北大附中高考数学专题复习概率与统计知识拓展

也看不懂，那怎么进行工作? 这里我们不妨举一个某省关于某工程的投资决策的实例． 某新工艺流程如投产成功可收益300万元．但投产之前，必须有小试和中试两步，每次分别需2万元和36万元．小试的成功率为0.7．如做两次小试，则成功率可提高到0.8，小试基础上的中试的成功率为0.7，如直接搞中试的成功率为0.5．于是有三种决策： (1)一小试一中试，此时工程投资获益的期望值为 (2)两小试一中试，此时期望值为 (3)有些领导急于求成，想省去小试，直接搞中试，那么期望值将是 -36＋0.5×300＝114(万元)． 显然，这时采取第二最有利．但是，如果一位领导者没有概率知识，对期望值概念一无所知，那么他对这份决策报告也许看不懂，不理解，这就很成问题了． 让我们再举一个用期望值进行决策的例子． 某投资者有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息．买股票的收益取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好(即经济衰退)．若形势好可获利40000元，若形势中等可获利10000元，若形势不好要损失20000元．如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元．又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%和20%．试问若采用某一标准，应选择哪一种方案? 下面给出采用期望标准的解法． 设 为购买股票， 为存银行， 为经济形势好， 为经济形势中等， 为经济衰退， 为三种形势的概率， 为第 种方案和第 种状态结合的结果，把它们列成一张表(称之为报偿表)，即： 从上表可以看出，如果购买股票在经济形势好 和经济形势中等 的情况下是合算的，但如果经济形势衰退 时，则采取存银行的方案比较好．因为这三种状态都有可能出现，采用期望值标准似乎是合理的．所谓期望值标准就是将各种情况下的收益分别乘以其概率之和．根据本例的数字， 和 的期望值标准分别为： 因为 ，所以 方案期望的收益比 大．按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰期望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案． 对上面的结果，有人提出疑问，购买股票方案在经济形势好和经济形势中等时获益自然是高，但若出现经济衰退，岂不损失惨重，他觉得从风险小的角度出发，无论如何也能赚进8000元，似乎存银行方案更优些．下面我们将从机会损失的角度出发，采用最小期望机会损失的标准选择最优方案，看存银行和购买股票两种方案孰优孰劣!这里的机会损失顾名思义就是指采用该方案的实际权益与采取能获得最高收益的方案时收入相比较的差额． 将问题按机会损失列表如下： 两个方案的期望机会损失分别为： 所以按最小期望机会损失的标准，还是应选择 方案． 说到这里要提另外一个问题：商业情报的价值几何? 大家知道，商场如战场，商业情报可能会挽救一个企业，也可能搞垮一个巨大的集团．于是在现代信息技术高度发达的今天，一些信息咨询公司、市场调查机构就应运而生了．他们手中有某些商品的市场供求情报、市场需求预测，如现在普通市民对VCD的需求如何，DVD大量涌入中国市场的销售前景分析，今年夏天女式服装会流行什么款式等等．如果一个市场预测机构能够对市场经济作出准确的预测，经济的决策者一般是愿意支付咨询费来获取这一信息的．如某时装公司准备明年夏天的上市女装，而一家信息公司经过市场调查对明年夏天女装流行款式有绝对的把握，时装公司是选择盲目生产还是瞄准时机而上呢?显然是后者，如果付一笔小钱就能赚大钱，何乐而不为呢? 这基本上道出了商业情报的价值，说白了就是：我付的咨询费应该小于或等于我能获取的利润．超过了能获取利润的价值的信息是不可取的．那么，从理论上讲，按期望标准，商业情报价值理论上到底是多少呢?以上述10万元钱的投资方案为例，如果知道准确的市场信息，总能选择最优的组合状态，即(40000×0.3＋10000×0.5＋8000×0.2)－13000＝5600(元)． 