为了正常的体验网站,请在浏览器设置里面开启Javascript功能!

状态空间模型-高铁梅

2011-03-29 7页 pdf 162KB 62阅读

用户头像

is_662875

暂无简介

举报
状态空间模型-高铁梅 状态空间模型在经济预测方面的应用研究 高铁梅,陈 飞 (吉林大学数量经济研究中心 吉林 长春 130012) 摘要:本文从理论上讨论了状态空间模型与 ARIMA模型的等价关系,并在此基础上建立正确形式的状态空间模型。 对我国 GDP、M1 和社会消费品零售总额等经济时间序列构造状态空间模型,并利用模型进行预测。实践表明,状 态空间模型具有良好的预测效果。从而为经济时间序列预测提供了一种新的有效方法。 关键字:状态空间模型;ARIMA模型;可控制性;预测 中图分类号: F224.0 文献...
状态空间模型-高铁梅
状态空间模型在经济预测方面的应用研究 高铁梅,陈 飞 (吉林大学数量经济研究中心 吉林 长春 130012) 摘要:本文从理论上讨论了状态空间模型与 ARIMA模型的等价关系,并在此基础上建立正确形式的状态空间模型。 对我国 GDP、M1 和社会消费品零售总额等经济时间序列构造状态空间模型,并利用模型进行预测。实践表明,状 态空间模型具有良好的预测效果。从而为经济时间序列预测提供了一种新的有效方法。 关键字:状态空间模型;ARIMA模型;可控制性;预测 中图分类号: F224.0 文献标识码:A 经济时间序列的预测在经济学中尤其是在宏观经济学中具有极其重要的作用。一个好的时间序 列预测模型可以预测经济的未来走势,为政府制定宏观经济政策提供科学依据。在现代计量经济研 究中有许多时间序列预测模型,例如限界时间序列分析模型、增长曲线模型等。这些模型都具有良 好的预测效果,在经济分析中被广泛使用,但也都具有其各自的局限性。下面,介绍一种新的经济 时间序列预测方法 —— 利用状态空间模型进行预测。在一般的统计模型中出现的变量都是可以观 测到的,这些模型以反映过去经济变动的时间序列数据为基础,利用回归分析或时间序列分析等方 法估计参数,进而预测未来的值。 状态空间模型的特点是提出了“状态”这一概念。实际上,无论是工程控制问中出现的某些 状态(如导弹轨迹的控制问题),还是经济系统所存在的某些状态都是无法观测到的变量,正是这种无 法观测到的变量反映了系统所具有的真实状态,称为状态向量。状态空间模型建立了可观测变量和 系统内部之间的关系,从而可以通过估计各种不同的状态向量达到分析和预测的目的[1]。而且,状 态空间模型是一种结构化模型,具有良好的统计性质,可以对模型同时进行估计、预测和检验,保 证了模型预测的精度和可信性。 1 引 言 Tiao&Hillmer在 1978年的文章中提到,如果可利用的信息只有可观测时间序列,那么该序列的 分解不是唯一的[2]。近年来,计量经济学家关心的问题是如何把一个时间序列分解成一个趋势因素 和一个变化因素,假设趋势因素服从随机游动过程,变化因素服从 AR 过程,反映了时间序列不规 则要素的变动,并在此基础上建立了各种统计模型。但由于依据的分解理论不同,就形成了各种各 样的分解方法,在此基础上建立了不同形式的状态空间模型。 Young & Duk指出,当所应用的状态空间模型是不可控制的会导致错误的状态空间分解。他们 通过对 ARIMA过程和状态空间模型这两种等价的时间序列分解方法的比较,提出了一种新的建立状 态空间模型的方法[3]。认为尽管存在多个状态空间分解模型,但都等价于同一个 ARIMA模型,且每 一个模型给出的估计是等价的。本文首先检验了状态模型的可控制性。并在状态空间模型和 ARIMA 模型参数间等价关系基础之上建立了正确形式的状态空间分解模型。最后,介绍了利用状态空间模 型的正确表现形式对经济时间序列进行预测,从中可以看出利用状态空间模型进行经济时间序列预 测是一种很好的方法。 1 2 状态空间模型的分解形式和可控制性 Luenberger[4]、Harvey[5]、West & Harrison[6]先后提出了状态空间模型的可控制性问题。状态 空间模型的可控制性就是指模型具有这样的特性,对一列可观测的时间序列,我们通过对状态变量 的唯一估计,可推导出模型。考虑下面的状态空间模型: ttt vXFY += ' (1a) ttt wGXX += −1 (1b) 在这里,{ 、{ 是白噪声序列;{ 是可观测的时间序列变量;{ 是 维不可观测的 状态向量; 是量测矩阵;G是转移矩阵。 }tv }tw }tY }tX n F 如果{ 的前 期连续的期望值可以通过下面的可控制矩阵O唯一确定状态变量 的值,那 么我们称方程(1a)和(1b)定义的状态空间模型是可控制的。 }tY n 0X 0110 )]'(,),(),([ OXYEYEYE n =−K 其中 ( 2 ) ]')'(,,',[ 1 FGFGFO n−= K 另一方面,如果对于给定的同一个{ 的值,存在两个或两个以上的不同的 的值与之对应, 则称模型是不可控制的。上述定义表明由方程(1)确定的模型是可控制的,当且仅当可控制矩阵 的 秩等于状态向量的维数 。这样可控制的状态空间模型就可以应用线性系统理论很好地建立起来, 并且应用到许多现代发展的状态空间模型中去 }tY 0X O n [7]。 3 利用状态空间模型与 ARIMA模型的等价关系建立状态空间模型 3.1状态空间模型与 ARIMA(1,1,1)模型的等价关系 假设 服从于 ARIMA(1,1,1)过程,我们把 分解成一个趋势因素TC 和一个变化因素 的和, 其中,TC 服从一个随机游动过程, 服从 AR(1)过程。即: tY t tY t tI tI ttt ITCY += (3a) tt wTCL =− )1( (3b) tt vIB =− )1( φ (3c) 其中, 为延迟算子, , , ,写成矩阵形式: L 1)( −= tt TCTCL ),0(~ 2wt Nw σ ),0(~ 2vt Nv σ    = t t t I TC Y )11( (4a)    +       =    − − t t t t t t v w I TC I TC 1 1 0 01 φ , (4b) ),0(~ Ω    N v w t t 假设 服从于方程(3a,3b)表示的状态空间模型,则对(3a)式两端左乘tY )1)(1( LL −−φ 因子: ttt ILLTCLLYLL )1)(1()1)(1()1)(1( −−+−−=−− φφφ tt vLwL )1()1( −+−= φ tL εθ )1( −= 其中, ttt vL Lw L L θθ φε − −+− −= 1 1 1 1 ,则可得出Y 服从于 ARIMA(1,1,1)过程。这样,我们就建立 了状态空间模型和 ARIMA(1,1,1)模型的等价关系。 t 2 3.2 状态空间模型与 ARIMA(p,d,q)模型的等价关系 设Y 服从于 ARIMA(p,d,q)过程,把Y 分解成一个固定因素TC 和一个变化因素 ,趋势循环 要素 的 阶差分为一个白噪声序列,不规则要素 服从 AR(p)过程,则 服从于下面的状态空 间模型: t t t t tI TC d tI tY ttt ITCY += (5a) tt d wTCL =− )1( (5b) tt p p vILLL =−−−− )1( 221 φφφ L (5c) 对(5a)式两端左乘 因子: dpp LLLL )1)(1( 221 −−−−− φφφ L t q qt dp p LLLYLLLL εθθθφφφ )1()1)(1( 221221 −−−−=−−−−− LL (6) 其中, tε 为扰动项,q 。那么,(6)式表示Y 服从于 ARIMA(p,d,q)过程。从而,我 们证明了公式(5a~5c)定义的状态空间模型等价于一个 ARIMA(p,d,q)过程。 ),max( dp= t 3.3 用状态空间模型与 ARIMA模型的等价关系建立状态空间模型 当{ 为一阶单整的时间序列,为简单起见,设{ 服从于下面的 ARIMA(1,1,1)过程: }tY }tY tt LYLL εθφ )1()1)(1( −=−− , (7) ),0(~ 2εσε Nt φ我们可以根据上面的 ARIMA过程的系数 建立与之等价的简单的状态空间模型: ( ) tt XY 11= (8a)    +   = − t t tt v w XX 10 01 φ , (8b) ),0(~ Ω    N v w t t 式中 ,( ′= ttt ITCX ) φ为 AR(1)过程的系数,Ω是噪声序列的协方差阵。 当{ 为二阶单整的时间序列,设{ 服从于 ARIMA(1,2,1)过程,则建立下面的状态空间模型: (9a) }tY tTC= }tY tt IY + tt wTCL =− 2)1( (9b) tt vIL =− )1( φ (9c) 写成矩阵形式: tt XY )101(= (10a)         +         − = − t t tt v w XX 0 00 001 012 1 φ , (10b) ),0(~ Ω    N v w t t 式中 ,( ′= − tttt ITCTCX 1 ) φ为 AR(1)过程的系数,Ω是噪声序列的协方差阵。 在上面,我们讨论了利用状态空间模型和 ARIMA模型的等价关系对一阶单整序列和二阶单整序 列建立状态空间模型,在建模时我们假定变化因素服从 AR(1)过程,可推广到 AR(p)过程。