求数列极限的方法探讨

收稿日期: 2010- 09- 12. 作者简介: 郑允利( 1970 � ) , 男,江苏省铜山人, 硕士,研究方向: 差分方程定性理论和高职数学教学理论. �高职高专教学 � 求数列极限的方法探讨 郑允利 (徐州生物工程职业技术学院(筹) 基础部, 江苏 徐州 221006) 摘 要:数列极限是高等数学中最重要的概念之一, 灵活掌握求极限的方法对培养学生的创 新思维、创新能力具有重要作用。论文给出了求数列极限的几种方法,并结合实例加以说明。 关键词:数列极限; 压缩变差数列; 施笃兹公式; 归结原则 中图分类号: O171 文献标识码: A 文章编号: 1006- 7353( 2010) 06- 0068- 02 1 利用两边夹准则求极限 例 求极限 lim n! ∀ ( 1 n 2 + 1 + 2 n 2 + 2 + #+ n n 2 + n ) . 解 令 x n = 1 n 2 + 1 + 2 n 2 + 2 + #+ n n 2 + n , 则1 + 2+ #+ n n 2 + n < x n < 1+ 2 + #+ n n 2 + 1 ,即 1 2 � n( n + 1) n 2 + n < x n < 1 2 � n( n+ 1) n 2 + 1 又因为 lim n ! ∀ 1 2 � n( n + 1) n 2 + n = 1 2 , lim n ! ∀ 1 2 � n( n+ 1) n 2 + 1 = 1 2 所以 lim n ! ∀ ( 1 n 2 + 1 + 2 n 2 + 2 + #+ n n 2 + n ) = 1 2 。 2 利用数列递推关系求极限 2. 1 单调有界数列必有极限且极限唯一 例 已知 an = 1 2 ( an- 1 + 2 an- 1 ) , n ∃ 2, 其中 a1 = 2,求lim n ! ∀ an。 解 an = 1 2 ( an- 1 + 2 an- 1 ) ∃ 1 2 � 2 an- 1 � 2 an- 1 = 2, 所以 an 有界。 又因为an+ 1 an = 1 2 (1+ 2 a 2 n ) % 1,从而 an 单调 递减。所以 lim n ! ∀ an = l 存在。由递推关系可得, l = 1 2 ( l + 2 l ) ,解得 l = 2,即lim n! ∀ an = 2。 2. 2 压缩变差数列收敛准则 例的另一解法: 令 f ( x ) = 1 2 ( x + 2 x ) , 则 f &( x ) = 1 2 ( 1- 2 x 2 ) < 1 2 ,从而有 an - an- 1 = f ( an- 1) - f ( an- 2) = f &(�) an- 1 - an- 2 < 1 2 an- 1 - an- 2 所以有lim n ! ∀ an = l。 由递推关系可得, l = 1 2 ( l + 2 l ) , 解得 l = 2, 即lim n ! ∀ an = 2。 3 利用定积分的定义求极限 例 求lim n ! ∀ n n! n . 解 lim n! ∀ n n! n = lim n ! ∀ n 1 n � 2 n # 3 n = e 1 n ∋n k= 1 ln k n = e (10lnxdx = 1 e 。 4 利用级数求极限 4. 1 若正项级数 ∋∀ n= 1 an收敛则lim n ! ∀ an = 0。 68 第 23卷第 6期 高等函授学报(自然科学版) Vol. 23 No. 6 2010年 12月 Journal of H igher Correspondence Education( Natural Sciences) 2010 例 求 lim n ! ∀ 3n n! . 解 作级数∋∀ n= 1 3 n n! ,根据级数收敛的比试判别 法,可得lim n ! ∀ an+1 an = lim n ! ∀ 3n+ 1 ( n+ 1)! � n! 3n = lim n ! ∀ 3 n+ 1 = 0 < 1,所以级数∋∀ n= 1 3 n n! 收敛,从而有lim n! ∀ 3 n n! = 0。 4. 2 利用幂级数先求和,再把某点的值代入 例 设 an = 1 2 + 3 2 2 + 5 2 3 + #+ 2n - 1 2 n , 求lim n ! ∀ an . 解 (1) 利用错位相减法, 先求和再求极限 解 (2) 令 s( x ) = ∋∀ n= 1 nx n- 1 , 其中 x = 1 2 则 (s( x ) dx = (∋∀n= 1 nx n- 1 dx = x1 - x ,所以 s( x ) = 1 (1 - x ) 2 ,由已知得 lim n! ∀ an = ∋∀ n= 1 (2n - 1) x n = 2x ∋∀ n= 1 nx n- 1 - ∋∀ n= 1 x n = 2x (1 - x ) 2 - x 1- x ,其中 x = 1 2 。所以有 lim n ! ∀ an = 3 5 利用 stolz公式求极限 例 求lim n ! ∀ 1 + 2 + 3 3 + #+ nn n . 解 令 bn = n, an = 1+ 2+ 33+ #+ nn,显 然数列 bn 单调递增且趋于+ ∀ ,根据 stolz公式得 lim n! ∀ 1+ 2 + 3 3 + #+ nn n = lim n ! ∀ n n n - ( n- 1) = lim n! ∀ n n = 1。 6 利用函数极限求法,再用归结原则 例 求lim n ! ∀ n 3 (1 - cos 1 n 2) n 2 + 1- n . 解 lim x ! ∀ x 3 (1- cos 1 x 2 ) x 2 + 1 - x = lim x ! ∀ x 3 ( 1- cos 1 x 2 ) ( x 2 + 1 + x ) = lim x ! ∀ (1 - cos 1 x 2) ( 1 + 1 x 2 + 1) 1/ x 4 = 2 lim t! ∀ 1- cos t t 2 ( t = 1 x 2 ) = 2 lim t! ∀ sin t 2t = 1 所以lim n! ∀ n 3 (1 - cos 1 n 2 ) n 2 + 1 - n = 1。 参 考 文 献 [ 1] 华东师范大学数学教研室. 数学分析( ) [ M ] . 北 京 :高等教育出版社, 2001. [ 2] 高等数学辅导[ M ] .北京: 高等教育出版社, 2003. (上接第 67页) 8 营造愉悦情感 当代教育思想要求我们力图建立一种和谐、 融洽、平等的课堂教学氛围。教育过程与其说是 传授知识的过程,不如说是学生对人生体验过程, 是师生的对话过程。师生之间相互尊重、信任和 平等,双方相互倾诉和言说,彼此敞开自己的精神 世界, 在理解和对话中获得精神的交流和分享。 对学生而言, 课堂教学是其主要生活; 对教师而 言,课堂也是其生命组成部分。因此一个和谐、愉 快、富有活力的课堂对师生来说都是非常有意义 的。有效教学虽然非常强调教学的效益性,但是 一个压抑、专制、沉闷、机械的课堂是不可能产生 最大的教学效益的。只有师生在愉快的学习环境 中获得知识,才能主动积极地与自己的原有知识 结构产生联系,教育才能达到灵性的提升。 参 考 文 献 [ 1] 普通地理课程标准[ EB/ OL ] . http: / / Wenku. baidu. com/ view/ c30d082 fbudaa58da0114a2b. ht ml, 2010 - 06- 25/ 2010- 09- 25. [ 2] 冯以浤.地理教育国际宪章[ J] .地理学报, 1993( 4) :289. 69 第 23卷第 6期 高等函授学报(自然科学版) Vol. 23 No. 6 2010年 12月 Journal of H igher Correspondence Education( Natural Sciences) 2010