2011高中数学排列组合典型例题精讲

概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素 的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列数，用符号 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导 探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数 是多少？ 呢？ 呢？ （ ） 说明：公式特征：（1）第一个因数是 ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是 ，共有 个因数； （2） 即学即练: 1.计算 (1） ； (2） ；(3) 2.已知 ，那么 3． 且 则 用排列数符号表示为( ) ． ． ． ． 例1． 计算从 这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n 全排列数： （叫做n的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1） （2） （3） 排列数公式的另一种形式： 另外，我们规定 0! =1 . 例2．求证： ． 解析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。 解： 左边= 点评：(1)熟记两个公式；（2）掌握两个公式的用途；(3)注意公式的逆用。 变式训练：已知 ，求 的值。（n=15） 1．若 ，则 （ ） 2．若 ，则 的值为 （ ） 3． 已知 ，那么 ； 4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？ 1.计算 (1） ； (2） ；(3) 2.已知 ，那么 3． 且 则 用排列数符号表示为( ) ． ． ． ． 例1． 计算从 这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 1．若 ，则 （ ） 2．若 ，则 的值为 （ ） 3． 已知 ，那么 ； 4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？ 1．下列各式中与排列数 相等的是（ ） （A） （B）n(n－1)(n－2)……(n－m) （C） （D） 2．若 n∈N且 n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（ ） （A） （B） （C） （D） 3．若S= ，则S的个位数字是（ ） （A）0 （B）3 （C）5 （D）8 4.已知 ，则n= 。 5.计算 。 6．解不等式：2＜ 1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） （A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个 2．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ） （A）12种 （B）18种 （C）24种 （D）96种 3．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ） （A）6种 （B）9种 （C）18种 （D）24种 4．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种． 例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛？ 解： (1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？ (2) 放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？ 例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？ （2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 变式训练: 有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组共有（ ） （A） 种 （B） 种 （C） · 种 （D） 种 例4、三个女生和五个男生排成一排． （1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？ （5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？ 点评： 1）若要求某n个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。 2）若要求某n个元素间隔，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上． 变式训练： 1、6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法． 2．6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法． 1．由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为 （ ）（A） l：l （B）2：3 （C） 12：13 （D） 21：23 2．由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （ ） （A）42031 （B）42103 （C）42130 （D）43021 3．若直线方程AX十By=0的系数A、B可以从o， 1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是 （ ） （A） 一2 B） （C） +2 （D） －2 4．从a，b，c，d，e这五个元素中任取四个排成一列，b不排在第二的不同排法有 （） A B C D 5．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 24 种不 同的种植方法。 6．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 166320种。 7、某产品的加工需要经过5道工序， （1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？ （2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？ 1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有 （ ） ． 种 ．10种 ．12种 ．16种 2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有 （ ） ．3种 ．6种 ．1种 ．27种 3． 且 则 用排列数符号表示为 （ ） ． ． ． ． 4．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有 （ ） ．24种 ．72种 ．96种 ．120种 5.4·５·6·7·…·(n-1)·ｎ等于 （ ） A. B. C.ｎ！－4！ D. 6. 与 的大小关系是 （ ） A. B. C. D.大小关系不定 7．给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少中不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ ⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号）。 8．若 ， ，则以 为坐标的点共有 个。 9.若x= ,则x用 的形式表示为x= . 10.(1) ；（2） 11．（1）已知 ，那么 ；（2）已知 ，那么 = ；（3）已知 ，那么 ；（4）已知 ，那么 ． 12．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？ 13．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？ 14．计算：（1） （2） 16．求证： ； 17.计算：① ② 18．三个数成等差数列，其比为 ，如果最小数加上 ，则三数成等比数列，那么原三数为什么？ 排列与排列数作业(2) 1．与 不等的是 （ ） 2．若 ，则 的值为 （ ） 3.100×99×98×…×89等于 （ ） A. B. C. D. 4.已知 ＝132，则n等于 （ ） A.11 B.12 C.13 D.以上都不对 5．将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法多少种？（ ） ． 6 ． 9 ． 11 ． 23 6．有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A不能停在第三条轨道上，货车B不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有多少种 （ ） ．78 ．72 ．120 ．96 7．由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍的共有多少个 （ ） ．9 ．21 ． 24 ．42 8．从 七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程 的系数，则倾斜角为钝角的直线共有多少条？（ ） ． 14 ．30 ． 70 ．60 9.把3张电影票分给10人中的3人，分法种数为（ ） A.2160 B.240 C.720 D.120 10.五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数（ ） A.​ A B. C.A D. 11．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进 行实验，有 种不同的种植方法。 12．9位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 种。 13．（1）由数字1，2，3，4，5可以组成 个无重复数字的正整数. （2）由数字1，2，3，4，5可以组成 个无重复数字，并且比13000大的正整数？ 14．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的出场顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有 种不同的排法？ 15．某产品的加工需要经过5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有 种排列加工顺序的方法.（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有 种排列加顺序的方法. 16．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有 种不同的排法？ 17.求证：