2009年高考名校数学（一模）百卷压轴题精选

天利考试信息网 www 2009年高考名校百卷压轴精选 数学（一模）专辑 AAA. 【青岛市2009年高三教学统一质量检测（理）22．】（本小题满分14分）已知等比数列 的前 项和为 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 ， 为数列 的前 项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论． 【解析】：（Ⅰ）由 得: 时， ………………………2分 是等比数列， ，得 ……4分 （Ⅱ）由 和 得 ……………………6分 ……10分 ………………………11分 当 或 时有 ，所以当 时有 那么同理可得：当 时有 ，所以当 时有 ………………………13分 综上：当 时有 ；当 时有 ………………………14分 1.【皖东十校09届第一次联考试卷数学（理）22】已知椭圆 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切. （I）求椭圆 的方程； （II）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程； （III）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 求 的取值范围. 【解析】：（Ⅰ）∵ ∵直线 相切， ∴ ∴ …………3分 ∵椭圆C1的方程是 ………………6分 （Ⅱ）∵MP=MF2， ∴动点M到定直线 的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， ∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ………………6分 ∴点M的轨迹C2的方程为 …………9分 （Ⅲ）Q（0，0），设 ∴ ∵ ∴ ∵ ，化简得 ∴ ………………11分 ∴ 当且仅当 时等号成立 …………13分 ∵ ∴当 的取值范围是 ……14分 2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】（本小题满分16分）函数 其中 为常数，且函数 和 的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行 （1）、求函数 的解析式 （2）、若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围。 【解析】：（1） ------2 的图像与坐标轴的交点为 ， 的图像与坐标轴的交点为 由题意得 即 ， ------3 又 ------4 （2）由题意 当 时， -------6 令 ------7 令 ------9 当 时， 单调递增。 ------10 由 在 上恒成立， 得 ------12 当 时， ------13 可得 单调递增。------14 由 在 上恒成立，得 ------15 综上，可知 ------16 3.【湖南省长沙一中2008-2009学年高三第八次月考数学（文科）21．】（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足 （Ⅰ）求点M的轨迹方程； （Ⅱ）已知点F（0， ），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且 求实数 的取值范围. 【解析】：（I）依题意，设P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）. 当t=0时，点M与点E重合，则M=（0，1）； 当t≠0时，线段OP的垂直平分线方程为： 显然，点（0，1）适合上式 .故点M的轨迹方程为x2=－4(y－1)( －2≤x≤2) （II）设 得x2+4k－2=0. 设Q（x1,y1）、R（x2,y2），则 , .消去x2，得 . 解得 4. 【湖北省2009届高三八校联考第二次（理）21.】（本小题满分14分）已知数列 中， ， ，其前 项和 满足 .令 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ，求证： （ ）； （Ⅲ）令 （ ），求同时满足下列两个条件的所有 的值：①对于任意正整数 ，都有 ；②对于任意的 ，均存在 ，使得 时， . 【解】（Ⅰ）由题意知 即 ……1′ ∴ ……2′ 检验知 、 时，结论也成立，故 .…………3′ （Ⅱ）由于 故 .…………6′ （Ⅲ）（ⅰ）当 时，由（Ⅱ）知： ，即条件①满足；又 ， ∴ . 取 等于不超过 的最大整数，则当 时， .…9′ （ⅱ）当 时，∵ ， ，∴ ，∴ . ∴ . 由（ⅰ）知存在 ，当 时， ， 故存在 ，当 时， ，不满足条件. …12′ （ⅲ）当 时，∵ ， ，∴ ，∴ . ∴ . 取 ，若存在 ，当 时， ，则 . ∴ 矛盾. 故不存在 ，当 时， .不满足条件. 综上所述：只有 时满足条件，故 .…………14′ 5.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（文）22.】