基尼系数

21 第二章：二阶张量  二阶张量的分量 从张量的整体表达式 mn m n m n .n m m n mn .n m m nT T T T       T g g g g g g g g 可得： mn i j mn i j m n m n m n m n mn i j ij i j ii j mn i j j T=T =T = =T =T=T              g g g g g g g g g T g g T g i j i i j . j j . m n .n m .n m m j i j i n i T T T T             g T g g T g g g gg g g g g  二阶张量与矢量的点积满足关系: T T.u u.T 证明： ij j i T ij j i ij i j ij j i =T u TT T u        u.T u g g T.u g g u g g  二阶张量的行列式定义为： i.jdet( ) TT 行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量 1T ,满足等式： 1T T = G (度量张量) 证明： 设  T S G 则有：    i k m n i k n i n.k i .n m .k .n i n iT S T S        g g g g g g G g g 即： i k i.k .n nT S   其矩阵形式为：  T S E 因矩阵 T 的行列式不为零，存在矩阵    1 S T   以 i.jS 为分量的张量即为张量T的逆张量。 22  张量点积运算与矩阵乘法的类比 张量与矢量的点积  T u v j . ji ij i jv T u T u  ； i i j . j ij jv T u T u (类似于矩阵与列向量的乘法)  T S U ij ik . j i kjk .k .U T S T S  ； ik kj i i k . j .k . jU TS ST  (类似于矩阵与矩阵的乘法) 点积等同于并乘加指标缩并 主不变量 ①对任意矢量 ,u v,w二阶张量T满足等式： 1) ( ) ( )            T u (v w) + u ( T v w) + u (v T w ) u (v w)（ 第一主不变量 i i i.i j .1 jT T   证明:  如果 ,u v,w线性相关,可设 = + w u v ,此时 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 0                                               T u (v w) + u ( T v w) + u (v T w ) T u (v w) + T v (w u) + T w (u v) T u (v u) + T v (v u) + T u T v (u v) T u T v (v u u v) （ （ （  如果 ,u v,w线性无关,可取基矢量 1 2 3 ; ;   g u g v g w 此时: ) ( ) ( )        T u (v w) + u ( T v w) + u (v T w )（           m m m . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 m m m .1 m23 .2 1m3 .3 1 m .2 m . 12m 1 2 3 m 3 m .m 2 ) ( ) ( ) T e T T T T T T e e                            g g T g (g g ) + g ( T g g ) + g (g T g ) g g g g g g ( g g g ) u ( g v w) （ 23 ②对任意矢量 ,u v,w二阶张量T满足等式： 2) [ ) ] [( ) ( ] ( ) [ ( )] ( )               T u (T v w + u T v T w) + T u (v T w u v w（ 第二主不变量 Lmk i j2 ijk .L .m 1 T T 2   证明：  如果 ,u v,w线性相关, 可设 = + w u v ,此时   ) [ ) ] [( ) ( ] ( ) [ ( )] [ ) )] [( ) ( ] [ ( ) ( )] [ ) )] [( ) ( ] [ ( ) ( )] [ ) )] 0                                                   T u (T v w + u T v T w) + T u (v T w w T u (T v + u T v T w) + v ( T w T u w T u (T v u T v T u) + v ( T v T u w u v T u (T v （ （ （ （  如果 ,u v,w线性无关,可取基矢量 1 2 3 ; ;   g u g v g w 则有: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ) [ ) ] [( ) ( ] ( ) [ ( )] ) [ ) ] [( ) ( ] ( ) [ ( )]                          T u (T v w + u T v T w) + T u (v T w T g (T g g + g T g T g ) + T g (g T g （ （                   i j i j j i .1 i .2 j 3 1 .2 .3 i j .1 j .3 2 i i j i j i j .1 .2 ij i 3 .2 .3 1ij .3 .1 j2i 1 2 3 j i j i j .1 .2 ij3 .2 .3 ij1 .3 .1 ij2 1 2 3 2 ( ) T T e T T e T T T T T T T T T e e T e T T e T T                        g g g g g g g g g g g g g g u v w g 其中 1 1 1 1 .1 .2 .1 .3 2 2 2 2 2 .1 .2 .2 .3 3 3 3 3 .2 .3 .1 .3 T T 0 1 0 0 T 0 T T T 0 0 T T 0 1 0 0 0 1 0 T T T 0 T     为张量行列式中各阶主子式之和,它是张量的不变量: 24      i j i j i j i j i j i jij3 .1 .2 .2 .1 ij1 i j i j i j 2 ij3 .2 .3 .3 .2 ij2 .3 1 .1 .3 Lm3 i j Lm1 i j Lm2 i j ij3 .L .m ij1 .L .m ij2 .L .m Lmk i j Lmk i .1 .2 ij1 .2 .3 ij2 jk .L .m ijk .3 . .1 1 1 1 e T T T T e T T T T e T T T T 2 2 2 1 1 1 e e T T e e T T e e T T 2 2 2 1 1 e e T T T 2 e T T e T T 2 e T T                Lm i j ij i j L .L m.m . 