波动分形及其性质

曲阜师范大学 硕士学位论文 波动分形及其性质 姓名：谈淑芬 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：王树泉 20080401 稿牮．师蘸大学硕士学位论文 曲阜师范大学博士／硕士学位论文原刽性说明 (在口划“4") 本人郑重声明：此处所提交的博士囝 硕士口 论文《波动分形 及其性质》，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士口 硕 士口学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外 不包含他人已经发或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明。本声明的法律结 果将完全由本人承担。 作者签名： 日期： 曲阜师范大学博士／硕士学位论文使用授权 (在口划“√’’) 《波动分形及其性质》系本人在曲阜师范大学攻读博士口 硕士口学 位期间，在导师指导下完成的博士口 硕士口学位论文。本论文的研 究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名 义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部f1送交论文的复印件和电子版本，允许论文 被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手 段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容。 作者签名：谈f知多 日期：参p·6 导师签名： 曰期： 曲阜师范入学硕士学位论文 摘要 Mandelbort研究了市场价格的变化，得出了价格变化的标度律，他利用标度律 首次研究了很多商品的价格、某些利率以及十九世纪的证券价格．本文利用这一 思想，为描述市场价格波动的规律。构造了一个理想模型一波动分形．对波动分形 的研究有助于我们在理想的状态下解释现实，逼近现实． 本文分三章．第一章给出了波动分形的概念及其椰表达式；第二章计算了波 动分形的盒维数、分形维数、Hausdorff维数和Hausdorff测度；第三章给出了波动 分形的分形插值，并计算出了分形插值函数的分形维数． 本文主要结果如下 定理1．2．1波动分形F的IFS为{R2；瞩，％，呢，形，吆，呢}，其中 暇= 职= 职= 三 o 7 o 三 5 —4 O 7 O一4 5 1 o 7 o 1 5 Ⅲ弘= ” 盼 3 ‘—_ 2 l ●—— 2 9 ●—— 2 3 ●—— 2 ；％= ；哌= 三 o 7 o 1 5 三 o 7 o 三 5 —4 0 7 0—4 5 (；)+ ㈢+ l ●—— 2 1 ●—— 2 5 ●—— 2 3 ●—— 2 Ⅲ≯ 定理2．1．1波动分形F的盒维数是109，7． 定理2．1．4波动分形F的盒维数，分维数和Hausdorff删11，为log，7． 定理2．2．1波动分形F的Hausdom测度是(圭)川(2p+1+4p)，其中p=l。g，7． 定理3．1．1IFS{R2；彤，％，呢，％，％，哌}是吸引子，即为波动分形F的插值 函数． 2 曲阜师范人学硕士学位论文 定理3．2．1波动分形F的插值函数的分维数为D=log，7． 关键词：分形IFS迭代函数系统盒维数分维数Hausdorff维数 Hausdorff测度分形插值吸引子 曲宁师范大学硕．}：学位论文 Abstract Mandelbortstudiedthechangesofmarketprices。andobtainedthescalelawof pricechanges．Byusingthescalelaw,hefirststudiedpricesofalotofcommodities， certaininterestratesandthepricesofsecurities．BasedonMandelbort’Sidea，this thesisconstructsanidealpattem--fluctuatingfractaltodescribethelawofthemarket pricechanges． T11isthesisconsistsofthreechapters．Inchapterone，wegivethedefinitionof thefluctuatingfractalanditsIFsexpressions；Inchaptertwo，wecalculatethe fluctuatingfractal’Sboxdimension，fractaldimension，Hausdorffdimensionand Hausdorffmeasure；Inchapterthree，wegivethefractal’Sfractalinterpolationandthe interpolation’Sfractaldimension． Mainresults： Theorem1．