浙江大学复变函数模拟试卷2份

复变与积分变换(2000年（上） 第一部分（共40分）  一、单项选择（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。  1、设z=1-√3i，则（）                            π                                  π   A、|z|=2，arg z=- ---        B、|z|=1，arg z=---                            3                                   3                           π                                 π       C、|z|=4，argz=- ---         D、|z|=2，argz=---                           3                                  3  2、下列复数达式中正确的是（）                              π  A、-1=eiπ     B、-1=-e-iπ    C、-1=-eiπ     D、-1=e-2i     （1+i） （2-i） 3、-------------=（）          I 2A、1+2iB、2+iC、1-3iD、-1-3i  4、函数f（z）=|z|2在复面上（） A、处处不连续 B、处处连续，处处不可导 C、处处连续，仅在z=0点可导 D、处处连续，在z=0点解析  5、在复数域内，下列数中为实数的是（） A、（1-i）3        B、ii          C、1ni       D、√-8  6、解析函数的实部u（x，y），和虚部v(x,y)所满足的柯西-黎曼条件为（）     u      υ    u    υ                   u    υ     u       υ   A、---=---,---=---           B、---=---,---=- ---     x     y     y    x                   x    y     y       x      u     υ    u    υ                   u       υ    u     υ   C、---=---,---=---           D、---=- ---,---=---       x     x    y    x                  x      y   y     x   7、2sini=（） A、（e-1-e）i                 B、（e+e-1）i C、（e-e-1）i                 D、e-e-1  8、设f（z）=u（x，y）+iυ（z，y）是一个解析函数。若u=y，则f′（z）=（） A、i           B、1           C、1           D、-i  9、设C是从z=0到z=1+i的直线段，则积分∫zdz=（）                                                  c A、0            B、2            C、1           D、1+i                  10、设C为正向圆周|z|=1，则积分∮ezdz=（）                                          c A、1           B、2π          C、0          D、2πi              i 11、积分∫ zsinzdz=（）             -i A、2πi         B、0           C、1          D、-2e-1i  12、设C1为正向圆周|z|=1，C2为正向圆周|z-2|1，则积分       1      cosz      1     sinz     ----∮ ----dz+----∮ ---dz=（）      2πi c1 z-2     2πi  c2z-2 A、sin2         B、cos2        C、0          D、2πi                                                                    z5 13、设C是围绕z0点的正向简单闭曲线，则积分∮ ---------dz=（）                                                       c （z-x0）3 A、0            B、2πi         C、2πz50i    D、20πz30i  14、 复数列an=e-in，n=0，1，2，…则liman（）                                                 n→∞ A、等于0         B、不存在，也不是∞ C、等于1         D、等于∞  15、在z=0的领域内1n（1+z）=       ∞ （-1）n-1                         ∞ zn A、 ∑ --------zn                 B、∑---          n=1     n                           n=1 n       ∞ 1+（-1）n                        ∞  C、 ∑ --------zn                 D、∑ （-1）n-1zn         n=1     n                          n=1                 ∞  1+（-1）n   16、幂级数 ∑ ----------zn 的收敛半径为（）               n=0 3n                                                 1 A、9            B、3            C、---        D、+∞                                         3                  ∞  （-1）n  17、罗朗级数∑--------- 的收敛圆环域为（）                n=0（z-2）n+2 A、1<|z-2|<2                    B、1<|z-2|<+∞ C、0<|z-2|<1                    D、2<|z-2|<+∞                       1           1 18、z=1是函数-------cos------的（）                 （z-1）5     （z-1）5  A、本性奇点       B、可去奇点      C、5阶极点     D、10阶极点  19、设z0是函数f（z）的m阶极点，则Res[f（z），z0]=（）      1         dm A、---lim ---[（z-z0）mf（z）]      m！z→z0dzm         1             dm-1    B、------ lim -----[（z-z0）m-1f（z）]   （m-1）！z→z0dzm-1        1              dm-1    C、------ lim -----[（z-z0）mf（z）]   （m-1）！z→z0dzm-1 D、lim（z-z0）mf（z）    z→z0   20、保角映射w=ez将Z-平面上的带形区域00射成为W-平面上割去正实轴的复平面，并将点z=-1,1，i分别映射成w=∞,0,1。  37、积分变换 （1）设F（ω）=F[f（t）]。试证明F[F（-t）]=2f（ω）。（5分）  （1）利用拉氏变换解微分积分方程：                    t      y′（t）-∫ cosτ·y（t-τ）dτ=a，t>0     {             0      y（0）=0 （其中为常数） 一. 计算（32分，每题8分） 1. 求 . 2. 计算积分 ，其中曲线 ， 从 变到 。 3. 计算积分 ，曲线正向. 4. 利用留数理论计算定积分 . 二．（8分）利用留数理论证明 三.（10分）设函数 是全平面的解析函数，应用柯西一黎曼方程（1）求 ，m，n的值；（2）求 . 四.（10分）把函数 在环域：（1） ；（2） 中展开成罗朗级数；并指出 的值. 五.（15分）（1）证明拉氏变换的时移性质，即证明：若 ，则对于 ，有 . （2）应用时移性质求函数 （ 实数）的拉氏变换. （3）求函数 （a实数）的拉普拉氏变换。 六. （15分） 1、​ 映射 变区域 为什么区域？说明理由. 2、​ 求将区域 保角地映射为W平面上区域 的任意一个映射. 七. （10分）设 在单连通区域D内除点z0外解析，在z0点近旁有 ，这里常数 ，证明：对于D内包含z0的任何简单闭曲线C，有