（本小题满分12分）已知点A是抛物线y2＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝ ｜AF｜，三角形AFK的面积等于8． （1）求p的值； （2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦 的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值． 【解析】：22．解：（Ⅰ）设 ， 因为抛物线的焦点 ， 则 .……………………………1分 ，………2分 ，而点A在抛物线上， .……………………………………4分 又 故所求抛物线的方程为 .6分 （2）由 ，得 ，显然直线 ， 的斜率都存在且都不为0. 设 的方程为 ，则 的方程为 . 由 得 ，同理可得 .……………8分 则 = .（当且仅当 时取等号） 所以 的最小值是8.……………………………………12分 6.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（理）22.】（本小题满分12分） 已知数列 满足 （1）求 ； （2）已知存在实数 ，使 为公差为 的等差数列，求 的值； （3）记 ，数列 的前 项和为 ，求证： . 【解析】：22．解：（1） ，由数列 的递推公式得 ， ， .……………………………………………………3分 （2） = = = .……………………5分 数列 为公差是 的等差数列. 由题意，令 ，得 .……………………7分 （3）由（2）知 ， 所以 .……………………8分 此时 = = ，……………………10分 = > .……………………12分 7.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）【理科】已知函数 （I）求 的极值； （II）若 的取值范围； （III）已知 【解析】：（Ⅰ） 令 得 ……………2分 当 为增函数； 当 为减函数， 可知 有极大值为 …………………………..4分 （Ⅱ）欲使 在 上恒成立，只需 在 上恒成立， 设 由（Ⅰ）知， ， ……………………８分 （Ⅲ） ，由上可知 在 上单调递增， ①， 同理 ②…………………………..10分 两式相加得 ……………………………………12分 8.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）【文科】已知椭圆 ，双曲线C与已知椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点 为圆心，1为半径的圆相切。 （I）求双曲线C的方程； （II）设直线 与双曲线C的左支交于两点A、B，另一直线l经过点 及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。 【解析】：（本小题满分12分）（I）设双曲线C的焦点为： 由已知 ， ，　　　　　　　　　……………2分 设双曲线 的渐近线方程为 ， 依题意， ，解得 ． ∴双曲线 的两条渐近线方程为 ． 故双曲线 的实半轴长与虚半轴长相等，设为 ，则 ，得 ， ∴双曲线C的方程为 　　　　　　　　　　　　……………６分. （II）由 ， 直线与双曲线左支交于两点， 因此 ………………..９分 又 中点为 ∴直线 的方程为 ， 令x=0，得 ， ∵ ∴ ∴故 的取值范围是 ． ………………12分． 9.【东北育才学校2009届高三第三次模拟考试（文）22.】 (本小题满分14分)设等比数列{ }的前 项和 ，首项 ，公比 . (Ⅰ)证明： ； (Ⅱ)若数列{ }满足 ， ，求数列{ }的通项公式； (Ⅲ)若 ，记 ，数列{ }的前项和为 ，求证：当 时， . 【解析】：(Ⅰ) ……2分 而 ……………………………………………3分 所以 …………………………………………4分 (Ⅱ) , , ……………………………6分 是首项为 ,公差为1的等差数列, ,即 . ………………………………8分 (Ⅲ) 时, , …………………………9分 相减得 , …………………………12分 又因为 , 单调递增, 故当 时, . ……………………………………………………14分 10.【东北育才学校2009届高三第三次模拟考试（理）24.】如右图（1）所示，定义在区间 上的函数 ，如果满足：对 ， 常数A，都有 成立，则称函数 在区间 上有下界，其中 称为函数的下界. （提示：图(1)、（2）中的常数 、 可以是正数，也可以是负数或零） （Ⅰ）试判断函数 在 上是否有下界？并说明理由； （Ⅱ）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间 上有上界. 请你类比函数有下界的定义，给出函数 在区间 上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在 上是否有上界？并说明理由； （Ⅲ）若函数 在区间 上既有上界又有下界，则称函数 在区间 上有界，函数 叫做有界函数．试探究函数 （ 是常数）是否是 （ 、 是常数）上的有界函数？ 【解析】：24．