扭转

nullnull§7–1 扭转的概念和实例 §7–2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §7–3 薄壁圆筒的扭转 §7–4 圆轴扭转时的应力 强度条件 §7–5 圆轴扭转时的变形 刚度条件 第七章 扭 转 (Torsion) null§7–1 扭转的概念和实例null汽车方向盘汽车方向盘nullnullnull丝锥攻丝丝锥攻丝null构件的受力特点：在垂直于杆件轴线的两个平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶。 扭转变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动.轴: 以扭转为主要变形的直杆称为轴．如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。 null扭转角（）：任意两截面绕轴线相对转动而发生的角位移。 剪应变（）：纵向线倾斜的角度（直角的改变量）。null§7–2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 一、传动轴的外力偶矩 其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s , 1kW=1.36PS所以传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系为：null二、扭矩和扭矩图 2 截面法求扭矩 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。3 扭矩的符号： 3 扭矩的符号规定： 右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)null4 扭矩图：示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。(1) 扭矩变化规律目的:null解:(1)计算外力偶矩[例7-2-1]null(2)计算扭矩(3) 扭矩图nullE D C B Am4 m3 m2 m1解：nullnull解：null[练习2] 求轴力图解：null§7–3 薄壁圆筒的扭转 一、 实验：1 实验前：(1) 绘纵向线，圆周线； (2) 施加一对外力偶 m。null2 实验后：（1）圆周线不变； （2）纵向线变成斜直线。3 结论： （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度  。（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。null（1）无正应力4  与  的关系：取微小矩形单元体如图所示：（2）横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。null二、 薄壁圆筒剪应力 大小： A0：平均半径所作圆的面积。null三 、剪应力互等定理： 上式称为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。 null剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。四、剪切虎克定律：null 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。null五、剪切应变能单元体微功：剪切应变能密度：剪切应变能：null等直圆杆横截面应力(1)变形几何关系 (2)物理关系 (3)静力学关系 1. 横截面变形后仍为平面, 只是刚性地绕杆轴线转动； 2. 轴向无伸缩；一、等直圆杆扭转实验观察： 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一微小角度  。可假设： 圆周扭转时可视为 许多薄壁筒镶套而成。可认为：§7–4 圆轴扭转时的应力null二、等直圆杆扭转时横截面上的应力1 变形几何关系：距圆心为  任一点处的与到圆心的距离成正比。null2 物理关系：虎克定律：代入上式得：null3 静力学关系：代入物理关系式 得：null—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4 公式讨论：（2）式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。  —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。（1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。null单位：mm4，m4。（3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆,只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdOnull对于空心圆截面：Odnull（4）应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻,结构轻便，应用广泛。null（5）确定最大剪应力：Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）,几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：null[练习1] 判别下面截面上剪应力分布是否正确。null三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件： 沿横截面断开。铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。null1 点M的应力单元体如图(b)：(a)(b)(c)2 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：(d)null(d)nt转角规定： 轴正向转至截面外法线逆时针：为“+” 顺时针：为“–”由平衡方程：解得：null分析： 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 =  45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。null四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([] 称为许用剪应力。)强度计算三方面：(1) 校核强度：(2) 截面尺寸：(3) 计算许可载荷：[例7-4-1] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。[例7-4-1] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。Tm解：(1)求扭矩及扭矩图(2)计算并校核剪应力强度(3)此轴满足强度要求。D3 =135D2=75D1=70ABCmmx解:解:null解:解:null§7–5 圆轴扭转时的变形 刚度条件一、扭转时的变形由公式知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为null二、单位扭转角 ：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[ ]称为许用单位扭转角。null刚度计算的三方面：(1) 校核刚度：(2) 设计截面尺寸：(3) 计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。null[例7-5-1]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 []=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解: (1)设计杆的外径(2) 由扭转刚度条件校核刚度40NmxT代入数值得：D  0.0226m。(2) 由扭转刚度条件校核刚度null40NmxT(3)右端面转角为：null[例7-5-2] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º/m ，试确定： (1)AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ (2)若全轴选同一直径，应为多少？ (3)主动轮与从动轮如何安排合理？-解: (1)图示状态下 由强度条件：扭矩如图null由刚度条件Tx7.024 kNm4.21kNm得：null (2)全轴选同一直径时(3) 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。 (3) 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。解:解:解:解:null解:解:nullnull