极限的多种求法

-327- 每项或每个因子极限存在才能适用。 例3、求 . 解：因2·23-22+1=13≠0，则 ＝ ＝ . 对于“ ”、“ ”、“∞ - ∞” 等情况，不能直接用运算法则，必须用因 式分解、有理化分子或分母、三角函数有 关公式以及变量代换等方法，对函数进行 恒等变形以约去零因子，使各项极限都存 在再利用运算法则求极限。 例4、求 解：令1+2x=t4，则 ， 当x→0时，t→1. 于是 = . 三、利用左右极限求极限 对于求分段函数在分段点处的极限 时，通常要分别讨论它的左右极限。当左 右极限存在且相等时，函数的极限等于这 个值；当左右极限不等或至少有一个不存 在时，原极限不存在。 例5、求函数 在分段点 x=1处的极限. 解 ： ， ， 因为 ，故 不存 在 。 四、利用两个重要极限求极限 极限的多种求法 何向荣 承德民族师专数学系 067000 摘 要 函数的极限是整个数学分析的有力的工具， 对数学的发展产生了极大的推动作用，因此 求函数极限自然就成了学习数学分析的最根 本、最重要的问题。本文了求极限的若 干方法，并通过例题加以说明。 关键词 极限;方法 一、利用初等函数的连续性求极 限 由一切初等函数在其定义区间内连 续，因此求初等函数在其定义区间内的点 x0处的极限，直接可用 来 示 。 例1、求 . 解：由y=cos u,y=ln v的连续性， ＝ ＝ cos(ln 1)＝cos 0=1. 但当x→x0时，函数f(x)在x0点是间 断的，不能直接代入数值计算，应根据具 体函数的特性，对它进行适当地变形，设 法消去分子、分母相同的无穷小量后，成 为新的连续函数，再利用函数连续性求出 函数的极限。 例2、求 解： = . 二、利用极限的运算法则求极限 运用极限的运算法则求极限，条件是 利用重要极限 和 求极限时，往往要利用与其等价的变式 、 ，有时也需用三 角公式、变量代换、倒代换等方法对函数进 行变形，化成公式的形式，再利用重要 极限公式来求极限。值得注意的是，能用重 要极限求极限的题，大部分也能用洛必达 法则解决，选用什么方法视具体情况而定。 例6、求 解： = 例7、求 . 解： = . 例8、求 解：令lns-lna=t，显然x→a时， t→0。解得x=aet，于是 再令et-1=u，t→0时，u→0，解 得t=ln(1+u)。 因此，原式= 对于无穷多项的和或无穷多个因子积 的极限，常用恒等变形化为有限项的和或 有限个因子积的极限。 例9、求极限 . 由于底是无穷多项和，因此要“裂 项”将底化为有限项的形式，得不等式 “1”型，再利用重要极限公式来求。 -328- 中国科技信息2007年第18期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Sep.2007基础及前沿研究 解： = = . 五、利用无穷小与有界量的积为 无穷小的性质求极限 利用有界量与无穷小的积为无穷小这 一性质求极限时，关键是合理选择谁是无 穷小量谁是有界变量，并掌握一定量的缩 放方法和技巧。 例10、求 解： = 2 ， 其中 是有界量， 而 . 这样由于 ，所以， 当x→+∞时， 是无穷小。故 . 六、利用等价无穷小代换求极限 掌握一些常见的等价无穷小，利用等 价无穷小代换，可以对函数进行化简。作 无穷小代换时，只能对无穷小是因式积的 形式代换，无穷小是代数和的形式则不能 轻易作代换，必须化为因式积的形式。 一些常见的等价无穷小： 当x→0时，sin x～x，tan x～x， arcsin x～x，arcan x～x，1-cos x～ ，ln(1+x)～x,αx-1～xlnα，ex-1～ x，(1+x)μ-1～μx（μ∈R)等等。 例11、求 . 解： = 由于当x→0时，tan x～x，1-cos x～ ，ln(1-x)～-x, 上式用等价无穷小代换得 = . 例12、已知 ， 求 解 ： 因 为 ， 所 以 ，且 . 从而 ～ ，又当x→0时， x3-1～xln3，sin x～x， 所以原式= ， 故 例13、求 . 解：x→π时sin nx→0，sin mx →0，但x不是无穷小，因此sin mx与 mx不是等价无穷小，sin nx与nx也不是 等价无穷小。 令x=π-t，则x→π时，t→0，故 sin mt～mt,sin nt～nt, 故 = = . 七、 利用单调有界性求极限 例14、 证明 数列{xn}有极限，并求 。 