nullnull第 2 章极 限 与 连 续 主 讲:孙 平null教学目的:
⒈知道极限概念(数列极限、函数极限、左右极限),知道极限存在的充分必要条件。
⒉了解无穷小量概念,了解无穷小量与无穷大量的关系,知道无穷小量的性质,如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量,即
⒊掌握极限的四则运算法则,掌握两个重要极限,掌握求极限的一般方法。
⒋了解函数在一点连续的概念,知道左连续和右连续的概念,知道函数在一点间断的概念,会求函数的间断点。 null教学重点:
1、函数极限(特别是“ ”、“ ”型)
2、两个重要极限的计算;
3、无穷大、无穷小的概念、性质和关系。
教学难点:
点连续及间断点的判断。 null一、主要内容归纳:(一)函数极限 1、数列极限
按一定规律排列的一串数
称为数列,记为 。第n项称为数列的通项。数列可看作是定义在正整数集合上的函数,即 (n=1,2,3……)null讨论n无限增大时 的变化趋势: null数列极限定义:
一数列 ,若当n无限增大时, 无限趋近某个固定常数A,则称当n趋于无穷时,数列 以A为极限。
记为
null2、函数极限 定义:函数 ,若当 趋近于○时,函数 趋近一个确定的常数A,则称当 趋于○时,函数 以A为极限。记为注意:1、以上是一个符号系统,构成极限定义,
缺一不可;
2、极限过程x→○是指
x→x0, x→x0 -, x→x0 +, x→∞,
x→+∞, x→-∞中的一种。nullnull3、极限存在的充要条件 null例、设函数 求x=0点的左右极限,并判断在x=0点是否存在极限 因为在x=0处左右极限不相等,所以在x=0处极限不存在 解: null4、无穷小量与无穷大量 以零为极限的称为无穷小量;
绝对值越来越大且趋于正无穷大的变量称为无穷大量。
无穷小量与无穷大量的关系是: nullnull无穷小量的重要性质: 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 如 当 时, 是无穷小量 null5、极限的四则运算 对某一极限过程x→○,
若limu=A,limv=B,则有:
1、lim(u±v) =limu±limv=A±B;
2、lim(u·v) =limu·limv=AB
若v=c (c是常量),有lim(cu) =climu=cA;
3、
推论:①、limun=(limu)n =An (n为自然数)
②、lim (n为自然数)
③、limC=C (C是常数)nullnullnullnullnull 两个重要极限推广形式 或null 注:这里教材中相应公式原来x的位置,统统被“()”取代,它可以是任一有意义的函数,这时的公式实际比原公式应用更广。并给学者提供了想象空间,不具体给出函数形式。 nullnullnullnullnull(二)连续与间断 1、点连续 在点连续的这一定义中,以下三个条件要同时满足:
⑴、f(x)在点x0的某一邻域有定义;
⑵、f(x)在点x0有极限;
⑶、f(x)在点x0的极限值等于函数值。 nullnull2、间断点 函数的不连续点称为间断点例:求下列函数的间断点 1、2、3、null
解:1、x=1 (无定义)
2、x=0(极限不存在)
3、x=0(极限值不等于函数值) null3、利用连续性求极限 由 可知 连续函数极限符号与函数符号可以交换如null (三)极限的计算方法: l 极限的四则运算法则;
l 两个重要极限;
l 函数的连续性。具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件,否则会在运算中出现错误。null 例 求下列极限 1、解:当 时分式的分子、分母的极限都不存在,不能用极限的除法法则 null2、解: 当 时分式的分子、分母的极限都为0,且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化 null 3、、解:当时分式的分子、分母的极限都为0,且分式的分子、分母均为的二次多项式,遇到此情形需先分解因式,消去极限为零的因式再用除法法则 null4、解:先进行恒等变形,在利用第2个重要极限 null5、解:利用第一个重要极限 null对照练习1、求下列极限 1、2、3、4、null对照练习1、答案 1、2、、3、 4、 e2 null