2．1 TheIFSof the fluctuatingfractalF is {R2；彤，％，呢，呢，呢，睨}，where } 蚴僻％： jj 扣+c|] 淞十f|]5J L2／ 扣+[|] 扣+[|] j 蚴埘 s1 Theorem2．1．1TheboxdemissionofthefluctuatingfractalFisl0957． Theorem2．1．4Theboxdemission．fractaldemissionandHausdorffdemissionof Farethesametol0957． Theorem2．2．1TheHausdorffmeasureofthefluctuatingfractalFis (圭]，一1(2p+，+4p)，V以，a．ep=l0957． 4 1—7 0 ，，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．。．．．．．．．一／ 2—7 0 ／，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．L 2—7 0 ，，，．．．。。．．。。．．．．．．．．．．_／ 4—7 0 ／，，．．．．．．．．．．．．．．．。。．．。．．．L 4—7 0 ，，，．。．．．．．。。．．．。。。。．。．。。。L 1—7 O ／，，．．．．．．．．．．。。。．．．．．．．。．．L ％ 暇 磁 曲阜师范人学硕上学位论文 Theorem3．I．1IFS{R2；％，％，％，％，％，哌)isanattractor,andit isthe fi'actalinterpolationfunctionofF． Theorem3．2．1ThefractaldimensionofthefractalinterpolationisD=l0957 Keys：fractal，IFS(iteratedfunctionsystem)，boxdimension，fractal dimension，Hausdorffdimension，Hausdorffmeasure，ffactalinterpolation，attractor． 5 fI}I阜师范人学硕士学位论文 第一章波动分形 Mandelbort研究了市场价格的变化，得出了价格变化的标度律，他利用标度律 首次研究了很多商品的价格、某些利率以及十九世纪的证券价格．市场价格的变 动在短期内完全是随机的，但在长期内，从统计学观点解析这一变动，就会发现市 场价格波动又存在着一定的规律． 本文构造了一个特殊分形，称之为波动分形．波动分形是市场价格规律的理 想模型，我们试图用波动分形描述市场价格波动规律． 第一节波动分形的定义 本节将用集合的方法构造一个分形，其初始图形如下图所示，记为E。 、 5／2 2 1 3／2 7／2 9／2 5 7 在E。中所有上升线段的斜率均为l，下降的线段斜率均为一l，六条折线段的 长度比例为1：丢：2：1：丢：2，在E。这条折线上有6×3。一1=5个不可微点．分别为：‘ (·，-)，(吾，圭)，(三，三)，／9，三)，(5，2) 第一步所有上升的线段用类截[。丢]上的折线来迭代，即把[。丢]这段折线 7 曲阜师范人学硕上学位论文 段上下左右都压缩，压缩后折线段的长度比例仍为l：三：2；所有下降的线段用类似 医，7]上的折线来迭代，仍然把曙，7]这条线段上下左右压缩，压缩后折线段的 长度比例依然为1：丢：2．此时，得到的图形我们记为巨，如下图所示． O l 2 3 4 5 6 7 易知，E有6x3’条折线段，6x31—1个不可微点，分别为： (·；，詈]，(·；，{)，(-，·)；(·事，詈)，(·{-；，云)，(·三，三)； (罟，等)，(罟，杀)，(三号)；(罟，斋)，(善，等)，(兰丢)； (箐，鼍]，(箐，篱)，(5'2)；(等专)，(等专)． 第二步对E中的6x31条折线段重复第一步中的过程，即上升线段仍用类似 [。考]上的折线来上下左右压缩迭代，且迭代后的折线段长度比例仍为1：三：2；所 有下降线段用类似[三，7]上的折线来上下左右压缩迭代，且迭代后的折线段长度 比例也依然为1：三：2．此时，我们把得到的折线段记为岛，易有6×32条折线段，和 6x32-1个不可微点．如下图所示(因方便起见，我们只做出【o，1】上的图形)． 8 曲阜师范人学硕士学位论文 1 4／5 3／5 2／5 1／5 0 1／7 2／7 3／7 4／7 5／7 6／7 l 继续重复上述过程． 易知，第门步时，E有6×3”条折线段，和6×3”一1个不可微点；当n取oo时，E 是一条处处连续，处处不可微的折线，我们把它记为，．以下文中提到的F均表示 在此得到的这条分形曲线，称之为波动分形． 显然，波动分形在(R，Euclid)空间中的长度为∞，而在《R2，Euclid)空间中的 面积为O。