隐函数的求导公式

§5、隐函数的求导公式 第5节​ 隐函数的求导公式 要求：会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数。 重点：隐函数（组）的求导公式与求导法。 难点：理解隐函数（组）的存在定理，隐函数组的求导法。 作业：习题8－5（ ） 一．一个方程的情形 在一元函数微分中，曾引进了隐函数的概念，并介绍了不经过显化直接由确定隐函数的方程 ，求它所确定 是 的隐函数的导数的方法．下面可利用多元复合函数的求导法则来推出隐函数的求导数公式． 例如，方程 确定隐函数的偏导数为 ． 如果 ，则方程 两边对 求导，有 ，从中解出 ． 1．隐函数存在定理1 设函数 满足条件 （1）在点 的某一邻域内具有连续的偏导数； （2） ； （3） ， 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续导数的函数 ，它满足条件 ，并有导数公式 ． 说明：求偏导数 时，将函数 中 视为常数，对 求偏导数； 求偏导数 时，将函数 中 视为常数，对 求偏导数． 例1．验证方程 在点 的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数 ，当 时 ，并求这函数的一阶与二阶导数在 的导数值． 解 设函数 ， 则 ， ，显然偏导数连续，且 ，又 ，因此由定理1可知方程 在点 的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数 ，当 时， ．有导数 ， 二阶导数为 ． 如果函数 的二阶偏导数连续，可求出二阶导数公式 ． 2．隐函数存在定理2 设函数 满足条件 （1）在点 的某一邻域内具有连续的偏导数； （2） ； （3） ， 则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续偏导数的函数 ，它满足条件 ，并有偏导数公式 ， ． 公式的推导： 由于 确定二元函数 ，将其代入方程 中，得 ，方程两边分别对 和 求偏导数得 ， ， 由上面两式分别解出偏导数 ， ． 说明：求偏导数 时，将函数 中 视为常数，对 求偏导数； 求偏导数 时，将函数 中 视为常数，对 求偏导数； 求偏导数 时，将函数 中 视为常数，对 求偏导数． 例2．设方程 ，求 ， ． 解 方法1：设函数 ．则 ， ， 于是 ， ． 上式 再对 求偏导数，得 ． 方法2：方程 两边对 求偏导，得 ，解得 ， 通理得 练习：设方程 ，求 ．（用两种方法求一阶导 ， ） 例3．设方程 确定函数 ，且 偏导数存在，求 ． 解 令 ，其中 ， ， ， ，则 ． ． 也可以用方法2求偏导数． 练习题 设方程 确定函数 ，而 偏导数存在，且 ，求 ． 二．方程组的情况 1．方程组 ⑴ 这是两个方程四个变量的方程组，一般只能有两个变量独立变化，所以方程组⑴可确定两个二元函数 ，将其代入⑴中，得 ， 将上式两边分别对 求偏导数，得 ， 这是关于 的线性方程组，可以从中解出 ，也可用行列式求解．见下面定理3． 隐含数存在定理3 设函数 ， 满足下列条件 （1）在点 的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数； （2） ， ； （3）函数 的偏导数所组成的函数行列式(或雅可比行列式) ，在点 则方程组 ， 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ，满足条件 ， 并有偏导数公式 ， ， ． 例4．设方程 ， ，求偏导数 ． 解 将所给方程的两边对 求偏导数并移项，得 在 条件下， ； ． 同理，方程的两边对 求偏导数，解方程组得 ， ． 2．由方程组 ， 可确定两个一元函数 ， 的导数公式． 方程 ， 两边对 求导，得 ，从中解出 ， ． 例5．设 ， ，求 ． 解 方程 ， 两边对 求导，得 ， 因为 ， 于是 ， ． 例6．若函数 可微，又 ， 为连续函数，求 ． 解 因为 ， 又 ， 所以 ， 于是 ，( )． 例7．设 ，而 是由方程 所确定的 函数，其中 都具有一阶连续偏导数，试证明 ． 解 因为 ，从中解出 ， 又因为 由方程 确定，所以 ， 于是 ． 例8．设函数 由方程组 ， ， 确定，求 ． 解 函数 对 求偏导数，得 ， 方程 对 求偏导数得 ， 方程 对 求偏导数得 ， 解方程组 ，得 ， 于是 ． 同理 ． 思考题 1．若方程 确定了 为 的函数，那么如何求二阶偏导数 ？