数学竞赛讲座35 最经典的奥数讲座

竞赛讲座35 竞赛讲座35 －“设而不求”的未知数 所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用． 　　例 1　 若 = = 　　　　求c十y十z的值。 　　已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来示这个连比． 　　解　 令 = ＝ ＝k则： 　　x=k(a-b)，y=k(b-c)，z=k(c-a). 　　所以x+y+z= k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)＝0． 　　说明　本例中所设的k，就是“设而不求” 的未知数． 　　例 2　 甲、乙二人在一圆形跑道上跑步，甲用 40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑，每15秒钟和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少时间? 　　分析要求乙跑完一圈需要多少时间，就必须知道他的速度V米/秒，因此可以选择V 作参数． 　　解　设乙跑完一圈需x秒，乙跑步的速度是V米/秒，根据题意，则一圈的总路程可以用vx表示，甲的速度可用 　　 表示． 　　 ∴( * 15) +15V= Vx．∵ V≠0 ， 　　∴( * 15) +15V=x．　　∴ x=24 . 　　答：乙跑完一圈需要24秒。 　　说明　这里V是"设而不求"的未知数． 　　例 3 　有一片牧场，草每天都在匀速生长 (草每天增长量相等)．如果放牧24头牛，则6 天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧 16头牛，几天可以吃完牧草. 　　解　设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a. 　　根据题意，得 　　 　　②-①，得 y=12x ④ 　　③-②，得(z-8)y=8x(2z-21). ⑤ 　　由④、⑤，得z=18。 　　答：如果放牧16头牛，则18天可以吃完牧草． 　　说明　列含参数的方程解，一般情况下应用题的答案与参数的值无关，我们可以把参数消去，从而得到应用题的答案． 第四讲 二 次 函 数 二次函数在中学数学中起着十分重要的作用，也是初等数学中遇到比较多的函数之一，形如 的函数，它的图象简单，性质易于掌握，又与二次方程、二次不等式有联系，与之相关的理论如判别式，韦达定理，求根公式等又是中学教材的重点内容，因此有必要进一步认识二次函数的性质，研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧． 二次函数 的主要性质： 定义域为 ；图象是对称轴平行于 轴（或与 轴重合）的抛物线；当 ＞0时，抛物线开口向上方，函数的值域是 ，当 （－∞, ）时, 是减函数,当 [－ ,＋∞]时， 是增函数；当 ＜0时，抛物线开口向下方，函数的值域是 ，当 （－∞, ）时, 是增函数,当 [－,＋∞）时， 是减函数．当 ＞0时，函数的图象与 轴有两个不同的交点，它们分别是（ ），（ ）； =0时，函数的图象与 轴有两个重合的交点（－ ,0）,这时也称抛物线与 轴相切, ＜0时,函数的图象与 轴没有交点． 函数 的图象是连续的．一个有用的结论是，在区间[ ]端点处的函数值异号，即 ＜0时,方程 =0在（ ）内恰有一个实根．抛物线的凸性也有一定用途， ＞0时，函数的图象是下凸形曲线，即对于任意 ，有 ≤ ； ＜0时, 函数的图象是上凸形曲线，即对于任意 ，有 ≥ 利用二次函数图象的凸性和单调性，在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免使用判别式和求根公式． 1．