 二 基本结论 1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性． 2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限． 3. 夹逼法则：若 ， ，且 ，则 ． 4. 数列极限运算法则：设 ， ，那么 （1） ； （2） ； （3） ． （4） 5. 两个重要极限： ； ． 这两个极限公式可以推广为：当 时， ，则 ； ． 三 基本方法 数列极限的未定式（不确定型）有八种形式： ； ； ； ； ； ； ；无限个无穷小的和． 1. 取大原则 （极限的形式是 ，分子和分母同除以 的最大次幂） 例1 求下列极限： （1） ； （2） ； 2. 有理化法（当分子或分母含有根式时， 的最大次幂有抵消，一般要考虑分子有理化或分母有理化，或分子、分母同时有理化，通过有理化，明确抵消后剩余部分） 例2 求下列极限： （1） ； （2） . 3. 夹逼法则 （当数列的一般项不是关于 代数式或为无限个无穷小的和） 例3 求 ． 解 解此题的关键是将积分示为关于 的代数式，显然没办法直接积分，只能通过 对被积函数的放缩，达到可积的目的． ， 所以 ． 例4 求 （说明将分子 变成 的结果） 解 无限个无穷小的和是数列极限的未定式的一种常见的形式，解决此类问题常见方法有：夹逼法则；定积分；Stolz定理．本题应用夹逼法则： 由于 ， 于是 4. 单调有界原理（数列一般项不是关于 的代数式，而是有规律的给出一般项；或是一般项的递推公式） 解决此类问题的具体方法：1. 证明单调；2. 证明有界；3. 通过递推公式求极限． 例5 若数列 满足 ， ，证明数列极限存在，并求之． 证明 单调性：因为 ，所以 或 于是，数列 单调递减． 有下界：显然有下界． 根据单调有界原理：极限存在． 令 ，对递推公式两边取极限，有 ，解方程得 ，即 . 例6 证明数列 收敛，并求其极限． 证明 令 ， ， ，则 ，用数学归纳法可以证明：数列 单调增加，有上界。 证明单调增加：显然 ，假设 ，则 ，即 ，所以数列 单调增加． 证明有上界： ，假设 ，显然 ，故对所有的 ，有 。所以数列 有上界，根据单调有界原理，数列 收敛． 设 ，对 两端取极限，则有 ，解得 注 关于数列的界，可用观察和归纳的方法得到，然后给予证明．如果没有更简便的方法证明有界性，可以使用数学归纳法． 5. 验证法 （给出数列递推公式，而此数列并非是单调的） 具体方法：假设极限存在，根据递推公式求出极限，并给予证明．证明是必要的． 例7 设 ， ，求 ． 解 令 ，对递推公式两边取极限 ，得 ． 下面证明 就是数列 的极限． ， 所以 ，故 ． 注1 验证是必须的！例如 ，求 ．事实上，该数列的极限并不存在，但是若令 ，则可以求出 ．所以说证明是必须的． 注2 事实上，例5和例6也可以用验证法，请同学们给出证明。要说明的是：证明 ，只需证明 。证明 ，应用夹逼法则，即 （ ） 6. 公式法 （若极限的未定式是 型，最好利用极限公式） 例8 求 解 因为 7. 转换法 （将数列极限转换成函数极限，具体的说：令 ，则 或令 则 ，这是求数列极限的一个重要方法． 例9 设 ，试求 解 极限为不定式 ，于是利用极限公式 而 ． 所以 ． 注 一般的，如果极限形式是 的形式，套用极限公式 ， 其余的工作就是求指数部分的极限了． 8. 定积分法 如果极限的形式表现为表现为无穷项的和或积的形式或 和 的形式．（积或 的形式可以利用恒等变换公式： 将积的形式化成和的形式） 定积分法原理： . 应用定积分方法的具体步骤： 1. 将无穷项的和或积的形式表示成 的形式； 2. 制作 （每项提取 ）； 3. 将 里面表示成关于 的函数式； 4. 将 换成 ，此时 里面的式子就是被积函数 ．于是极限就是 在 上的定积分． 例10 计算 解 注：此题不能应用夹逼法则． 例11 解 首先将积的形式变成和的形式 ． 9. 相减法（Stolz定理） 如果极限表示为分式的形式，分子或分母表示为无穷项的和，需要考虑相减法．这样可以使无穷项变成有限项． Stolz定理：如果满足 ， ， 存在，则有 ． 例12 求 解 例13 求极限 ． 解 10. 相除法 如果极限的形式表示为 次方根的形式，则我们需要考虑相除法． 基本原理：若 ，则 例14 求 解 练习1.1 1．用取大原则求下列极限： （1） ； （2） ； （3） 2．