1 TT T 2   由于 Lmkijk 是张量, Lmk i j 2 ijk .L .m 1 T T 2   为 0 阶张量(不变量) ③对任意矢量 ,u v,w二阶张量T满足等式： 3( ) [( ) ( )] ( )        T u T v T w u v w 第三不变量 i j k Lmn3 .L .m .n ijk 1 det( ) T T T 6    T 证明：    i L k n.L i .n k i j m . j k L m n .L .m .n ijk L m m j n Lmn ( ) [( ) ( )] T u T w T T T u v w det( ) u v w det( ) T v ) (                T u T v T w g T T u v gg w 零阶张量 i j k Lmn i ijk ijk ij jk .L .m k j.n i kdet( ) 6deT T T det t( () )       TT T 所以 i j k Lmn.L .m .n3 ijkT T( 6 T 1 det )   T 为不变量 ④对任意矢量v,w，可逆二阶张量T满足等式： T( ) ( ) det(T) ( )    T v T w T v w 证明： 根据 ( ) [ ( ) ( ) ] d e t ( ) ( )      T v T w T u vu wT 可得： T [( ) ( )] det( ) ( )      u T v T w T u v wT 25 由于上式对任意矢量u都成立，所以 T [( ) ( )] det( )( )     T T v T w T v w 等式两边左乘 TT 得： T( ) ( ) det( ) ( )    T v T w T T v w ⑤主不变量与张量矩之间的关系 张量的一阶矩： * i1 .i 1Tr( ) T    T 张量的二阶矩： * i k2 .k .iTr( ) T T   T T 张量的三阶矩： * i j k3 . j .k .iTr( ) T T T    T T T 第二不变量   k L 2 .i . j k L .i . j i .i . j ij kL i j i j k L L k j i j .i . j 2 1 * 2 1 T T 2 1 T T 2 1 ( T TT T ) 2 1 [( ) ] 2                第三不变量（作业题）     ijk L m n 3 Lmn .i . j .k i j k i j k i j k i j k i j k i j k L m n L m n m n L n L m m L n L n m n m L .i . j .k i j k j k i k i j j i k i k j k j i .i . j .k .i . j .k .i . j .k .i . j .k .i . j .k .i . j .k 3 i i .i .k . 1 e e T T T 6 1 T T T 6 1 1 (T T T T T T T T T ) (T T T T T T T T T ) 6 6 1 T T T 6                                             k j i j k j i k i k j j k i j .i . j .k .i .i . j .k .i . j .k . j .i .k * 3 * * * * * * * * * 3 * * * 1 3 3 2 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 T T T T T T T T T T T T T 6 1 1 1 ( ) (( ) 2 3 ) 6 6 6                                  张量的矩也是不变量 26 二阶张量标准形  特征值、特征向量   T v v ( )  T G v 0 i i j. j . j( T -λδ ) v 0 存在满足上式的非零矢量 v的条件（特征方程）为： 1 1 1 . 1 . 2 . 3 2 2 2 . 1 . 2 . 3 3 3 3 . 1 . 2 . 3 T T T T T T 0 T T T        特征方程可以写做： 2 3 3 2 1 0       特征根是不变量（方程中的系数 1 ， 2 ， 3 为不变量）  实对称二阶张量的特征根特征向量 实对称二阶张量的特征根是实根，特征向量为实向量   N v v (a) 对(a)取复共轭得： * * *  N v v (b) 用 *v 左点积(a)式： * *    v N v v v (c) 用 v左点积(b)式： * * *     v N v v v (d) (c)-(d):  ** * *       v N vv vv vN 由于      * * T **        v v N v N v vv v NN v 所以   * ** 0      v v 即为实数。 27 (a)式的分量表示：  i i j. j . jN v 0  方程系数 i i. j . jN  为实数，因而解 jv 也应是实数，即 v为实向量 实对称二阶张量不同特征根的特征向量互相正交 1 1 1   N v v （a） 2 2 2  N v v (b) 由(a)式可得： 2 1 1 2 1     v N v v v （c） 由(b)式可得： 1 2 2 1 2    v N v v v (d) 由于：  2 1 1 2 1 2 1 T 2          v N v N v v v v Nv vN 将(c)，(d)两式相减得: 1 2 1 2 1 2( ) 0 0      v vv v  约旦链 定理：如果是二阶张量T的二重根，则一定存在两个线性无关的向 量 1v 和 2v ，使：     2 1 2 2       T G v 0 T G v 0 但是，如果只存在一个特征向量 1v ,使 1 1   T v v 则一定存在约旦链： 1 1 2 2 1        T v v T v v v 原因： 重根意味着存在线性无关的向量使        1 2         T G T G v T G T G v 0 28 但由于 2v 不是特征向量, 因而   2  T G v 0 ,所以   2 1  T G v v 如果对称二阶张量存在 n 重特征根，则一定存在 n 个线性无关的特 征向量 (对称二阶张量不存在约旦链)。 