对数与对数函数试题

高一数学同步测试（9）—对数与对数函数 一、选择题： 1． 的值是 （ ） A． B．1 C． D．2 2．若log2 =0，则x、y、z的大小关系是 （ ） A．z＜x＜y B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x 3．已知x= +1,则log4(x3－x－6)等于 （ ） A. B. C.0 D. 4．已知lg2=a，lg3=b，则 等于 （ ） A． B． C． D． 5．已知2 lg(x－2y)=lgx＋lgy，则 的值为 （ ） A．1 B．4 C．1或4 D．4 或 6.函数y= 的定义域为 （ ） A．( ，＋∞) B．［1，＋∞ C．( ，1 D．(－∞，1) 7．已知函数y=log (ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是 （ ） A．a ＞ 1 B．0≤a＜ 1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1 8.已知f(ex)=x，则f(5)等于 （ ） A．e5 B．5e C．ln5 D．log5e 9．若 的图像是 （ ） A B C D 10．若 在区间 上是增函数，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．设集合 等于 （ ） A． B． C． D． 12．函数 的反函数为 （ ） A． B． C． D． 二、填空题： 13．计算：log2.56.25＋lg ＋ln ＋ = ． 14．函数y=log4(x－1)2(x＜1＝的反函数为___ _______． 15．已知m＞1，试比较(lgm)0.9与(lgm)0.8的大小 ． 16．函数y =(log x)2－log x2＋5 在 2≤x≤4时的值域为_____ _ ． 三、解答题： 17．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围． 18．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围． 19．已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？ 20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小． 21．已知函数f(x)=loga(a－ax)且a＞1， （1）求函数的定义域和值域； （2）讨论f(x)在其定义域上的单调性； （3）证明函数图象关于y=x对称． 22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值． 参考答案 一、选择题： ADBCB CDCBA AB 二、填空题：13. ，14.y=1－2x(x∈R)， 15. (lgm)0.9≤(lgm)0.8，16. 三、解答题： 17.解析：先求函数定义域：由2－ax＞0，得ax＜2 又a是对数的底数， ∴a＞0且a≠1，∴x＜ 由递减区间[0，1]应在定义域内可得 ＞1，∴a＜2 又2－ax在x∈[0，1]是减函数 ∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1 ∴1＜a＜2 18、解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立． 当a2－1≠0时，其充要条件是： 解得a＜－1或a＞ 又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意． 所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪( ，＋∞) 19、解析：由f(－1)=－2 ，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1， ∴ =10，a=10b． 又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立， 由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0 即(lgb－1)2≤0，只有lgb=1，不等式成立． 即b=10，∴a=100． ∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3 当x=－2时，f(x) min=－3． 20.解法一：作差法 |loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=| |－| |= (|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|) ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x ∴上式=－ [(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－ ·lg(1－x2) 由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－ ·lg(1－x2)＞0， ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法二：作商法 =|log(1－x)(1＋x)| ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x) 由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1 ∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴ ＞1－x＞0 ∴0＜log(1－x) ＜log(1－x)(1－x)=1 ∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法三：平方后比较大小 ∵loga2(1－x)－loga2(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)] =loga(1－x2)·loga = ·lg(1－x2)·lg ∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜ ＜1 ∴lg(1－x2)＜0，lg ＜0 ∴loga2(1－x)＞loga2(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法四：分类讨论去掉绝对值 当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x2) ∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1 ∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0 当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0 ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x2)＞0 ∴当a＞0且a≠1时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1) (2)设1＞x2＞x1 ∵a＞1，∴ ，于是a－ ＜a－ 则loga(a－a )＜loga(a－ ) 即f(x2)＜f(x1) ∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数 (3)证明：令y=loga(a－ax)(x＜1)，则a－ax=ay，x=loga(a－ay) ∴f－1(x)=loga(a－ax)(x＜1) 故f(x)的反函数是其自身，得函数f(x)=loga(a－ax)(x＜1＝图象关于y=x对称． 22. 解析：根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a＋2，log2(a＋2))，则△ABC的面积 S= 因为 ,所以