7．为什么要去掉一个最高分和一个最低分？ 在我们收看各种体育比赛时，当一个运动员表演完毕后，先由10个(或若干个)评委亮分，裁判长用这10个数据判分时，总要去掉最高分和最低分，再用其余的8个数据的平均值作为该演员的最后得分．现在这已是人们的常识了． 这一常识背后的数学就是数据处理中的代表数问题． 算术平均数是最常用的技巧，在我国也是最普及的数学知识之一．任何一个干部和工人，至少都懂得平均数和百分比这两个概念．“我厂工人平均工资是多少，这次有百分之几的人可以加工资．”这类话人人都能懂．学生的成绩用总分来衡量，也会用总平均来衡量．比较两班学生的某科成绩，也用各班该科得分数的平均数作为衡量标准．至此，人们将平均值奉为至宝，似乎是金科玉律、无可更改的科学定则． 实际上不尽然，用算术平均数来作为代表数，有两个缺点：一是容易受异常值的影响；二是计算比较复杂，不能一眼看出．前面所说的去掉最高分和最低分就是为了避免第一个缺点．让我们看一个极端的例子．如果一个班级有30个学生，其中两个学生逃学旷课，数学考试只得2分和10分．此外，有5个学生得90分，22个得80分，1个得78分．此时该班数学成绩的平均分是： 确实，如以76.67分作为该班平均分，太受那两个得2分和10分的同学牵连了．结果不能反映大多数人的真实状况．从直观上看，应在80分或80分以上才对．于是我们就去掉一个最低分，总平均约是 分；如果去掉两个最低分，总平均约是 分．这似乎比较符合实际了． 但是这种去掉最高分或最低分的方法，在计算全班总成绩时未免有“弄虚作假”之嫌．明明是本班学生，为何不计入总分呢?所以去掉最高分和去掉最低分的方法，不见得都合适．上述的以平均数作为代表数，由于异常值的影响往往不能反映中等水平，一般以为的平均数就是中等水平，乃是误解．上述30个学生的数学成绩中，总平均约是76.67分．某同学得78分，超过平均数，似乎该是“中上”水平了，其实他是倒数第三名! 那么我们用什么办法来刻画“中等水平”呢?这就是数据的中位数．其定义为：设有n个数据，将它们从小到大依次排列为 如果n是奇数，则第 项 是中位数；若n是偶数，则取第 项 和第 项 的平均值作为中位数．中位数的特征是比它大的数据个数和比它小的数据个数一样多，它恰在中间位置． 比如，在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员打分．例如：9.30，9.35，9.45，9.90．其中位数是当中两项的平均值： 这相当于去掉最低分9.30分和最高分9.90而得出的平均分，体操比赛规定这样给分，就避免了过高分数9.90的影响，同时9.40分处于四个裁判分的中间位数，不偏不倚，十分公正． 在上面的30个学生的数学成绩中，若依大小排列后，第15位和第16位都是80分，所以中位数就是80分．那么78分低于此数，当然是中下水平无疑了． 例如若一个生产小组有15个工人，每人每天生产某零件数目是6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，11，12，12，17，18．如以平均数作为标准日产量则是 .若取中位数则是第8个数字9．比9大的有7个人，比9小的也有7个人．以9为标准日产量，则有半数人可超产．管理者若希望多数人超产，则应定得较中位数低些；若希望少数人超产，则应定得比中位数大一些．这些都是中位数提供的信息． 众数也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次数最多的那个数据．例如，全班30人所穿鞋子尺寸为：33号的5人，34号的6人，35号的15人，36号的3人和37号的1人．如取平均数得34.63，此数没多大意义，鞋厂不生产34.63号码的鞋．如取众数，则为35号．该班穿35号鞋的人最多．通常评“最佳”、“最受欢迎”、“最畅销”等往往都和众数有关系． 以上三种代表数各有优缺点，也各有各的用处．各人从不同的角度出发会选取不同的代表数． 