​ 含有参变数的二次函数 对于二次函数 ，当 、 、 固定时，此二次函数唯一确定，它的图象是一条抛物线；若 、 固定时， 可以在某个范围内变动，则它的图象可能是“一族”抛物线，对于 、 、 的不同范围和条件，得到的抛物线族具有不同的特征，如何确定这些特征，就因题而异了． 例题分析： 1．​ 集合 ={ }， ={ }， ，求实数 的取值集合． 解： 、 分别表示函数 与函数 的值域．由 ≥3知 =[3，＋∞）．而 受参数 的影响，要进行讨论． =0时， ，值域是 符合条件 ． ≠0时， = 是二次函数，如果 ＜0，该函数的值域为 ，这时 不成立．如果 ＞0时，由[3，＋∞] [ ，＋∞],得 ∴　0＜ ≤1 综上所述, 的可取值集合为{ |0≤ ≤1}。 说明：参数 的取值决定了函数 = 的类别及性质，因而对该函数的值域有影响．为了由 求出 的允许值范围，必须对参数 分情况讨论． 2．​ 考察所有可能的这样抛物线 ，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每一条这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆．证明：所有这些圆周经过一定点． 证明：设抛物线 与 轴的交点为（ ，0）、（ ，0）．由韦达定理知 ＜0 (因为 =0,则 与坐标轴只有两个不同的交点),故点（ ，0）、（ ，0）在坐标原点的两侧．又因为 ，由相交弦定理的逆定理知，点（ ，0）、（ ，0）、（0， ），（0，1）在同一个圆周上，即过抛物线与坐标轴的三个交点（ ，0）、（ ，0）、（0， ）的圆一定过定点（0，1）．于是所有的这些圆周均经过一定点（0，1）． 3．​ 抛物线 的顶点位于区域 内部或边界上，求 、 的取值范围． 解：抛物线的顶点坐标为（ ），故 ， 上式即为 、 的取值范围． 2．​ 二次函数的最值 4．​ 设 = 时，二次函数 有最大值5，二次函数 的最小值为－2，且 ＞0， + = , =25．求 的解析式和 值． 解：由题设 =5， =25， = ，所以 =30，解得 =1 （ = －17舍去）．由于 在 =1时有最大值5，故设 = 所以 = － = ，因 的最小值为－2，故 ,所以 ．从而 = ． 5．​ 已知0≤ ≤1, = , 的最小值为 ． （1）​ 用 表示 ；（2）求 的最大值及此时 的值． 解：（1）把 改写成 = ．于是知 是顶点为（ ），开口向上的抛物线．又因为 ∈[0,1],故当0＜ ≤1，即0＜ ≤2时， 的最小值为 ； 当 ＞1,即 ＞2时， 有最小值 ．于是 （2）当 ＞2时， 的值小于0，而当0＜ ≤2时， = ，它的最大值为 （当 =1时取得），故 的最大值为 ，此时 =1． 说明：对于某些在给定区间上的二次函数最值问题，往往需要把顶点和区间端点结合起来考虑． 6．​ 函数 = ， ∈[― ,1― ],该函数的最大值是25,求该函数取最大值时自变量的值． 分析：限定在区间[― ,1― ]上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况．当 可取任意实数时，二次函数 的图象是对称轴为 开口向下的抛物线， 与区间[― ,1― ]的位置关系决定了已知函数的单调状况，因此要分区间讨论． 当 ∈[― ,1― ],即 时,最大值应是 ．由 =25, 2= ,不符合 的条件．可见 ． 当 ＞1― ,即 ＞ 时，函数 = ， ∈[― ,1― ]是增函数，可见 ，解之得 = 或 = ．其中 = 不合 ＞ 的条件，舍去．可见1― =1－ =－ ． 当 ＜― ，即 ＜ 时,函数 = 是[― ,1― ]是减函数,可见 ,解之得 = 或 = ．其中 = 不合 ＜ 的条件,舍去,由此知 = ． 综上所述,当 =－ 或 = 时, 函数 有最大值25． 说明：由点 与区间[― ,1― ]的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作用．本题中虽然只是求函数取最大值时的自变量 的值，没有问 的值，但这个 值与 值有直接关系，所以要先求 再求 ． 7．