第15讲 待定系数法

第25讲 待定系数法 第15讲 待定系数法 给我五个系数，我将画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。 ——柯西 知识方法扫描 在解答一些与多项式相关的问题时，可先设出某些尚待确定的系数，然后根据已知条件来确定这些系数的值，从而解决问题，这样的方法，称为待定系数法。 确定待定系数的因题而异，其中使用得最多的是恒等式的概念和多项式的恒等定理:即如果两个化简后的多项式恒等，那么它们对应的同次项的系数分别相等。 经典例题解析 例1．(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛)如果2x2 - 3x -1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式，那么 = 解法1 由已知 2x2-3x-1 =a(x-1)2+b(x-1)+c = ax2 - 2ax+a十bx -b+c =ax2+（b- 2a）x+a-b+c 根据恒等式的性质 解得 所以 解法2 由已知 2x2-3x-1=a (x-1)2+b (x-l) +c 根据恒等式的意义，当x取0、1、2时，等式仍然成立 所以 解得 故 评注 解法1是根据恒等式的性质，比较等式两边的同次项系数，得到关于待定系数的方程组，从而求出未知系数的值．因此，这种方法又叫比较系数法； 解法2是根据恒等式的意义，对a赋以不同的值得到关于未知系数的方程组，从而求出未知系数的值，这种方法又叫做赋值法． 例2．(1983年黄石市初中数学竞赛试题)设 为x的多项式，当 时， 的值是 ，试求出多项式 解 设 ，则 令 ，代入(1)中即得C=8．再将C=8代入(1)中又得 从而即有 又令a=-l代入(2)中即得B=-9．最后令a=0以及B=-9，C=8代入(1)中得A=2，于是 。故所求的多项式为 。 例3．（2002年“五羊杯”数学竞赛试题）已知 ，其中A，B，C，D为常数，则A= 。 解 通分，并比较等式两边的分子可得 2x3-3x2+6x-1=(Ax+B)(x2+3)+(Cx+D)(x2+1)， 即 2x3-3x2+6x-1=(A+C)x3+(B+D)x2+(3A+C)x+3B+D 于是 ， 解得 ， 所以 A=2. 例4．(1998年北京市初中数学竞赛试题)多项式x2+axy+by2-5x+y+6的一个因式是x+y-2，试确定a+b的值 分析 题目条件中给出了一个二次多项式，及一个一次因式，我们需要设出另一个一次因式．观察已知二次式的二次项是x2、xy、by2，常数项是6，已知一次因式的一次项是x、y，常数项是-2，所以另一个一次因式可以设为x+by-3. 解 由已知，可设另一个因式为x+by-3，则 x2+ axy+ by2 -5x +y+6 = (x+y-2)(x+by-3) = x2+ (b+1)xy+ by2-5x- (2b +3)y+6 比较系数，得 , 解之，得 所以a+b= -1-2= -3． 评注 关于x、y的一次式一般形式为Ax+By+C，其中含有三个待定系数，当题设条件不能经观察确定A、B、C中某几个数值时，就要设成一般式．如果本题中的另一个一次因式，设成 x+my+n，那么比较系数，得 得出 , 从而求出a+b= -3． 原式= (x+y-2)(x+my+n) = x2+(1+m)xy+my2+(n-2)x+(n-2m)y-2n。 比较这两种设法，前者只需解一个二元一次方程组，而后者则要解一个四元一次（五个方程）的方程组，大大增加了工作量。因此，应用待定系数法解题，要根据题目的要求，恰当地设定未知系数。 例5．（1995年湖南常德市初中数学竞赛）当p,m为何值时，多项式 能被 整除？ 解 设 ，即 比较两边同次项系数，得 解得 于是，当p＝－5，m=－2时，多项式x3+px－2能被x2+mx－1整除。 例6．（1993年浙江温州市初中数学竞赛）已知多项式 能被x2+p整除，求证：ad=bc。 分析因为 所以存在商式q(x)，使 ， 显然q(x)是一次因次，且首项系数为a,即 （其中m为待定系数）。由此推证ad=bc。 解 设商式为ax+m，则 即 比较同次项系数，得 ①代入③，得 bp=d ④ 由②，得 代入④，得 所以ad=bc. 例7．（1992年甘肃兰州市初中数学竞赛）如果 能够分解成两个二项式x+b,x+c的乘积（b,c为整数），则a应是多少？ 分析 运用多项式恒等式知识寻求a,b,c,关系，再从b,c是整数入手，适当变形，求出b,c进而求得a。 解 根据题意，得 x2-(a+4)x+4a-1=x2+(b+c)x+bc，则 由①×4+②，得 即 又b,c是整数，则 得 代入①，得a=4。 例8．（1999年天津市初中数学竞赛试题）k为何值时，多项式 能分解成两个一次因式的积？ 解 设 则 所以 由 ③、⑤，得 或 代入 ④，得 a+2c=-5 ……⑥ 或 2a+c=-5,……⑦ 解由①、⑥组成的方程组，得 解由①、⑦组成的方程组，得 代人②，得 同步训练 一、选择题 1．(2000年江苏省第15届初中数学竞赛试题)已知 ，其中A、B为常数，那么A＋B的值为（　　） （A）－2　　　　（B）2　　　　　（C）－4　　　　　（D） 4 2．(第二届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题)(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a、b、c的关系可写成( ) (A) ab, 于是 ，或 ；从而 或 ， 所以 c=-10-a-b=20 或-20 13．根据题意，设 ，则 比较两端系数，得 由①得 由④，得 。代入②、③，得 两端乘三次方，得 ，这就是系数a,b,c,d应满足的条件。 14. 由已知，得 x3+ ax2+bx+c = (x2+3x-4)(x+d), 即 x3+ ax2+bx+c = x3+(3+d)x2-(3d-4)x-4d。 比较等式两边对应项的系数，得 (1) 4a+c=4 (3+d) + (-4d) =12， (2) 2a-2b-c =2 (3+d) -2 (3d-4) - (-4d) =6+ 2d-6d +8+4d = 14， (3) 从①、②、③中消去d，得 c = 12 - 4a， ④ 6 = 3a - 13. ⑤ ∵ a、b、c都是整数，且c≥a>l，∴ 当a=2时，b= -7，c=4． 当a=3时，b= -4，c=0（不合题意）．由④式知，当a>3时，c<0， ∴ a、b、c的大小为a=2，b= -7，f=4． 15.因 = 为完全平方式，可设 = ， 即 = 比较两边同类项的系数，得 3=A2, 2(a+b+c)=2AB, ab+bc+ca=B2 消去A，B: 即 配方，得：(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0。 所以 a=b=c。 （2）设 ，把右式展开，比较两边同类项的系数，得 所以 。