平面与直线方程小结

平面与直线总结 1/3 平面与直线总结 平面方程 直线方程 1．一般式方程 0=+++ DCzByAx 平面的法向量 { }CBAn ,,=v 2．一般式方程（两平面交线） ⎩⎨ ⎧ =+++ =+++ 22222 11111 0 0 π π 平面 平面 DzCyBxA DzCyBxA 直线的方向向量 21 nns vvv ×= 2．点法式方程 已知平面上的点 及其 平面的法向量 ，则 ),,( 0000 zyxM { }CB,An ,=r 0)()()( 000 =−+−+− zzCyyBxxA 2．标准式（对称式）方程 已知直线上的点 及其 直线的方向向量 ),,( 0000 zyxM { }nml ,,s =v ，则 n zz m yy l xx 000 −=−=− 3．截距式方程 已知平面在三个坐标轴上的截距分别为 ，即平面过点cba ,, ),0,0()0,,0()0,0,( cba 则 1=++ c z b y a x 3．参数式方程 已知直线上的点 及其 直线的方向向量 ),,( 0000 zyxM { }nml ,,s =v ，则 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += += += ntzz mtyy ltxx 0 0 0 4．三点式方程 已知平面上的三点 ， ， ， 则 ),,( 1111 zyxM ),, 333 zyx),,( 2222 zyxM (3M 0 131313 121212 111 = −−− −−− −−− zzyyxx zzyyxx zzyyxx 4．两点式方程 已知直线上的两点 ， ， 则 ),,( 1111 zyxM ),,( 2222 zyxM 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx − −=− −=− − 平面与直线总结 2/3 平面间的关系 设有两个平面： 0: 0: 22222 11111 =+++ =+++ DzCyBxA DzCyBxA π π 平面与直线间的关系 设有直线与平面： n zz m yy l xx L 000: −=−=− 0: =+++ DCzByAxπ 直线间的关系 设有两条直线： 1 1 1 1 1 1 1 : n zz m yy l xx L −=−=− 2 2 2 2 2 2 2 : n zz m yy l xx L −=−=− 1．平行的充要条件 2 1 2 1 2 1 21 // C C B B A A ==⇔ππ 1．平行的充要条件 0// =++⇔ CnBmAlL π 1．平行的充要条件 2 1 2 1 2 1 21 // n n m m l l LL ==⇔ 2．垂直的的充要条件 021212121 =++⇔⊥ CCBBAAππ 2．垂直的的充要条件 n C m B l AL ==⇔⊥π 2．垂直的的充要条件 021212121 =++⇔⊥ nnmmllLL 3．夹角的确定 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121cos CBACBA CCBBAA ++++ ++=θ 3．夹角的确定 222222 sin nmlCBA CnBmAl ++++ ++=θ 3．夹角的确定 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121cos CBACBA CCBBAA ++++ ++=θ 平面与直线总结 3/3 点 到平 面 ),,( 0000 zyxM 0=++ DCzBy: +Axπ 的距 离为 222 000 CBA DCzByAx d ++ +++= 点 到 直 线),,( 0000 zyxM n zzy 11 −= m y l xx L 1: −=− 的距离为 222 101010 01 nml nml zzyyxx kji s sMM d ++ −−− =×= vvv 0M l 1M 或 210 2 10 ])[( sMMMMd r−= 两个平行平面 0: 0: 22 11 =+++ =+++ DCzByAx DCzByAx π π 间 的 距 离 222 21 CBA DD d ++ −= 两条异面直线 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 : : n zz m yy l xx L n zz m yy l xxL −=−=− −=−=− 间的距离 222 111 222 111 121212 nml nml kji nml nml zzyyxx d rrr −−− = 由方程可得 ， ),,( 1111 zyxP ),,( 2222 zyxP 故两条直线共面的充分必要条件： 0)( 2121 =⋅× PPss vv