8.2非齐次方程的求解

WuhanWuhan UniversityUniversity 数学物理方法 Mathematical Methods in Physics 武汉大学物理科学与技术学院 第八章 分离变量法 The Method of Separation of Variables WuhanWuhan UniversityUniversity 问题的引入：问题的引入： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == == <<+= == == )3()(),(| )2(0,0 )1(00,),( 00 0 2 xuxu uu lxtxfuau ttt lxx xxtt ψϕ ?),( =txu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == == <<= == == 3xψu,xu 20u0,u 1lx0,uau 0tt0t lx0x xx 2 tt ϕ §8.1 Inhomogeneous equations -pure forced vibration §§8.2 8.2 非齐次方程非齐次方程——纯强迫振动纯强迫振动 WuhanWuhan UniversityUniversity 一、定解问题： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == == ><<+= == == )3(0,0| )2(0,0 )1(0,0,),( 00 0 2 ttt lxx xxtt uu uu tlxtxfuau 思路思路11：： 二、求解二、求解 → ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = += = = 0| 0| ),( 0 0 2 tt t xxtt u u txfuau ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = =− = = ),(| 0| 02 ττ τ xfv v vav tt t xxtt ∫= t dtxvtxu 0 );,(),( ττ §§8.2 8.2 非齐次方程非齐次方程——纯强迫振动纯强迫振动 WuhanWuhan UniversityUniversity 思路思路22：： 二、求解二、求解 §§8.2 8.2 非齐次方程非齐次方程——纯强迫振动纯强迫振动 考虑二阶非齐次的常微分方程的求解： )()()()()( AxfyxQyxpxy =+′+′′对于 )(0)()()( ByxQyxpxy =+′+′′ 若（B）有通解： )()()( 2211 xyCxyCxy g += 则由：常数变易法可令（A）有特解 )()()()()()( 2211 CxyxCxyxCxy s += 考虑齐次 将（C）式代入（A）并补充条件: ),()( 21 xCxC 和 0)()()()( 2211 =′+′ xyxCxyxC 则有： )()()()()( 2211 xfxyxCxyxC =′′+′′ 于是可求得得： )( xy s→ WuhanWuhan UniversityUniversity 二、求解二、求解 1、对应的齐次问题： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == = == 0,0| 0 2 lxx xxtt uu uau ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = =−′′ 0)( 0)0( 0 lX X XX μ l xnCxX n l n nn π πμ sin)( ,...2,1,)( 2 = =−= §§8.2 8.2 非齐次方程非齐次方程——纯强迫振动纯强迫振动 令 则可得：)()(),( tTxXtxu = WuhanWuhan UniversityUniversity ∑∞ = = 1 sin)(),( n n l xntTtxu π令 二、求解二、求解 )(tTn2、求对应的 方程的解 απαα d l ntf l tf l n ∫= 0 sin),(2)( ),(sin)]()()([ 1 2 txf l xntT l antT n nn =+″∑∞ = ππ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′ = ∑ ∑ ∞ = ∞ = 1 1 0sin)0( 0sin)0( n n n n l xnT l xnT π π )()()()( 2 tftT l antT nnn =+″ π ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =′ = 0)0( 0)0( n n T T{ §§8.2 8.2 非齐次方程非齐次方程——纯强迫振动纯强迫振动 WuhanWuhan UniversityUniversity ττπτπ dtl anf an ltT t nn ∫ −= 0 )(sin)()( 二、求解二、求解 3、有界弦（杆）的纯强迫振动的解： x l ndt l anf an ltxu n t n πττπτπ sin])(sin)([),( 1 0∑ ∫ ∞ = −= 三、小结三、小结 1、定解问题（1）～（3)的解由（5）式给出。 （4） （5） )(tTn2、求对应的 方程的解 §§8.2 8.2 非齐次方程非齐次方程——纯强迫振动纯强迫振动 WuhanWuhan UniversityUniversity 2、本征函数法：以上求解非齐次方程的方法， 显然也适用于求解带有其他齐次边界条件的各 类方程。其中主要步骤为： 三、小结三、小结 ①用分离变量法求得对应的齐次问题的本征函数。 ②将未知函数按求得的本征函数展开，其展开 系数为另一变量的函数，代入非齐次方程和初 始条件（或另一变量的边界条件），得到另一 单元函数的非齐次常微分方程的定解问题 ③用常数变易法或拉氏变换法解非齐次常微分方 程的定解问题，从而可求得原定解问题的解。此 即本征函数法。 §§8.2 8.2 非齐次方程非齐次方程——纯强迫振动纯强迫振动 WuhanWuhan UniversityUniversity 三、小结三、小结 3、对于一般的两端固定的弦的强迫振动： 使：令 ,III uuu +=⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == == += == == )(),(| 0|,0| ),( 00 0 2 xuxu uu txfuau ttt lxx xxtt ψϕ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ == == = == == )(|),(| 0|,0| 00 0 2 xuxu uu uau t I tt I lx I x I I xx I tt ψϕ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == == += == == 0|,0| 0|,0| ),( 00 0 2 t II tt II lx II x II II xx II tt uu uu txfuau §8.1 §8.2 §§8.2 8.2 非齐次方程非齐次方程——纯强迫振动纯强迫振动 WuhanWuhan UniversityUniversity 四、例题：四、例题： 求解定解问题： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = == =− = == 0| 0|,0| sin 0 0 2 t lxxxx xxt u uu tAuau ω 解：① 对应的齐次方程的本征值问题为 ⎩⎨ ⎧ =′=′ =−′′ 0)(,0)0( 0 lXX XX μ ,...2,1,0,cos)( == n l xnCxX nn π ,...2,1,0,cos)(),( 0 == ∑∞ = n l xntTtxu n n π② ,2 22 l n πμ −=→ §§8.2 8.2 非齐次方程非齐次方程——纯强迫振动纯强迫振动 WuhanWuhan UniversityUniversity ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = =+′ ∑ ∑ ∞ = ∞ = 0 0 2 0cos)0( sincos)]()()([ n n n nn l xnT tA l xntT l antT π ωππ 0, 0)0( sin)( 0 0 =⎪⎩ ⎪⎨⎧ = =′ n T tAtT ω 0, 0)0( 0)()()( 2 ≠ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+′ n T tT l antT n nn π ,...)3,2,1(0)(;)cos1()(0 ==−= ntTtAtT nωω )cos1(),( tAtxu ωω −= 四、例题：四、例题： §§8.2 8.2 非齐次方程非齐次方程——纯强迫振动纯强迫振动 WuhanWuhan UniversityUniversity 本节作业 1、习题 8.2: 2；3(4); )()()()( 2 tftT l antT nnn =+″ π ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =′ = 0)0( 0)0( n n T T{ 2、试用常数变易法求解常微分方程