不同的公理 不同的几何

不同的公理 不同的几何 彭翕成 pxc417@126.com 武汉 华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 430079 一位语文老师在博客上写反思。他在教《自相矛盾》这则寓言时，有学生站起来反驳：有这么傻的人么？太不可信了吧。面对这样大胆质疑的学生，这位老师不知如何处理为好！ 现在的学生比以前更敢想敢做了。如何化解这些“突发事件”，很值得研究。对于这个自相矛盾的问，笔者认为可以这样处理。先来看看生活中的一段对话： 先生，要手机么？最新款的3G智能手机，才300块，绝对超值！ 看起来还不错。但不知道能用多久，会不会一下子就坏了呢？ 那哪会呢？我在这卖手机已经三年了。出问题随时可以来退换。 这么好啊，那下次来买。我现在赶时间。 何必下次呢？别走啊！下次你到哪找我去？！ 寓言大多是为了表达某个观点而虚构的故事，譬如刻舟求剑，南辕北辙，掩耳盗铃等。但虚构的故事却反映了社会的现实。这个卖手机的人和那个卖矛、盾的人，本质上有什么区别呢？ 没区别。但问题是：同样的道理，不同的叙述形式，结果可能大不相同。很可能学生能够接受这个卖手机的故事，却不能接受卖矛、盾的故事。教书讲道理如此，写书也需要注意这一点。 笔者与张景中先生合著的新书《数学哲学》（2010年北师大出版社出版）中的第二章，谈到基于不同的公理，可得到不同数学体系。具体而言，是讨论平行公设和非欧几何。该书出版后，笔者收到读者来信，说是对非欧几何很不了解，所以对这一章理解不好，能否再解释一下？ 《数学哲学》是挑选了数学发展中的重大事件来讨论分析，非欧几何理应在此出现。但既然读者提意见，我们可以换个例子来讨论。 欧式几何的传统描述是一个公理系统，是基于五条不加证明的公设。而在现代数学中，构造欧式几何通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧式几何（或非欧几何）中的公理。 先定义“点的集合”为实数对 的集合。给定两个点 和 ，定义距离为 ，此为“欧氏度量”。其他概念，如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如与点A和B共线的点P集合可定义为满足 或 的元素。 而其中距离的定义，需要满足距离公理： 1）​ 非负性：任两点A和B，都有一非负实数|AB|与之对应。该实数就叫做点A到点B的距离。当且仅当这两点重合时，距离|AB|＝0。 2）​ 对称性：|AB|＝|BA|。 3）​ 三角不等式：对于任意三点A，B和C，有|AC|≤|AB|+|BC|。 显然，欧式几何中对距离的定义，是符合距离公理的。但符合距离公理的“距离定义”却不是唯一的。譬如将欧式距离乘个系数2，即定义距离为 ，也满足距离公理的三条规则。但你若问这样的新定义有什么意义，我也回答不上来。 若定义距离为 ，这显然符合距离公理的三条规则，且有现实意义。我们这就进入了一种新的几何学：出租车几何。 假设图1是某城市的地图，阴影方块表示建筑物，其余则是纵贯横穿的道路。由于现在城市建设有严格规划，所以街道才可能齐整，这有助于交通方便。若设左上方为原点，则A处为 ，B处为 ，从A处打的去B处，距离多远？是 么？不是，因为出租车不能横穿建筑物，实际我们要走的距离是 。从A到B有很多种走法，但不管如何走，都要向南走3，向西走2。 图1 图2 在出租车几何学中，圆特别有意思。如果我们还把圆定义为“到某定点的距离为定值的点的集合”的话，那么图2就表示半径为2的圆。因为其周界上的每一点P到定点O的“距离”都是2。 出租车几何和欧式几何有着很多不一样的性质。如果默认两种几何对角度的定义一致的话，那么在出租车几何中就会出现很多“怪现象”，图3中的△ABC，AB=AC，但 。    图3 出租车几何有很多有趣古怪的性质，在此我们就不多介绍了。有兴趣的读者可以以taxicab geometry为关键词，用google搜索可得到很多相关信息。 欧氏几何是数学史上第一个公理化的知识系统，而当人们认识到还有其它几何体系之后，意味着数学真理性的终结。数学家可以探索任何可能的问题，建构任何可能的公理体系，理论数学从此得到空前的发展。数学经历了一个自由的新生，它不再被束缚于直接从现实世界抽象而得的概念，而有了探索人类心智的创造的自由。 人们可以基于不同的公理体系，创造出各种各样的数学。基于不同的距离定义，就能创造出不同的几何。这说明最初规则的制定太重要了。就好比：石桌面上刻着纵横相错的网格，旁边摆放着黑白两种颜色的棋子。你认为这一定是为下围棋准备的么？未必，可以下围棋，还可以下五子棋。 围棋和五子棋最大的区别并不在于棋具，而是走棋的规则。同样的棋具，人们可以根据自己的兴趣爱好选择规则，进入完全不同的棋类世界。人人都可以发明创造新的棋类游戏，规则的制定，当然可以由你说了算。但你发明的新游戏，是否吸引人,有人愿意玩，这可得由社会实践来检验了。 所以，数学家作为社会中的人，也要思考所创造的数学体系能否对社会产生作用。从这个角度而言，公理也就不完全是人们任意的约定了。 最后，笔者和大家分享一段读书心得。一般的中学教材都会选用“在所有连结两点的线中，线段最短”这样一条公理。有人调侃道：这条公理，连狗都知道。不信的话，你扔个骨头出去，看看狗会不会跑弯路呢？ 狗知道，人却未必能够说得清楚。在张景中先生的《几何新方法和新体系》（该书对几何体系的构造和比较做了详细的论述，提出了崭新的观点）中，对此公理提出的质疑值得我们思考。书中写道： 这条公理本是古希腊数学家和物理学家阿基米德所提出来的．但它在逻辑上有小漏洞．因为既然说线段最短，那就默认了还有其它的线来连接这两个点．还默认了其它的线有长度，才能比较长短．但所谓其它的线是什么？它们的长度是什么？都是未有定义的．既无定义，何以能比较长短？实际上，什么叫连接两点的线，什么叫一般线的长度，都是相当复杂的问题，不可能用这么一条公理解决．比较合理的做法，是由线段定义折线及折线的长，由折线定义一般曲线的长，根据定义即可证明线段最短．