​ 一幢 （＞2）层楼的公寓有一部电梯，最多能容纳 －1个人，现有 －1个学生同时在第一层楼乘电梯，他们中没有两人是住同一层楼的．电梯只能停一次．停在任意选择的一层．而对每一个学生而言，自已往下走一层感到一分不满意，而往上走一层感到2分不满意，问电梯停在哪一层，可使不满意的总分达到最小？ 解：设电梯停在第 层，则不满意的总分为 =（1＋2＋…＋ －2）＋2（1＋2＋…＋ － ）= ,所以当 = 时， 最小，其中 表示最接近于 的整数．例如 ,故当电梯停在 时，不满意总分最小． 3．​ 利用二次函数的性质 8．​ 已知方程 ，其中 ＞1，证明：方程的正根比1小，负根比 －1大． 证明：原方程整理后，得 =0，令 = ，则 是开口向上的抛物线，且 ，故此二次函数 =0有一个正根，一个负根．要证明正根比1小，只须证 ，要证明负根比 －1大，只须证 ＞0．因为 从而命题得证． 9．​ 若抛物线 与连接两点 （0，1）， （2，3）的线段（包括 、 两点）有两个相异的交点，求 的取值范围． 解：易知过两点（0，1）、（2，3）的直线方程为 ，而抛物线 与线段 有两个交点就是方程 在区间[0，2]上有两个有两个不等的实根．令 ．则 解得 的范围为 ≤ ≤－1． 说明：利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段． 10．​ 设 ，又设 是关于 的不等式组 的解集，试确定 的取值范围，使得 ． 分析：本题以二次曲线为背景，它的通法是先求不等式组的解集 ，然后再来考虑 与 的包含关系，则必然导致浩繁的讨论，但如果由数想形，构造函数，就可简捷获解． 解：设 ．要使 时，则必使 在[1，3]上的函数图象落在 轴下方，即 ； ☆ 设一元二次方程 的两个实根为 ，且 结论1． , 或 结论2． , 或 结论3． ＜0＜ 结论4． =0, ＞0 ； ＜0, ＝0 ☆ 设一元二次方程 的两个实根为 ，且 ， 为实常数． 结论1． ＜ ≤ ； 结论2． ≤ ＜ 结论3． ＜ ＜ ； 结论4．有且仅有 结论5． 结论6． 11．​ 设 ≥ ≥ ≥ ≥2，且 ＋ ＋ ≥ ，证明： 证明：令 ＝ ＋ ＋ , ,则原不等式为 ,即 =0，令 = ,则只需证明 ≤0．因 ，而 ≤ ，所以 ,从而 ＞0， 与 轴有两个不同的交点．易知这两个交点为 ，下证 ∈[ ]． ，只需证[ ] [ ],即 ,由于 ， 所以 ∈[ ]，从而必有 ≤0． 解法二：只需证明 ≤0，而 ，因此只需证 而 ， ，由 可证得 说明：通过构造二次函数，然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问题简化． 12．​ 在边长为10的正三角形 中，以如图所示的方式内接两个正方形（甲、乙两个正方形有一边相重叠，都有一边落在 上，甲有一顶点在 上，乙有一顶点在 上），试求这样内接的两个正方形面积和的最小值． 解：设甲、乙两正方形的边长分别为 ，易知 边上的四条线段之和为： ，记 ，则 ，设两正方形面积之和为 ，则有 ，当 时， 取得最小值，其最小值是 ． 13．​ 定义在 上的奇函数 ，当 ≥0时， =－ ．另一个函数 = 的定义域为[ , ],值域为[ ],其中 ≠ , 、 ≠0．在 ∈[ , ]上, = ．问:是否存在实数 ,使集合{ 恰含有两个元素? 分析：{ }是以 轴为对称轴由 = 的图象平移所形成的抛物线系．对给定的 它表示一条抛物线，条件 恰含有两个元素的意思是函数 = ， ∈[ , ]的图象与抛物线 恰有两个交点．首先要弄清楚 = ， ∈[ , ]，进而作出它的图象． 容易求出奇函数 = 在 ＜0时的解析式是 = ．即 = 函数 = 的定义域为[ , ],值域为[ ],其中 ≠ , 、 ≠0，这表明 可见 、 同号．也就是说 = ， ∈[ , ]的图象在第一或第三象限内．根据 = （ ∈[ , ]以及 的图象可知，函数 的图象如所示曲线的一部分． 值域与函数的单调状况有关，又与定义域有关．