对于更 一般情况,时间序列服从 ARIMA(p,d,q)过程时,我们仍然可以利用两个模型间的等价关系建立状态 空间模型,建模的方法基本相同。 3 3.4 状态空间模型的建立和预测的步骤 为了避免由于状态空间模型的不可控制性而导致的错误的分解形式,当对一个单整时间序列建 立状态空间分解模型并进行预测,应按下面的步骤执行:(1) 对相关的时间序列进行季节调整,并 将季节要素序列外推;(2) 对季节调整后的时间序列进行单位根检验,确定单整阶数,然后在 ARIMA 过程中选择最接近的模型;(3) 求出 ARIMA 模型的系数;(4) 用 ARIMA 模型的系数准确表示正规 状态空间模型,检验状态空间模型的可控制性;(5) 利用 Kalman滤波公式估计状态向量,并对时间 序列进行预测。(6) 把外推的季节要素与相应的预测值合并,就得到经济时间序列的预测结果。 4 利用状态空间模型进行时间序列预测 基于状态空间模型的时间序列预测的优点是:第一,状态空间模型是一种结构模型,基于状态 空间分解模型的时间序列预测,便于分析者利用存在的统计理论对模型进行统计检验。第二,状态 空间模型求解算法的核心是 Kalman滤波,Kalman滤波是在时刻 t基于所有可得到的信息计算状态 向量的最理想的递推过程。当扰动项和初始状态向量服从正态分布时,Kalman滤波能够通过预测误 差分解计算似然函数,从而可以对模型中的所有未知参数进行估计,并且当新的观测值一旦得到, 就可以利用 Kalman滤波连续地修正状态向量的估计。 4.1 利用状态空间模型对我国季度 GDP的预测 利用状态空间的模型表示,分析我国 GDP的时间序列数据,数据的区间范围是从 1995年 1季 度到 2001年 4季度(本文数据来源于国家统计局的《经济景气统计月报》)。我们用 1995年 1季度 到 2000 年 4 季度的数据构建状态空间模型,将 2001 年 1~4 季度的数据留做检验性数据,不参与 建模。在对 GDP序列建模之前,利用 X-11方法的乘法模型进行季节调整,得到季节调整后的序列, 记为 GDP_TCI,并将 GDP序列的季节要素序列 GDP_S由 2000年 4季度外推到 2001年 4季度。 然后对 GDP_TCI 序列数据进行单位根检验,该序列是一阶单整的。利用自相关——偏相关函数图 及穷举法建模,将 ARIMA(1,1,1)过程选为估计 GDP_TCI序列的合适模型: ttYLL ε)48.01()08.447)1)((15.01( −=−−− (11) 因此,GDP_TCI序列服从于下面的状态空间模型: ( )         = t t t t I b TC Y 101 (12a)         +                 =         − − − t t t t t t t t v w I b TC I b TC 0 15.000 010 011 1 1 1 (12b) 其中,TC 代表随机游动的趋势因素, 代表服从 AR(1)的变化因素, 和 为噪声序列。 代表随机游动项的稳定波动。根据(2)式计算出(12a, 12b)的可控制矩 阵O,它的行列式值 t 1 =− tI tw tv 08.4470 === bbb tt L 7225.0=O ,显著大于零,从而矩阵 是满秩的,即是可控制的。所以本文建 立的状态空间模型是可控制的。 O 4 8000 12000 16000 20000 24000 28000 32000 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 图 1 我国季度 GDP的实际值(实线)与预测值(虚线) 由于我们是对 GDP_TCI 序列建立的状态空间模型,所以在预测之后,还要对预测得到的序列 乘上外推的季节因素,这样就可以实现对我国季度 GDP的预测。预测结果见图 1。在图 1中实线部 分为季度 GDP 时间序列实际值的折线图,虚线部分为状态空间模型的预测值。由图 1 可以看出, 在 2001年 1~4季度的区间范围内,预测得到的 GDP数据与实际的 GDP数据误差很小,均方根误 差为: ,表明 2001年 1~4季度预测的均方根误差仅为 2.67%,预测的精度较高。 67.2=MSTR 4.2 用状态空间模型对其他时间序列的预测 下面,我们用同样的预测方法,对狭义货币供应量 M1(季度序列)及社会消费品零售总额(月度序 列)进行预测,来检验该方法的预测效果。 在图 2中,M1是一阶单整的季度时间序列,数据区间为:1995年 1季度~2001年 4季度,利 用 1995年 1季度~2000年 4季度数据建模,2000年 1~4季度数据留做检验性数据。