（I）解法1：∵ ，由 得 ， ∵ ， ∴ ，-----------------2分 ∵当 时， ，∴函数 在（0，2）上是减函数； 当 时， ，∴函数 在（2，＋ ）上是增函数； ∴ 是函数的在区间（0，＋ ）上的最小值点， ∴对 ，都有 ，------------------------------------4分 即在区间（0，＋ ）上存在常数A=32,使得对 都有 成立， ∴函数 在（0，＋ ）上有下界. ---------------------5分 [解法2： 当且仅当 即 时“＝”成立 ∴对 ，都有 ， 即在区间（0，＋ ）上存在常数A=32,使得对 都有 成立， ∴函数 在（0，＋ ）上有下界.] （II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义： 定义在D上的函数 ，如果满足：对 ， 常数B，都有 ≤B成立，则称函数 在D上有上界，其中B称为函数的上界. -----7分 设 则 ，由（1）知，对 ，都有 ， ∴ ，∵函数 为奇函数，∴ ∴ ，∴ 即存在常数B=－32，对 ，都有 , ∴函数 在（－ ， 0）上有上界. ---------9分 （III）∵ ， 由 得 ，∵ ∴ ∵ ， ∴ ，----------10分 ∵当 时， ，∴函数 在（0， ）上是减函数； 当 时， ，∴函数 在（ ，＋ ）上是增函数； ∴ 是函数的在区间（0，＋ ）上的最小值点， ---------------------11分 ①当 时，函数 在 上是增函数； ∴ ∵ 、 是常数，∴ 、 都是常数 令 , ∴对 ， 常数A,B,都有 即函数 在 上既有上界又有下界-------------------------12分 ②当 时函数 在 上是减函数 ∴对 都有 ∴函数 在 上有界.-------------------------13分 ③当 时，函数 在 上有最小值 ＝ 令 ,令B= 、 中的最大者 则对 ， 常数A,B,都有 ∴函数 在 上有界. 综上可知函数 是 上的有界函数--------------14分 11.【东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中2009年四校第一次高考模拟联考（理）22．】（本小题满分12分）如图，已知双曲线 =1的两个焦点为F1，F2，两个顶点为A1，A2，点 是 （I）求实数 的取值范围； （II）直线PF1，PF2分别与双曲线各交于两点，求以这四个交点为顶点的四边形的面积S的取值范围。 【解析】：（1）A1（-1，0），A2（1，0），F1（-2，0），F2（2，0） …………4分 （II）设 直线PF1与双曲线交于 直线PF2与双曲线交于 令 …………6分 而 直线PF1与双曲线交于两支上的两点，同理直线PF2与双曲线交于两支上的两点 则 …………8分 …………10分 令 递增 又 …………12分 12.【安徽省示范高中皖北协作区2009年高三联考（理）22】（本小题14分）设函数 （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 时，若方程 在 上有两个实数解，求实数t的取值范围； （Ⅲ）证明：当m>n>0时， 。 【解析】：22、（Ⅰ） ① 时， ∴ 在（—1，+ ）上市增函数 ②当 时， 在 上递增，在 单调递减 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在 上单调递增，在 上单调递减 又 ∴ ∴当 时，方程 有两解 （Ⅲ）要证： 只需证 只需证 设 ， 则 由（Ⅰ）知 在 单调递减 ∴ ，即 是减函数，而m>n ∴ ，故原不等式成立。 13.【安徽省合肥七中2009届高三第五次月考（理）22．】 (本小题满分14分) 椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点. （1）如果点A在圆 （c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|=c，求椭圆的离心率； （2）若函数 的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a）， 求 的取值范围。 【解析】：（1）∵点A在圆 ， 由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a， （2）∵函数 ∴ 点F1（－1，0），F2（1，0）， ①若 ， ∴ ②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1） 由 …………（*） 方程（*）有两个不同的实根. 设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根 由①②知 14.【2009年天津市高三年级能力测试（河东卷.理）22. 】（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点 ，平行于 的直线 在 轴上的截距为 ， 交椭圆于 两个不同点 （1）求椭圆的方程； （2）求 的取值范围； （3）求证直线 与 轴始终围成一个等腰三角形。 【解析】：（1）设椭圆方程为 则 解得 所以椭圆方程 （2）因为直线 平行于OM，且在 轴上的截距为 又 ，所以 的方程为： 由 因为直线 与椭圆交于 两个不同点， 所以 的取值范围是 。 （3）设直线 的斜率分别为 ，只要证明 即可 设 ，则 由 可得 而 故直线MA、MB与 轴始终围成一个等腰三角形。 15.【2009年上海市普通高等学校春季招生考试20.】设函数 ，其中 为正整数. （1）判断函数 的单调性，并就 的情形证明你的结论； （2）证明： ； （3）对于任意给定的正整数 ，求函数 的最大值和最小值. 