用有理化法求下列极限： （1） ； （2） ； （3） . 3．用夹逼法则求下列极限： （1） ； （2） ； （3） ． 4．用Stole引理求下列极限： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．用相除法求下列极限： （1） ； （2） ． 6．用转化法求下列极限： （1） ； （2） ；（令 ，当 时， ， ） 7．用定积分法求下列极限 （1） ； （2） ； （3）设 在 连续， ，求 。 （4） （5） 8．用公式法求下列极限： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 9. 设 ， ，试证数列 极限存在，并求此极限． （分别用单调有界原理和验证法解此题） 1.2 函数极限的求法 一 基本概念 函数极限；左极限、右极限（单侧极限）；无穷小；无穷大； 1. 函数极限： ； 描述语言：当 趋于 时， 无限趋近（接近）于某个常数 ． “ ”语言： ， ，对任意的 ，有 ． 2. 左极限（右极限）： 或 （ 或 ） 描述语言：当 从 左（右）侧趋于 时， 无限趋近于某个常数 ． “ ”语言： ， ，对任意的 （ ），有 ． 3. 无穷小和无穷大：若 ，则称在 过程中， 是无穷小量； 若 ，则称在 过程中， 是无穷大量； 注1 极限的存在与否以及极限的大小和函数在该点的情况（是否有定义和函数值大小）无关； 注2 无穷小是一个变量，但0是无穷小．于是若 是无穷小量， 未必是无穷大量。 二 基本结论 1. 函数极限性质：唯一性；局部有界性；局部保号性． 2. 函数极限存在充要条件：左右极限都存在且相等（主要用于分段函数）． 3. 夹逼法则：若 ，且 ，则 ． 4. 数列极限运算法则：设 ， ，那么 （1） ； （2） ； （3） （ ）； （4） ； （5） 是有界量； ，则 ； （6）替换原理：设 ， ，则 注 等价无穷小的替换必须是商或积的形式． （7）罗比达法则：若 和 同时趋于0或无穷， 存在，则 ． 5. 两个重要极限：当 时， ，则 ； ． 三 基本思想 函数极限有七种的未定式（不确定型）： ； ； ； ； ； ； ． 对计算各种极限的常规方法： 1. 对于 和 型的极限，运用罗比达法则（或有理化） 2. 对于 型的极限可以转化为 或 型；再运用罗比达法则 3. 对于 型可以通过通分、有理化、倒变换，化成 或 形式，运用罗比达法则 4. 对于 ，最好利用极限公式 , 即 ；然后求指数部分的极限； 5. 对于 ，利用恒等变形公式 ， ， 然后求指数部分的极限． 求极限的基本原则：替换、先算、性质． （1）充分运用等价无穷小替换（能替换则替换） 常用的等价无穷小公式：当 时 1. ； 2. ； 3. （ ）； 4. ； 5. ． 关于公式几点要说明的是： （I）若 ，则上述公式的 可以换成 ．例如 ． （II）等价替换部分和其余部分一定是积或商的形式：例如 是不能将 和 分别替换为 ，因为 和 和其余部分不是积或商的形式． （2）计算非零的极限（能先算则先算）． 例如 （3）和、差、积和商的极限等于极限的和、差、积和商． 四 基本方法 （1）有理化：含有根式时，考虑分子或分母有理化； （2）罗比达法则：当极限型是 或 时，运用罗比达法则后有更简单的极限形式，考虑罗比达法则； （3）极限公式：两个重要公式和等价无穷小的替换公式； （4）夹逼法则：当极限型不是很明确时，考虑放缩，应用夹逼法则； （5）泰勒公式：当无法用罗比达法则（应用后比原来还复杂），也无法有理化，考虑泰勒公式展开． 例1 计算下列极限 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 例2 计算 解 （方法1）分子和分母有理化 ． （方法2）化1法：（此方法避免有理化的麻烦) ． 例3 计算 解 分子有理化，分母等价无穷小替换，得到 例4 计算 解 利用无穷小的等价替换和极限的性质 . 例5 计算 解 未定式 ，做恒等变换 例6计算 解 未定式 型，利用两个重要极限公式，有 例7 计算 解 未定式 型，想办法转化为 或 型．作倒变换 . 例8​ 计算 解 化1法： 。 练习1.2 计算下列各式的极限： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ； （11） ； （12） （ 表示 的最大整数部分，提示：夹逼法则）． 