比如，美国某厂职工的月工资数统计如下： 月工资数(美元) 得此工资的人数(人) 10000 1(总经理) 8000 2(副总经理) 5000 2(助理) 2000 5 1000 12 900 18 800 23 700 5 500 2 如何来选取该厂的月工资代表数呢?经计算，平均值为1387美元，中位数为900美元，众数为800美元．工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高工资来提高平均数，故采用1387美元．工会领导人则不同意，主张用众数800美元(职工中以拿每月800美元的人最多)．而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求对策． 我们常说，“胸中有数”，但是究竟有些什么数，怎样才能有合适的数，确实需要使用一些数据处理的知识才能做到合理、有效和准确．这里所说的代表数仅是其中简单的一例，现代数学的思想就在我们的周围，就在普通的生活中! 8．什么叫概率? 概率这个词用来表示在随机现象中某个结果或事件出现的可能性的大小．当一个试验仅能出现有限个确定的结果，且其中的每一个结果出现的可能性都相同时，可以采用概率的古典定义．在某种情况下这也是最简单的一种定义：如果在某一现象可能出现的结果集合中共含有N个元素，那么其中任何一个出现的概率被认为是 ．按照这个定义，抛硬币的试验中被认为出现正面与出现反面的可能性相同，因而出现正面的概率是 ． 更一般地，我们可以选定一个由m个可能结果组成的子集(通常称为事件)，并来求在一次试验中出现属于此事件的某一结果的概率是多少．一个事件的概率，是出现组成这个事件的可能结果的概率之和．在具有等可能性的场合，这个概率是 ．例如，从含有4张A的54张扑克牌中随机抽取一张，正好抽出A的概率是多少?我们假定在这54张牌中，每一张被抽到的可能性都相同，那么事件“抽中A”由54个等可能结果中的4个组成，因此抽到A的概率是 在上面的概率定义的应用过程中有时会遇到一些麻烦．因为有多少种可能的结果，或者怎样才算是等可能的结果不总是显然的．例如，你怎么知道从一组扑克牌中任意抽出一张是等可能的呢?也许洗牌不是很充分，或是某张扑克有点毛病(例如，比其他牌稍大)，这就使它更可能被抽到．在掷硬币的试验中，也许出现正面的概率比出现反面的概率稍大一点．事实上，为了使用“等可能”的概念，难免会出现某些争议，在实践中，我们必须通过直观的分析来说明理由．我们从直观上相信，任何一张牌被抽取的可能性相同，硬币的任何一面出现的可能性相等．有时我们的直觉会发生错误，但通常都是有帮助的．概率的古典定义的局限性在于只有假定了所有的结果具有等可能性时，才能应用它．然而概率的语言和思想方法在许多不属于这种类型的场合也应该是适用的．因此我们现在更普遍地来用如下统计概率定义：如果某个试验在相同的条件下重复进行多次，则事件E的概率P是事件E出现的次数与试验次数之商所趋向的那个值．例如，为了确定所抛掷的硬币出现正面向上的概率，我们可尽可能多地抛掷硬币，并记录出现正面向上的次数．如果大约有一半的试验结果是出现正面，我们就断定在抛掷硬币时，出现正面向上的概率是 当然，运用上述概念也存在实际的困难．比如多少次才算“多次”呢?在此“多次”中必须出现多少次才能说“约有一半”的试验出现正面呢?假定我们正在研究一个不能重复的现象，那么，根据这个定义，可否研究诸如明天下雨的概率?或下周球赛中A队战胜B队的概率这类问题呢?我们还可以考虑其他的概率定义．比如这个定义：概率是人们对某个特殊事件将会发生的相信程度的一种度量．它称为个人信度定义，采用个人信度定义时，不同的人对同一事件或结果发生的概率的推断有可能不相同，因此这样定义方法并不普遍采用． 采用概率的古典定义和统计定义时，所能得到的概率的最大值是多少?由于事件是试验结果集合的子集，包含在事件中的结果数必小于或者等于可能出现的试验结果数，因此其概率不可能大于1．可能出现的最小概率是多少?假定P是某个试验中某个事件出现的概率，那么，0≤P≤1． 9.什么叫样本空间? 当我们掷一枚硬币或一个骰子时，很容易列出所有可能的试验结果．然而，当掷几个骰子时，要列出它的全部可能结果就很麻烦了，并且还有许多试验，它的可能结果是如此之多，以致于我们不可能将所有结果全部列出．因此需要建立一种描述试验结果集合的系统方法． 