【解析】（1） 在 上均为单调递增的函数. …… 2分 对于函数 ，设 ，则 ， ， 函数 在 上单调递增. …… 4分 （2） 原式左边 . …… 6分 又 原式右边 . . …… 8分 （3）当 时，函数 在 上单调递增， 的最大值为 ，最小值为 . 当 时， ， 函数 的最大、最小值均为1. 当 时，函数 在 上为单调递增. 的最大值为 ，最小值为 . 当 时，函数 在 上单调递减， 的最大值为 ，最小值为 . …… 11分 下面讨论正整数 的情形： 当 为奇数时，对任意 且 ， 以及 ， ，从而 . 在 上为单调递增，则 的最大值为 ，最小值为 . …… 14分 当 为偶数时，一方面有 . 另一方面，由于对任意正整数 ，有 ， . 函数 的最大值为 ，最小值为 . 综上所述，当 为奇数时，函数 的最大值为 ，最小值为 . 当 为偶数时，函数 的最大值为 ，最小值为 . …… 18分 16.【2009年高考桂林市、崇左市、贺州市、防城港市联合调研考试(文)22.】（本小题满分12分） 已知点 ，点 在 轴上，点 在 轴的正半轴上，点 在直线 上，且 满足 . （Ⅰ）当点 在 轴上移动时，求点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）设 、 为轨迹 上两点，且 >1, >0, ，求实数 ， 使 ，且 . 【解析】：解：（Ⅰ）设点 ，由 得 . …………2分 由 ,得 ，即 . …………… 4分 又点 在 轴的正半轴上，∴ .故点 的轨迹 的方程是 . …………………………………………………………6分 （Ⅱ）由题意可知 为抛物线 ： 的焦点，且 、 为过焦点 的直线与抛物 线 的两个交点,所以直线 的斜率不为 . ……………………………………7分 当直线 斜率不存在时，得 ，不合题意； ……8分 当直线 斜率存在且不为 时，设 ，代入 得 ， 则 ，解得 . …………10分 代入原方程得 ，由于 ，所以 ，由 , 得 ，∴ . ……………………………………………………12分 17.【东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试数学(理)22.】 (本小题满分12分) 已知 为坐标原点，点 、 分别在 轴、 轴上运动，且 ，动点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 ，定点 ，直线 交曲线 于另外一点 ． (1)求曲线 的方程； (2)求 面积的最大值． 【解析】：本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹的求法以及综合解题能力。 解：(1)设 ，则 ∵ ,∴ ，∴ ， 又 ，∴ ∴曲线 的方程为 (2)由(1)可知， (4，0)为椭圆 的右焦点，设直线 方程为 ，由 消去 得， ， ∴ ∴ ， 当 ，即 时取得最大值， 此时直线方程为 . 18.【2009年安庆市高三模拟考试（二模）（文）22.】 （本小题满分13分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y轴上的截距为m(m≠0)，L交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。 【解析】：（1）设椭圆方程为 ,则 . ∴椭圆方程为 ……………………4分 （2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m, 又KOM= , ，联立方程有 ， ∵直线l与椭圆交于A．B两个不同点， …………8分 （3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设 ， 则 由 而 故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. ……………………13分 19.【2009届重庆市南开中学高三总复习检测题（六）】已知数列()与{)有如下关系： (1)求数列(}的通项公式。 (2)设是数列{}的前n项和，当n≥2时，求证： 【解析】：（1） （4分） （2）当n≥2时，,（当且仅当时取等号）且 故 以上式子累和得 ＜+n （）得证. 20.【2009届山东省实验中学高三年级第四次综合测试(理)22.】（本小题满分13分） 已知函数 上恒成立. （1）求 的值； （2）若 （3）是否存在实数m，使函数 上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 【解析】：（1） 恒成立 即 恒成立 显然 时，上式不能恒成立 是二次函数 由于对一切 于是由二次函数的性质可得 即 ． （2） 即 当 ，当 ． （3） 该函数图象开口向上，且对称轴为 假设存在实数m使函数 区间 上有 最小值－5. ①当 上是递增的. 解得 舍去 ②当 上是递减的，而在 区间 上是递增的， 即 解得 ③当 时， 上递减的 即 解得 应舍去. 综上可得，当 时， 函数 21.【2009年3月四县(市)高三调研考试.（文）21．】（本小题满分13分）设三次函数 ，在 处取得极值，其图像在 处的切线的斜率为 。 （1）求证： ； （2）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围。 