在图 2中,社 会消费品零售总额是二阶单整的月度时间序列,数据区间为:1995年 1月~2001年 12月,利用 1995 年 1月~2000年 12月数据建模,2000年 1~12月数据留做检验性数据。再利用前面介绍的方法进 行预测,都得到了较好的预测效果。预测的均方根误差为: 13.1=LSMSTR , ,预 测的精度较高。这样,我们利用状态空间模型与 ARIMA模型的等价关系,从方法分析的角度讨论了 利用状态空间模型对时间序列预测的可行性,并实证分析了模型预测的预测效果。从而为利用经济 时间序列进行预测提供了一种新的方法。 09.21 =MMSTR 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 20000 30000 40000 50000 60000 70000 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 图 2 消费品零售总额的实际值(实线)与预测值(虚线) 图 3 M1的实际值(实线)与预测值(虚线) 5 状态空间模型的预测方法与其他预测方法的对比研究 我们利用状态空间模型与 ARIMA模型的等价关系对我国 GDP等时间序列进行了预测,并把预 测的结果与原序列进行了比较,得出预测的精度。现在,我们把状态空间模型预测方法与其他预测 方法的结果进行比较,以进一步分析状态空间模型预测方法的预测效果。下面,我们对状态空间模 型、限界时间序列模型和增长曲线模型三种预测方法进行比较。 选取我国季度 GDP序列从 1995年 1季度~2001年 4季度的数据,其中 1995年 1季度~2000 5 年 4季度的数据用来估计模型,2001年 1~4季度的数据留做检验性数据。预测结果如图 4、图 5所 示。 8000 12000 16000 20000 24000 28000 32000 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 8000 12000 16000 20000 24000 28000 32000 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 图 4 GDP的实际值(实线)与 图 5 GDP的实际值(实线)与 限界时间序列模型的预测值(虚线) 增长曲线模型预测的预测值(虚线) 通过对图 1、图 4、图 5的比较分析,我们对三种预测方法的效果有了一个比较直观的了解。三 种预测方法的结果近似,都可以很好地对原序列进行预测。下面,我们通过比较各种方法的均方根 误差 MSTR来进一步定量分析三种预测方法的预测效果。 表 1列出了 2001年 1~4季度GDP序列的实际值与三种预测方法得到的预测值及相应的均方根 误差,从表 1 中我们可以看出,利用状态空间模型进行预测得到的预测结果的均方根误差最小;从 以上的分析可以得出这样的结论,状态空间模型预测方法优于增长曲线模型和限界时间序列模型预 测方法。 2001年 1季 2001年 2季 2001年 3季 2001年 4季 MSTR 实际值 19895.00 23047.00 24285.00 28706.10 状态空间模型 19254.48 22302.29 23797.14 28860.18 2.67 增长曲线模型 19059.30 22311.79 23567.15 29369.32 3.06 限界时间序列模型 21391.66 23851.68 25728.21 29761.11 5.09 表 1 GDP实际值与三种预测方法预测值及相应的 MSTR 6 结 论 本文利用状态空间形式建立的结构时间序列模型,对我国国内生产总值、狭义货币供应量、社 会消费品零售总额等时间序列进行了季节调整及预测。提供了一种新的预测方法。并与其他广泛使 用的预测方法进行了对比研究,从得到的结果可以看出,利用状态空间模型对结构时间序列进行预 测的方法,是一种较好的方法。 本文在状态空间模型的设定方面做了进一步的深入研究,考察了应用状态空间模型的错误假定 的例子,提出了状态空间模型可控制性的概念。并利用状态空间模型与 ARIMA模型的等价关系来建 立状态空间模型。在建立利用状态空间模型对结构时间序列进行预测的方法时,把状态空间模型的 设定与经济时间序列的特征结合起来,针对单整阶数不同的时间序列设定相应的状态空间模型形式, 从而保证了模型与时间序列的特征更加吻合。 在今后的研究中,关于利用状态空间模型进行经济时间序列的分解和预测还有许多问题需要进 一步研究,其中的主要问题有:一、利用状态空间模型进行趋势、循环分解;二、利用状态空间模 6 型开发出实用的季节调整和预测的应用程序;三、研究状态空间模型与一般的 ARIMA模型之间的内 在关系。 