换言之，有 定理1．1．1波动分形在传统的欧氏几何领域是不可度量的． 第二节波动分形的IFS迭代函数系统 为了更好地用分形模拟现实，获得逼真的图像，人们往往通过一系列的仿射 变换编制程序，用计算机绘制出来．因此需要研究分形的IFS迭代函数系统．具体 地，本节给出了波动分形的IFS迭代函数系统的表达式． 定义1．2．1椰迭代函数系统I‘J一个迭代函数系统由一个完备的度量空间 (X，d)和一个有限的压缩映射集rv：X专x，，z=l，2，3，⋯，N及其相应的压缩因 子s。，胛=l，2，3，⋯，Ⅳ所组成．”IFS”本是“IteratedFunctionSystem”的缩写，现在用 它来表示{x；呒，疗=1，2，3，⋯，N}，且其压缩因子便是s=max{s．：疗=1，2，3，⋯，N}． 假设波动分形的IFS迭代函数系统存在，设它的仿射变换为 ％(B)=以B+乙，甩=l，2⋯ 第一步迭代时，因为有6条折线段，每条折线段都被迭代一次，所以有6个仿射 9 变换，因此刀=6． 曲阜师范大学硕士学位论文 。，1】上时，第一次迭代实际上是把[。丢]压缩到【0，l】上．先确定[。丢]上的o，l】上时，第一次迭代实际上是把lo{l压缩到【0，l】上·先确定Io{I上的 三个点(，，1)，(三，圭)，(吾考)，它们在五中相应的坐标分别为(号，詈)，(号，喜)，(1，1)， 故可以确定一个仿射变换． 计算得 故第一个仿射变换为 ％(B)= 同理可以确定其它五个仿射变换． 经计算得 ％(B)= 磁(B)= 10 c+d+厂=詈 Ⅲ趵 f，1、 圳引 L互／J f，3、 叫|j 1—5 1 II II ∥ ， + + d d ●一2 5—2 + + C C 3—2 7—2 与 3—7 1 = = 2—7 e P |I + + P 西 易 ¨ 1—2 5—2 6 + + + 口 口 口 3—2 7—2 0 2—5 O 刊 = = c a ， ，●●●●●●●●●●‘●●●●●●●●●●、 一，I一 2—7 O O = J| ll 口 6 P ＼、●●●●●●●●一、 0 2—5 2—7 O ，，f．．．．．．．．．．．．．．．。．。．．．。．．．．．一／ 一、●●●●●●●●J＼、●●●●●●●●一、 O l一5 0 4—5 l一7 0 ，，，．．．．．．。。。．．．．．．．．．．．．．．一／ 4—7 O 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=呒 =睨 f9＼ 叫割； r32、 (；)+l了| t；l 驷+圉5》 ＼s； ㈢ ㈢ ㈢ ÷ O 2—5 2—7 O ，，。，。。。。。。。。．．．．．。。。．。。。。L＼，●●●●●●●●，， O ●一5 l一7 O2石o ，ffIiI-ltlI●●●●●l●-●●●●ltt、 0 ，一S l一7 O ，，，。．．．．．．．。。．．。．。，。。，。弋＼、●●●●●●，，，夕 0 l一5 l一7 O ，ff-。．I--．-。-．-．．．．。．。t。-，，。I_k＼、●●●，，●，，，夕 娩一7 8—5，，f。。．．．．．．。．．．．．．．．。。。。，≮ ●一钞 o ，f。。。。，。．．．．．。。。。。。。。，。k 4—7 0 ，，，．．。．．．．．．．．．。。。，，。。。。。k＼、●●●●，，，，， O l一5 1—7 e ，，．．。．。．．．．．。。。。。。。。。，，。。。k I| 一、●●●●●，；，，，的一M强一沁，，，。．．．．。。，，。．。．。。。，。，。，，k + ＼●，，， X 夕，，，I●●●l；＼、 、、●●●，，，，●；／ o 4一笱 4一的 o ，，，．．．．．。。．．。。。，。，，。，，。℃ ＼、●●●，；；●●， ”一7 6—5，，f．．．．．．．。。。。，。。；，，，。，，。。k O 2—5 2—7 O ，，，．．。．。，。。，，，+，，，。；。。，L、，●，；，；；，』 0 4—5 4～7 O ，t，．．．．．。，。。。。，。，；。，。。。。．、＼ |l ＼、，●，，，；，●j ”一7 6—5，，，．。．．。．．。，。，；，。。。。。。。L + ．、，，，j X 罗／f，，，，l＼ 、、●●●，，，，●●， o 8一巧 8一够 o ，．，。．．．。．．．．。。。。。。。。，。，，。。。＼ 、，，；，●●，●』 四一7 6—5，，，，．。。。。。。。。。。，。。，。。。。。。。L + O l一5 l一7 O ，，』．。．。。。。。。，，，，。。，。。。。。。。。．L、，，，；●；●●●， O 4—5 4—7 O ＼、，，，；●，●●／四一?6—5，，，．．．。。。。，，。。，。。。。。。。。。。L + ＼；；；， X y，，，。。，，．k ＼、；，，；；，；●／ o 4一筋 一、；；，●●●／ 驺一7 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