如果只考虑0＜ ＜ ＜2或－2＜ ＜ ＜0两种情况，不能准确地用, 、 表示出值域区间的端点，因此要把区间（0，2），（－2，0）再分细一些，由图中看出，当 、 ＞0时，考虑以下三种情况较好．0＜ ＜ ≤1，0＜ ＜1＜ ，1≤ ＜ ＜2． 如果0＜ ＜ ≤1，那么 ＞1．但是 ∈（0，1]时， ≤1,这与 的值域区间[ ]的右端点大于1矛盾．可见不出现0＜ ＜ ≤1的情形． 如果1≤ ＜ ＜2，由图看出 是减函数，可见 整理得 ，考虑到1≤ ＜ ＜2的条件，解之得 ． 完全类似地，考虑到－1≤ ＜ ＜0，－2＜ ＜－1＜ ＜0，－2＜ ＜ ≤－1三种情况后,可以在－2＜ ＜ ≤－1的情况下通过值域条件得出 ，这就得到了函数 对于某个 ，抛物线与函数 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此， 应当使方程 ，在[1， ]内恰有一个实数根，并且使方程 ，在[ ]内恰有一个实数根．问题归结为求 ，使 由（1）得，方程 在 内恰有一根，设 ，则 即 ，由（2）得 ，即 ，∴ ＝－2．易证，抛物线 与函数 图象恰有两个交点（―1,―1）和（ 综上所述：题目条件下的实数 ＝－2． 说明：解题过程可分为“求函数 ”，“求函数 ”，“求 ”三个阶段．求函数 的关键步骤是求 的值．运用了数形结合的方法和分类讨论的运算过程，最终把求 的问题化归到求一次方程和二次方程的一定范围内有解的问题． 可以看出，当 ∈(－2,0)时,抛物线 与函数 的图象在第一象限内有一个交点,当 ∈ 时,在第三象限内有一个交点． 第三讲 函数的图象与性质 [知识要点]： 1.​ 函数的图象：坐标为 的点的集合 称为函数 的图象，其中 是函数的定义域。 2.​ 图象变换：平移变换、对称变换 3.​ 函数性质：奇偶性、单调性、周期性 周期性：对于函数 ，如果存在一个不为零的正数 ，使得当 取定义域中的每一个数时， 总成立，那么称函数 为周期函数，正数 称为这个周期函数的周期，如果所有周期中存在最小值 ，称 为该函数的最小正周期。 [能力训练] 1．​ 作出下列函数的图象： （1） 解：（1）先作出 的图象，然后将此图象在 轴下方的部分对称地翻折到 轴的上方即可。 （2）因 是偶函数，其图象关于 轴对称，于是我们先作出 在 ≥0时的图象，然后作出它关于 轴对称图形即可。 2．​  为何实数时,方程 有四个互不相等的实数根。 解：将原方程变形为 ，设 ，作出其图象，而 是一条平行于 轴的直线，原方程有四个互不相等的实根，即直线与曲线有四个不同的交点，由图象可知， ，即 3．​ 已知 （a、b；实数）且 ，则 的值是 （ ） （1993年全国高中数学联赛试题） （A） （B） （C） 3 （D） 随a、b取不同值而取不同值 解： 是奇函数的和，为奇函数，从而 即 ， ，选（C）。 4．​ 设函数 对任一实数 满足： 且 。求证： 的根在区间 上至少有13个，且 是以10为周期的周期函数。 证明：由题设知，函数 图象关于直线 和 对称，所以 ，于是 在 上至少有两个根。 另一方面，有 ,所以 是以10为周期的周期函数，因此 的根在区间 上至少有 个要。 评述：设函数的定义域为 ，若对任意的 ，都有 （ 为常数），则函数 图象关于直线 对称。 5．​ 函数 定义在整个实数轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角 后 不变。 （1）​ 证明：方程 恰有一个解， （2）​ 试举一个具有上述性质的函数的例子。 解：（1）设 ，则（0， ）是函数 的图象上的点，把该点按同一方向绕原点旋转两次，每次旋转角为 ，得到的点（0，－ ），仍在 的图象上，所以， = － 于是 =0，即 0。也就是说 =0是方程 的一个解。 另一方面,设 = 是方程 = 的一个解,即 = ，因此点 （ ， ）在函数 的图象上，它绕原点旋转三个 后得到 （ ，－ ）,且此点也在 的图象上,所以 = =－ , =0. 从上面的讨论可知,方程 恰有一个解 =0。 （2）​ 构造函数如下：