Hopf余模余代数的对偶定理

科 学 通 报 第 卷 第 期 哭科年 月 余模余代数的对偶定理 王栓宏 复旦大学研究所 , 上海 〕又 关健词 代数 、 余模余代数 、 时模余代数 、 劝 余积 和 在文献 中讨论了 模代数侧 的对偶定理 此定理概括了 一 代数的交叉余积的对偶 早在 年 , 在文献【 中给出了 模代数的 对偶概念 余模余代数 , 并讨论了其性质 但关于 余模余代数 的对偶定理至今未 见 , 它具有与文献【 同等的意义 本文将通过定义左 右 余积 , 在 代数 有限维 时 , 给出了这一对偶定理 若 在 尔 上的右余作用为右强余内的 , 那么 “ ⑧ 万 我们始终设 为域 , 所涉及的 代数 、 余代数 、 代数 、 张量积等都是指 上的 采用文 献口」和文献〔 的符号记法 设 为双代数 、 , △ , 为余代数 , 若左 右 一 模结构映射为 杯 ⑧ 和 沙李 ⑧ , ⑧ 一 , 因 一 和左 右 一 余模结构映射为 丙 ⑧ 和 尔 一 ⑧ , 一工 ‘, ,因 必 , 一艺 ‘一 , ,因 必 旧 闷 那么按文献【 不难写出左 右 一 模余代数和左 右 一 余模余代数 定义 设 为 代数 , 为左 右 一 余模余代数 称 在 上的余作用为左 右 余内的 , 如果存在卷积可逆 。。 , , 使得成立 ‘ 艺。 户‘ ’ 矽 。印若 一艺 。 归 ⑧。 沁一 ’ , ‘ 如果余作用是左作用且 。 为余代数同态 , 称此作用为左强余 内的 同 样地 , 我们有右强余内作用 一 ’为余代数同态时 假设 为左 一 余模余代数 , 为左 ·模余代数 , 我们给出 定义 一个左 余积 么 是个余代数 , 作为向量空间为 ⑧ , 其上余乘和余单 位分别为 入。 、 。 ‘ 台 艺 ⑧ 岁一丸⑧ 昌⑧布 乓 、 亦 ‘ 允 一 介 。汹 , 任 , 在 旧间 直接验证知 么 , 压, 劝 为余代数 , 且 当 一 时 , 、么 是通常的半直积 、 同样地 , 设 为 代数 , 为右 一 余模余代数 , 为右 模余代数 我们给出 定义 一个右 余积 忍 是个余代数 , 作为向量空间为 ⑧ , 其上的余乘和余 卯 习 收稿 , 斗 叼 收修改稿 第 期 科 学 通 报 单位分别是 , , 任 , 压。、扣 ‘ 恐 一艺 , 因芍 ”因吼行 喂因蝙 , 飞 、 亦 “ 加 二 你 旧 直接验证知 恐 是个余代数 例 若 为有限维 代数 , 由文献【 知 为 气余模余代数 模余代数 , 那么可形成右 余积 毖 见例 定义 称 为 一双余模余代数 , 如果 为 一双余模且既是左 是右 一余模余代数 如果 为左 一 余 一 余模余代数 , 又 引理 设 为 一双余模余代数 , 为左 一模余代数 , 则 青 是右 ·余模余代数 证 令 戍嗦。 ⑧乃印户⑧ , 首先不难验证 库喃 。 为使 ‘ 么 构成右 一 余模的结构 映射 又 一‘因 , ’⑧ 匆一 ’⑧殉 一’ 。店 、 、。因 , 艺、 、。 入 ⑧ 二 艺 布’ 嗯一丸 ⑧ 署一 ”因丸⑧嗯 黔 归闭 一 艺 布 ’叼 忘’ 一丸⑧临’②因蝙⑧ 留留 口啊 一 艺 ‘林”⑧临’黝一内户临‘肋 而 尹 旧闭 二拯⑧ 库、和 因办 。‘ , 在 第二等式由 为 一双余模得 第三式由 为右 一 余模余代数 引理得证 定义 称 为左 一双重模余代数 如果 为左 余模余代数又为左 一 模余代 数 , 且 ‘ , 农 有下式成立 艺 一刃 因 一内② 艺 一 , ⑧ 吸 汤一力 引理 证 引理 余代数 证 引理 设 为左 刁叮一 双重模余代数 , 为左 设 价。