证明：先证 . （1）n=1时,x1=2＞1,结论成立, (2) 设n=k时,xk＞1,当n=k+1时, ,因此, ; 再证{xn}单调减少。 由 .有 +1＜xn，即{xn}单调减少. 由以上两方面的证明，得数列{xn}是 单调减少且有下界，从而是有界的， 存在。设 =α(≥1 )，对 的两边取极限， 有 ，即α2=1，α=±1， α=-1不合题意，舍去。从而 ＝1。 上例中使用的求极限的方法，只有在 已知数列的极限存在的前提下才能使用， 否则可能导致很荒谬的结论。比如：令α n=(-1)n，有αn+1=-αn，从而 αn+1=- αn，得到 αn=0的错误结论。 八、利用夹逼准则求极限 用夹逼准则求极限，关键在于视具体 问题选择灵活的方法对变量进行合理的缩 放。 例15、求 ，x≥0 解：当0≤x≤1时，有 当1＜x＜2时，有 当2≤x＜∞时，有 根据夹逼准则，已知 ，则 . 九、 利用中值定理求极限 利用拉格朗日中值定理求极限，但适 应面较窄。 例16、 解：对f(x)=arctan x在区间 上用拉格朗日中值定理，得 ， 。因为 ζn=0，所以 = 十、利用洛必达法则求极限 下转第335页 -335- ∴ ， 在三角形中，由题设可知： ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴α=β， ∴B=C即△ABC为等腰三角形。 方法三：利用平面解析几何知识证明 证明：如图3所示，在△ABO中，角 平分线|OD|=|BC|，O为原点，设B点的坐 标为（0，b）， AOB=2α， ABO=2β则 由已知条件可知： 直线OA的方程为：y=x·tαn 2 α⋯⋯（1） 直线O D的方程为：y = x·tαn α⋯⋯（2） 直线BC的方程为：y=-x·tαnβ +btαnβ⋯⋯（3） 直线AB的方程为：y=-x·tαn2β btαn2β⋯⋯（4） 联立方程（2）和（4）解得D点 的坐标为： ； 联立方程（1）和（3）解得C点 的坐标为： ； 所以 ； 又因为| O D | = | B C |，所以有 |OD|2=|BC|2， 即 = ，化解得： = ，最后整理 得：sin 2αsin(2β+α)=sin 2βsin(β +2α) 此时读者可以按照方法二继续证完。 参考文献 [1],沈文选主编.初等数学研究教程.湖南师 范大学出版社.1995 对于基本不定式“ ”型和“ ” 型可直接用洛必达法则求极限，而对于“0· ∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”、“∞ 0”型的不定式，可以经过倒代换、通 分、取对数等适当的变形，转化为基本不 定式，然后再用洛必达法则计算。用洛必 达法则求极限出现震荡而失效时，应选用 其它方法求极限。 例17、求 解：原式 = 十一、用定积分求极限 根据变量的特征，借助定积分的几何 意义，获得简捷的解题方法。 例18、求 解： 例19、求极限 解： ＝ ＝ ＝ . 十二、利用泰勒公式求极限 用麦克劳林公式计算某些不定式极限 时十分有效，它不象洛必达法则，分子、 分母每求一次导数，分子、分母的无穷小 阶数都只减少一次，而利用麦克劳林公式 可以马上得到分子、分母的无穷小阶数， 然后可直接迅速地得到答案。 例20、求极限 . 上接第328页 解：本题可用洛必达法则求解（较 繁琐），在这里可应用泰勒公式求解.考 虑到极限式的分母为x4，我们用麦克劳林 公式表示极限的分子（取n=4）得 , . 因而求得 ＝ . 十三、 利用数项收敛的必要性求 极限 求正无穷小量的极限时，采用此方法 较简便。 例21、 解：设 ，考察正项级数 。由于 ， 故级数 收敛。因此， =0。 对于一个具体求极限的问题，可能有 多种方法都能解决，这就我们选择恰 当的方法，以取得事半功倍的效果。 参考文献 [1] 刘玉琏 等编.数学分析讲义.科学普及 出版社 [2] 吉米多维奇.数学分析.人民教育出版 社 [3] 吉林大学数学系 编.数学分析.人民教 育出版社 [4] 同济大学教研室 编.高等数学.人民教 育出版社 [5] 宣立新 主编.高等数学学习指导.高等 教育出版社 [6] 华东师范大学数学系.数学分析.高等 教育出版社 作者简介 何向荣：（1970－）女 满族 河北丰宁人， 承德师专数学系高级讲师，理学学士。工作 单位：承德民族师范高等专科学校数学系。