【解析】：（1） ，由题设，得 ① ② , ∴ ∵ ， ∴ ,∴ , 由①代入②得 ，∴ ， 得 ，∴ 或 ③ 将 代入 中，得 ④ 由③、④得 ； 7分 （2）由（1）知， ， ∴方程 的判别式有两个不等实根 ， ， 又 ，∴ ， ， ， 当 或 时， ，当 时， ∴函数 单调增区间是 ，∴ ， 由 知 。 ∵函数 在区间 上单调递增，∴ ， ∴ ，即 的取值范围是 。 13分 22.【2009年3月四县(市)高三调研考试.（理）21．】本小题满分13分） 已知函数 （1） 为定义域上的单调函数，求实数 的取值范围 （2）当 时，求函数 的最大值 （3）当 时，且 ，证明： 【解析】：（1） ， ∴ 因为对 ，有 ∴不存在实数 使 ，对 恒成立 2分 由 恒成立，∴ ， 而 ，所以 经检验，当 时， 对 恒成立。 ∴当 时， 为定义域上的单调增函数 4分 （2）当 时，由 ，得 当 时， ，当 时， ∴ 在 时取得最大值，∴此时函数 的最大值为 7分 （3）由（2）得， 对 恒成立，当且仅当 时取等号 当 时， ，∵ ， ∴ ∴ 同理可得 ， ， ， ∴ 法二：当 时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之）， 在 上递增 令 在 上总有 ，即 在 上递增 当 时， 即 令 由（2）它在 上递减 ∴ 即 ∵ ∴ ，综上 成立，其中 。 23.【中山市2009届高三第二学期2月四校联考（理）】(本小题满分14分，第Ⅰ小题5分，第Ⅱ小题4分，第Ⅲ小题5分). 数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，总有 成等差数列. (Ⅰ)求数列 的通项公式； (Ⅱ)设数列 的前 项和为 ，且 ，求证:对任意实数 （ 是常数， ＝2.71828 ）和任意正整数 ，总有 2； (Ⅲ) 正数数列 中， .求数列 中的最大项. 【解析】：（Ⅰ）解：由已知：对于 ，总有 ①成立 ∴ （n ≥ 2）② …………………1分 ①--②得 ∴ ∵ 均为正数，∴ （n ≥ 2） ∴数列 是公差为1的等差数列 ………3分 又n=1时， ， 解得 =1 ∴ .( ) ……………………………………………5分 （Ⅱ）证明：∵对任意实数 和任意正整数n，总有 ≤ .……6分 ∴ ……………9分 (Ⅲ)解：由已知 ， 易得　 猜想 n≥2 时， 是递减数列. ………………………………11分 令 ∵当 ∴在 内 为单调递减函数. 由 . ∴n≥2 时, 是递减数列.即 是递减数列. 又 , ∴数列 中的最大项为 . …………………………14分 24.【广东省茂名市2009年第一次高考模拟考试（理）21.】（本小题满分14分） 已知数列 , , （Ⅰ）求数列 的通项公式 （Ⅱ）当 时,求证: （Ⅲ）若函数 满足： 求证： 【解析】： (1) ,两边加 得: , 是以2为公比, 为首项的等比数列. ……① 由 两边减 得: 是以 为公比, 为首项的等比数列. ……② ①-②得: 所以,所求通项为 …………5分 (2) 当 为偶数时, 当 为奇数时, , ,又 为偶数 由(1)知, ……………………10分 （3）证明： 又 ……12分 ………………-14分 25.【江门市2009年高考模拟考试（文）21.】（本小题满分14分）设 ，函数 ， ， ． ⑴当 时，求 的值域； ⑵试讨论函数 的单调性． 【解析】：⑴ ----------1分， 时， ----------2分； 当 时， ，根据指数函数与幂函数的单调性，是单调递增函数--------3分， -------4分。所以 时， 的值域为 -------5分。 ⑵依题意 -- ---6分。 ① ，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增 ----8分。 ② ，当 时，解 得 ，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增。当 时， ， 递增-- ---10分。 ③ ，当 时， ， 递减。当 时，解 得 ，当 时， ， 递增，当 时， ， 递减-----12分。 ④ ，对任意 ， ， 在每个定义域区间上递减--- --13分。 综上所述， 时， 在 或 上单调递增，在 上单调递减； 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 时， 在 上单调递增，在 或 上单调递减； 时， 在每个定义域区间上递减---- -14分。 26.【江门市2009年高考模拟考试（理）21.】（本小题满分12分）已知函数 ， 是常数， ． ⑴若 是曲线 的一条切线，求 的值； ⑵ ，试证明 ，使 ． 【解析】：⑴ -------1分，解 得， 或 -------2分 当 时， ， ，所以 不成立-------3分 当 时，由 ，即 ，得 -----5分 ⑵作函数 -------6分 ，函数 在 上的图象是一条连续不断的曲线------7分， ------8分 ①若 ， ， ，使 ， 即 -------10分 ②若 ， ， ， ， 当 时有最小值 ，且当 时 -------11分， 所以存在 （或 ）从而 ，使 ，即 -------12分 27.【2009年深圳市高三年级第一次调研考试（理）21．】（本题满分14分）已知函数 ， 为函数 的导函数． （Ⅰ）若数列 满足： ， （ ），求数列 的通项 ； （Ⅱ）若数列 满足： ， （ ）． ⅰ.当 时，数列 是否为等差数列？若是，请求出数列 的通项 ；若不是，请说明理由； ⅱ.当 时， 求证： ． 