证明：如果二阶对称张量N存在约旦链： 1 1  N v v (a) 2 2 1   N v v v (b) 那么： 2 1 1 2    v N v v v (c) 1 2 1 2 1 1      v N v v v v v (d) (c),(d)两式的左端项是相等的，它们的右端项也相等，从而： 1 1 0 v v 这与 1v 是特征向量矛盾。  重特征根相应特征向量的正交化 如果向量 1 2 3, ,v v v 线性无关，令 1 1 2 2 1 2 3 3 1 3 2 3         u v u u v u u u v 调整组合系数 i i,  一定可以使不同的矢量 iu 彼此正交： 1 2 0 u u ； 1 3 0 u u ； 3 2 0 u u 过程：由 1 2 0 u u 1 2 2 1 1      u v u u 29 由 1 3 0 u u 1 3 3 1 1      u v u u 由 2 3 0 u u 2 3 3 2 2      u v u u （这一过程称为格拉姆施密特 Gram-Schmidt 向量正交化） 如果 1 2 3, ,v v v 为N的 3 重特征根所对应的特征向量，则 1 11 1    N v vN u u    2 1 2 2 1 22 2         N u v u vN u u    3 1 3 2 33 3 1 2 33 3          N u u u vu v uN u 即：重特征根也存在彼此互相正交的特征向量  特征向量可以化为单位向量 如果   N v v 令   v v， 1   v v 则 2 1     v v v v 并且    N v v  对称二阶张量的标准形 对称二阶张量的特征根 1 2 3, ,   及其单位正交的特征向量 1g ， 2g ， 3g ： 1 1 1 2 2 2 3 3 3          N g g N g g N g g 将特征向量取为张量的协变基底，则度量张量 ii G g g 因而，对称二阶张量N的标准形（分量形式最简单的表达形式） 30       i i 1 21 2 3 2 2 3 1 1 3 3 3 1 2                     N N N G N g g g g g g g g gg Ng g g g N 其中 i ig g 。 举例：应力张量的标准形 1 2 31 1 2 2 3 3      σ g g g g g g 其中： i i i i   σ g g f 表明在外法线为 ig 的截面上，面力 i i i f g 与 ig 平行（剪应力为零。可见： 1 2 3, ,   为主应力， i i g g 为主 方向。  三维空间非对称二阶实张量标准形 1) 重根必然是实根 根据实张量的共同性质：虚根总是成对出现 * * *      T v v T v v 可知： 如果 为 2 重复特征根，则 * 也是 2 重复特征根，与 3 维空间中 的二阶张量只能有 3 个特征根矛盾。 推论：3 维空间中的二阶张量必有一个实特征根 2) 不同特征根所对应特征向量必线性无关 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ; ;         T g g T g g T g g 其中 1 2   ， 1 3   ， 3 2   。 在此条件下，如果特征向量线性相关，则可设： 3 1 1 2 2c c g g g (a) 那么： 31 13 3 3 1 2 3 23 c c   T g g g g (b)  3 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2cc cc        gT g T g gg (c) 对比二式可知：    1 1 3 1 2 1 3 2c c 0     g g 即    1 1 3 2 1 3c c 0      由于 1 2c ,c 必有一个不为零（否则 3 g 0）所以 1 3   ，这与特征 根互不相等矛盾。 3) 二阶实非对称张量的标准形 1) 互不相等的实根： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ; ;         T g g T g g T g g 利用张量T的特征根 i 和特征向量 ig 可以将T表示为： i 1 2 3i 1 1 2 2 3 3         T T g g g g g g g g （与实对称张量的标准形不同，上式中的基矢量 ig 不一定互相正交） 2) 有一对共轭虚根： 3 3 3 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 ( i ) ( i )( i ) ( i ) ( i )( i )                  T g g T g g g g T g g g g 其中 3 为实根。按照实、虚部分别相等，可将上式展开为： 3 3 3 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2             T g g T g g g T g g g 因此：     i i 1 2 3 1 1 1 2 1 2 1 1 3 3 1 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 1 1 2( )                            T T g g g g g g g g g g g g g g g gg gg g 32 3) 有重根时 此时，三个特征根皆为实根，特征向量也全部是实向量 1) 重根无约旦链 与互不相等实根情况相同： i 1 2 3 i 1 1 2 2 3 3         T T g g g g g g g g 2) 重根有一阶约旦链： 1 1 1 2 1 2 1        T g g T g g g 3 3 3  T g g 因此 i 1 2 3 2i 1 1 1 2 3 3 1           T T g g g g g g g g g g 3) 重根有二阶约旦链： 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2            T g g T g g g T g g g 因此 i 1 2 3 2 3 i 1 32 1 211 1             g ggT T g g g g gg g g g 约旦链存在的条件：n 重特征根 只有 m (m方法

快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载