1.3函数的连续性 一 基本概念：连续，左连续，右连续，连续点，间断点，间断点分类 1. 连续：这点的极限等于这点的函数值，即 ， 连续点； 2. 左连续：这点的左极限等于这点的函数值，即 ， 左连续点； 3. 右连续：这点的右极限等于这点的函数值，即 ， 右连续点； 4. 不连续点叫做间断点 二 基本结论 1 函数在一点连续的充要条件：左右极限都存在且相等，即 2​ 一切初等函数在定义区间内都是连续的．定义区间：定义域内的区间． 3​ 连续函数性质：函数 和 在点 ，则它们的和、差、积、商（分母函数 值不为零）和复合函数在点 都连续． 4​ 闭区间连续函数性质：有界性，最值性，介值性，零点定理 三 基本方法 讨论函数连续性以及求间断点的基本方法： 讨论函数的连续性的一般要求是： （1）指出连续区间； （2）求出间断点，并指出类型（分类）． 求间断点具体方法： 1.​ 无定义点一定是间断点，是哪类间断点需要通过求极限或左右极限来确定． 2. 分段函数的分段点可能是间断点．分段点是否为间断点，以及是哪类间断点，同样需要通过求极限或左右极限来确定． 例1（教材75页10题）设 ， 求 的间断点，并说明间断点所属类型． 解 一个分段点 和一个无定义的点 ．由于 ； ． 所以 在 的左右极限都存在但不等，是跳跃间断点． 是无穷间断点。 例2 讨论函数 的连续性，若有间断点，判断其类型． 解 求函数 的解析式 所以 分段点为 和 ．显然 ， ； ， ． 于是 在区间 上连续，在 和 都是跳跃间断点． 例3 求函数 的间断点，并指出类型 解 无定义点： 当 时， ，由 得到 当 时， 得到 ，解得 ． 所以函数 在 是无定义点，当然是间断点． 分段函数的分段点：0是分段点． 当 时， ，即是无穷间断点； 当 时， ，是可去间断点； 当 时， 不存在，震荡间断点； 当 时， ， ， 所以是跳跃间断点． 练习1.3 1. 讨论函数 的连续性． 2. 讨论函数 的连续性． 3. 讨论函数 的连续性． 4. 讨论函数 的连续性． 5. 求函数 的间断点，并指出间断点的类型． 1.4 关于极限、连续的常见题型 题型1 变限积分函数的极限 基本原理：设 在 上连续，则变上限积分的函数 在 可导，并且 ． 推论：设 连续， 与 可导，则变限积分函数 可导，且 ． 注 在求导时，变限积分函数的被积函数不能含有变量 ，如果含有变量 可以通过下面几种变换方法： 1. 提取： （两个函数的积）； 2. 拆项： ； 3. 换元： ． 例1 求下列变限积分函数的导数（ 为连续函数） （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 例2 求极限 解 应用罗比达法则， ． 例3 求极限 解 注 变化的目的就是去掉积分号，变成初等函数，所以将 放到分母上． 题型2 极限中未知常数的确定 基本思想：建立等式（含有未知常数的方程或方程组） 具体方法： 1. 如果极限表示为分式的形式，即 ，则有若 ，则 从而建立一个等式；如还需建立等式，可以将一个常数代入等式中，确定另外一个常数；或用罗比达法则，出现新的极限等式，即有 ，再利用这个思想方法． 2. 如果极限表示为积的形式，即 ，则若 ，则 从而建立一个等式． 3 如果给出其他条件，如连续，利用这些条件仍可建立等式：左右极限相等都等于函数值． 例4 已知 ，求常数 的值 解 将极限变形，有 ． 当 时， ，则有 ．于是有 ， 所以 ． 例5 若 ，求 值 解 因为 ， 当 时，分子的极限为0，分母的极限为 ，即 ．从而有 ． 所以 ，解得 ． 例6 设 是连续函数，求 的值 解 当 时， ；当 时， ；当 时， ，当 时， ；于是函数 的解析式是： 利用连续定义：左右极限都存在并且相等，于是有 ， 因此有 ， ，解得 ， ． 练习1.4 1. 求下列变限积分函数的导数： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 2. 求下列变限积分函数的极限： （1） ； （2） （3） ； （4） ． 3. 求下列各式中的未知常数： （1）已知 ，求常数 ； （2）如果 ，求 值； （3）如果 ，求 值； （4）当 时， 比 是高阶无穷小，求 值； （5）已知函数 连续，求常数 ； （6）设函数 ，若 存在，求常数 的值； （7）已知 ，求常数 的值； 2（2）提示：