【解析】：（Ⅰ） ， …………………1分 ， 即 ． …………………………3分 ， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列． ，即 ． …………………………5分 （Ⅱ）（ⅰ） ， ． 当 时， ． 假设 ，则 ． 由数学归纳法，得出数列 为常数数列，是等差数列，其通项为 ． …………8分 （ⅱ） ， ． 当 时， ． 假设 ，则 ． 由数学归纳法，得出数列 ． …………………………10分 又 ， ， 即 ． …………………………12分 ． ， ． 　 …………………………14分 28.【天津市汉沽一中2008~2009届第六次月考 (理)22.】（本小题满分14分）已知函数 (x∈R)在区间[-1,1]上是增函数（Ⅰ）求实数a的值所组成的集合A（Ⅱ）设关于x的方程 的两实数根为x1、x2. 试问: 是否存在实数m,使得不等式 对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由? 【解析】： （Ⅰ） 因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,所以f‘(x)≥0在区间x∈[-1,1]恒成立 即有x2-ax-2≤0在区间[-1,1]上恒成立。 构造函数g(x)=x2-ax-2 ∴满足题意的充要条件是： 所以所求的集合A[-1，1] ………(7分) （Ⅱ）由题意得： 得到：x2-ax-2=0………(8分) 因为△=a2+8>0 所以方程恒有两个不等的根为x1、x2由根与系数的关系有： ……(9分) 因为a∈A即a∈[-1，1]，所以 要使不等式 对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立，当且仅当 对任意的t∈[-1,1]恒成立……(11分) 构造函数φ（x）=m2+tm-2=mt+(m2-2) ≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立的充要条件是 m≥2或m≤-2.故存在实数m满足题意且为 {m| m≥2或m≤-2}为所求 （14分） 29.【安徽省蚌埠市第二次教学质量检查考试(理)22.】（本小题满分14分）数列 和数列 由下列条件确定： ① ； ②当 时， 与 满足如下条件：当 时， ；当 时， 。 解答下列问题： （Ⅰ）证明数列 是等比数列； （Ⅱ）求数列 的前n项和为 ； （Ⅲ） 是满足 的最大整数时，用 表示n的满足的条件。 【解析】：（Ⅰ）当 时， 当 时， 所以不论哪种情况，都有 ，又显然 ， 故数列 是等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，故 所以， 所以， ， （Ⅲ）当 时， 由②知 不成立，故 从而对于 ，有 ，于是 ，故 若 ， 若 ，则 所以 ，这与n是满足 的最大整数矛盾。 因此n是满足 的最小整数， 而 因而，n是满足 最小整数。 30.【上 海 市2009年高三十四校联考模拟试卷(理) 21.】（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分） 我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。 （1）设F1、F2是椭圆 的两个焦点，点F1、F2到直线 的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。 （2）设F1、F2是椭圆 的两个焦点，点F1、F2到直线 （m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值。 （3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。 （4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。 【解析】：21．（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分） （1） ； ………………2分 联立方程 ； …………3分 与椭圆M相交。 …………4分 （2）联立方程组 消去 （3）设F1、F2是椭圆 的两个焦点，点F1、F2到直线 的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为： ；直线L与椭圆M相切的充要条件为： ；直线L与椭圆M相离的充要条件为： 　……14分 证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交 命题得证。 （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分） （4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线 的两个焦点，点F1、F2到直线 距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为： ；直线L与双曲线M相切的充要条件为： ；直线L与双曲线M相离的充要条件为： ………………20分 （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）。（持续更新优化中... ...） 水平有限，诚望斧正！ 柳垭职业中学