如图1-16a所示，该图表示我们掷两个骰子的所有可能结果，即集合S，此处S＝{（x，y）|x和y是整数，1≤x≤6，1≤y≤6}．图1-16b表示：“总数出现四点”这个事件；图1-16c表示：“总数出现七点”这个事件；图1-16d表示：“同时出现四点”这个事件． 上面这种类型的图在研究概率问题时用处很大，在研究概率问题的初期被普遍采用，它在描述试验结果时使用了“点”和“空间”这样的术语，并被沿用至今．一个试验的样本空间是该试验所有结果的一个集合，其中每一个试验结果正好对应这个集合的一个元素．样本点则用来指样本空间中的一个元素．事件指样本空间的子集． 对于掷一个骰子的试验来说，如果D＝{1，2，3，4，5，6}，那么D是一个样本空间，而集合{1，2，3，4，5}就不是样本空间，因为试验结果“6”在集合中没有任何元素与之对应．同样，{1，2，3，4，5，6，7}也不是该试验的样本空间，因为集合中的元素“7”不对应试验中的任何结果． 有时把一些可区别的结果归为一个样本点是有好处的．掷一个骰子的试验可以导出仅由两个样本点“奇数”和“偶数”组成的样本空间．由这两个结果组成的集合是一个样本空间，因为每次掷骰子的结果都正好对应这个集合中的一个元素．注意，这个样本空间的样本点“奇数”把可区别的结果1，3，5并成了一个样本点．我们也能把可区别的结果3和6并成一个样本点“能被3整除的数”．并用{能被3整除的数，不能被3整除的数}作为相应的样本空间．概率理论中允许这样的分组是很重要的．例如，统计学家可能希望处理仅由样本点“高中生”、“初中生”和“小学生”所组成的样本空间，而不是处理他所考察的所有不同的人所组成的样本空间． 开始时，明智的作法是先不将结果分类，而是把每个样本点的可能有的特征表示出来．在掷两个骰子时，即使掷出的点数相同，我们还是设想它们之中一个是红的，一个是绿的，并且以画在图上的36个点为样本空间，不然的话就可能引起误会，误认为“二个一点”和“点数三点”出现的可能性是一样的，或者“总数三点”和“总数七点”出现的可能性是一样的． 在掷一个骰子的试验中，如果取样本空间为{1，2，3，4，5，6}，且骰子是均匀的，那么，每个样本点出现的概率是 (这样就定义了“均匀”)．当我们掷二个骰子时，一个样本空间是笛卡尔积 ，这里 和 都等于{1，2，3，4，5，6}．正如我们已经看到的，这个样本空间有36个点，分别为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．如果骰子是均匀的，那么每个样本点出现的概率是 ，当掷三个骰子时，其样本空间是 ，这里 都等于{1，2，3，4，5，6}，那么这个样本空间就有6×6×6＝216个样本点．如果骰子是均匀的，则每个样本点出现的概率是 . 设E表示事件“两个骰子掷出的点数之和为7”．这样，E＝{(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)}．如果求“骰子掷出的点数之和为7”的概率是多少这个问题了．它是事件E中所包含的元素的概率之和，即 或 ． 我们来研究掷三枚硬币的试验．对于这个试验，可以指出两种不同的样本空间，在样本空间{(正正正)，(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)，(反反反)}中，每个样本点的概率是多少?如果事件E是{(正正反)，(正反正)，(反正正)}，那么事件正的概率是多少?掷三枚硬币，得到两个正面，一个反面(不计顺序)的概率是多少? 对于上述问题，我们的答案是：(1)每个样本点都具有相同的概率；(2)每个样本点的概率为 ；(3)事件E的概率是 ；(4)得到两个正面，一个反面(不计顺序)的概率为 ．其中的原因请读者自己思考． 如果说在一个样本空间中，所有样本点都是等可能的，那么就可以确定任何指定事件的概率了．事实上，只要用样本空间的全部样本点数去除属于该事件的样本点数即可．例如，在上面掷三枚硬币的样本空间中，8个样本点看来是等可能的．因此，为了求出两个正面，一个反面的概率，我们要算出属于此事件的样本点数，以及它被样本空间的所有样本点数除所得的商．这样求得的该事件的概率是 ．