可靠性理论－第8章 可靠性蒙特卡洛法模拟

null蒙特卡洛法蒙特卡洛法蒙特卡洛法蒙特卡洛法 随着科学技术的发展， 研究问越来越复杂，用传统的数学方法处理时， 有时会遇到很大困难，而用蒙特卡洛模拟方法则能有效地解决。 蒙特卡洛法是以统计抽样理论为基础，用随机数对有关独立随机变量进行抽样实验或随机模拟， 以求得随机函数的函数值、统计特征值(如均值、概率等) 和分布， 作为待解问题的数值解，是求解技术问题近似解的一种数值计算方法。它可应用于随机函数服从任意分布，既可解决不确定的问题， 也可以用于解决确定性的问题。蒙特卡洛法蒙特卡洛法基本思想和原理 在机械零件可靠性中， 主要研究零件应力和强度的关系, 而应力和强度是某些独立随机变量的函数, 也就是说应力和强度也是随机变量。 根据机械可靠性设计理论, 如果应力小于强度则零件不会发生破坏, 否则零件将失效。 如果已知独立随机变量的取值, 就可以根据它们之间的函数关系式计算应力和强度, 经统计预测零件失效的可能性大小。采用蒙特卡洛法研究机械零件的可靠性, 实质上就是从应力分布中随机地抽取一个应力值S , 再从强度分布中随机地抽取一个强度值δ, 比较强度与应力的大小, 如果应力大于强度则零件失效, 反之则安全。 通过大量随机抽样比较, 可以得到零件的失效总数, 失效总数与模拟总数的比值就是零件失效概率的近似值, 其计算精度随着模拟次数的增加而提高。蒙特卡洛法蒙特卡洛法 (1) 输入原始资料(如强度函数、应力函数、状态函数的达式) , 强度函数δ = f ( x1 , x2 ,⋯, xn) ; 应力函数s = g ( y1 , y2 , ⋯, ym ) ; 状态函数z = r - s 。设有矩形拉杆，已知，材料的拉伸强度为，拉杆的拉伸力为，拉杆的横截面尺寸，均服从正态分布，求拉杆的可靠度。null设有矩形拉杆，已知受载荷： 材料横截面尺寸： 材料的拉伸强度为： 求拉杆的可靠度。 假定所有变量都服从正态分布则相应的变量为： 强度公式为：应力公式为：null(2) 确定独立随机变量xi 和yi 的概率密度函数和累积分布函数。强度函数中独立随机变量xi 的概率密度函数和累积分布函数分别为fxi ( xi) 和Fxi ( xi) ; 应力函数中独立随机变量yi 的概率密度函数和累积分布函数分别为gyi ( yi ) 和Gyi ( yi ) 。 例如独立随机变量xi 的概率密度函数fxi ( xi ) 和累积积分布函数Fxi ( xi) 如图1 和图2 所示。图1图2蒙特卡洛法蒙特卡洛法蒙特卡洛法蒙特卡洛法(4) 在(0 , 1) 区间内, 生成服从均匀分布的随机数RNXi 和RNYi 。例如在第j 次模拟试验中,随机数与对应独立随机变量的对应关系如图3 所示。图3蒙特卡洛法蒙特卡洛法（c）对强度函数中的每一变量xi，在[0，1]之间生成许多均匀分布的随机数F（xij）     对于给定的F（xij），可由上式解出相应的xij。所以，对每一个变量xi，每模拟一次可得一组随机数（x1j，x2j，……，xnj），例如第一次模拟得出的一组随机数为（x11，x21，……，xn1），见图3。 蒙特卡洛法蒙特卡洛法　(6) 计算第j 次模拟的强度δj 和应力Sj 。 δj= f ( x1 , j , x2 , j , x3 , j , ⋯, xn , j) Sj = g ( y1 , j , y2 , j , y3 , j , ⋯, ym , j) 　　(7) 比较强度δj 和应力Sj 的大小, 若δj ≥Sj , 则k = k + 1 。 (8) 重复(4) 、(5) 、(6) 、(7) 步, 直到j =N ( N 为总试验次数) 。 (9) 计算可靠度, R = k/ N 。蒙特卡洛法蒙特卡洛法蒙特卡洛法蒙特卡洛法设有矩形拉杆，已知受载荷： 材料横截面尺寸： 材料的拉伸强度为： 求拉杆的可靠度。 假定所有变量都服从正态分布 应力公式为：蒙特卡洛法蒙特卡洛法力F的概率密度力F的概率蒙特卡洛法蒙特卡洛法尺寸a尺寸b蒙特卡洛法蒙特卡洛法强度δK＝k+1蒙特卡洛法蒙特卡洛法