参考文献 [1] 董文泉、高铁梅等. 经济周期波动的分析与预测方法 [M]. 吉林大学出版社,1998, p434. [2] Tiao, G.C. and Hillmer, S.C., “Someconsideration of decomposition of a time series”, [J]. Biometrika, 65(1978), 497-502. [3] Young Jin Joo and Duk Bin Jun, State space Trend-cycle Decomposition of the ARIMA(1,1,1) process [J]. Journal Forecasting, VOL.16, 411-424, 1997. [4] Luenberger,D.G. Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models, and Applications [M]. New York: John Wiley, 1979. [5] Harvey, A.C. Forecasting structural time series models and the Kalmen filter [M]. Cambridge University Press,1989, Chapter 3, 101-167. [6] West, M. and Harrison, J. Bayesian Forecasting and Dynamic Models [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1989. [7] Aoki,M., “Two Complementary Representations of Multiple Time Series in State-Space Innovation Forms [J]. Journal of Forecasting, 1994,69-90. The application study in economic forecast of the State Space Model GAO Tie-mei , CHEN Fei (Center for Quantitative Economics, Jilin University, Jilin Changchun, 130012 China) Abstract:This paper discusses equivalence relationships between the ARIMA process and the State Space Model and set up proper State Space Models. China’s economic time series such as GDP, M1 and total retail sale of consumer goods are used to set up the State Space Models. And the paper forecasts time series by using State Space Models. The results derived in this paper show that the State Space Model has obtained good forecast results, and it provides a new effective way for economic time series forecasting. Keywords:State Space Model; ARIMA process; Controllability; Forecast 收稿日期:2003-5-29; 资助项目:教育部人文社会科学重点研究基地重大课题项目(01JAZJD790003)资助。 作者简介:高铁梅 (1951- ),女,教授、博士生导师,研究方向:宏观经济分析与预测。陈 飞 (1973- ),硕士研究 生。 7
/
本文档为【状态空间模型-高铁梅】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑, 图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。 本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。 网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。

历史搜索

    清空历史搜索