, 。二 沙石⑧ , 直接验证即可 间 模余代数 , 则 会 为左 一 模余代数 设 为左 一 余模余代数 , 为左 祖叮 双重模余代数 , 则 台 为左 一 余模 令 浅 、和二 ⑧ 因 砂, 直接验证即可 由引理 和引理 易得到 设 为左 二余模余代数 , 为左 一 双重模余代数 , 且 为左 模余代 数 , 那么有 自然同构 么 么“ 么 台习 引理 设 为左 一 余模余代数又为右 模余代数 , 为左 一 模余代数又为右 余模余代数 , 且满足 , 丫 , 任 艺 一 ”⑧卜尹 艺 一 因 , 间 那么有 自然余代数同构 井 ” 恐 例 设 为有限维 代数 , 且对偶基以 , 甘 , 关 , 冲 , 设 为左 · 余模余 代数 , 为左 ·模余代数 , 那么 为右 气模余代数 , 右 气 模作用为 一 艺 吻 酬 , 丫 , , 为右 一余模余代数 , 右 气余模作用为 , 丫 , 凡的 艺以一内⑧ 科 学 通 报 第 卷 直接验证知 工 一 ’⑧ 艺认一内因。一甘 艺 一 尹 , 再 由引理 知 、么 二 、吞 云 旧 引理 设 是左 一 模余代数 , 为左 一 余模余代数 使 在 上的余作用为左强 余内的 , 那么作为余代数 方 ” 众 结果 为右 一 模余代数 , 为右 一 余模余代数 使 得 在 上的作用为右强余内作用 , 那么作为余代数 旁 “ ⑧ 证 我们只证前部分 , 后部分类似可证 令 杯 “ 台 因 , 切 ‘ 么 二艺 。 ‘ ’ 归 勾一‘和 价 ⑧ 井 , 诊 ⑧ 一艺 , ⑧ 叼一 其中 任 , , 丫 , , 归 “ 一 ’为 。 的卷积逆 显然 华 是双射 、 逆映射为 沙 下面只要验证 中 为余代数同态 , 丫 , 亦 , 中 伞 入 、 亦 么 艺 。一 ’ 矽一峭一心办⑧ 品 。 一 ’ 品一叼 艺 一 ’ 动暇 渤一喻因喂⑧。一 ’ 渤一丸 一 艺 ⑧“ 一 ’ 一九 。 ⑧。一 ’咐一布 ⑧ 因 体。 ⑧△砂诚。 夯办 又显然有 。 。脚二萦 因此 中 为余代数同构 , 这就证明了引理 文献【 中 , 我们知道 为左 , 模余代数 有限维时 , 也是左 气 余模余代数 , 其作 用 石 ⑧ 定义为 丙 , ⑧户 二 匆 , 丫厂〔 , , 不难验证 又为左 一 双重模余代数 , 若令 丙 定义为 丙 , 网必 二 护 , 户 , 当 有限维时 , 在 璐 和 丙 作用下 , 为 一 双余模余代数 也可证 为右 一双重模余代数 若又设 为左 一 余模余代数 , 那么 有限维时 , 为左 气 模余代数 由引理 有 青 方 二 台 台 , 这里 吞 为左 气余模余代数的结构映射由引理 给 出 条 为左 一 模余代数的结 构映射由引理 给出 又由例 知 , 为右 气模代数 , 铆 为右 气余模余代数 , 且有 方 ‘方 二 音 会 于是由 和 及引理 , 我们有以下主要结果 定理 设 是有限维 代数 , 为左 一 余模余代数 , 余作用为右强余内的 , 那么 “ ⑧ 毋 如果 在 允万 上的右 致谢 , 本文得到了导师许永华教授的悉心指导 , 在此谨谢意 参 考 文 献 叭吧 」 , , , 馏以 , 资加 , 男 , 佑 一 , 从 ,对 , 川尹吞份 , 叙拍 , , , , 川口己叭 , , 一