2011年北京高考数学：解析几何(理,学生)

第4章 数列 解答5 解析几何(5+5+13分) 数学秘籍 ★解析几何通法：一设，二联立，三判别，四韦达 1. 化简的“救命稻草” 点在曲线上，把点代入圆锥曲线方程上 2. 直线与曲线相交 联立方程组，利用韦达定理的根与系数关系 例.联立方程组 ，消去y得 设 ，则 3. 向量 对应坐标成比例，向量模的关系 4. 等分点 构造向量，得出对应坐标成比例，向量模的关系 5. 面积 ， 6. 垂直 令 7. 对称、倾斜角互补、斜率互为相反数 令 8. 对称点 9. 几何意义 （1） 表示点 到点 的距离； 或表示以 为圆心，半径不确定的同心圆 （2） 表示点 到点 的斜率 （3） 表示与直线 平行，截距不确定的直线 （4） 表示 到 的距离 10. ★分类讨论，讨论谁为直角？斜率是否存在？曲线是否完整？ 11. 征兆：当计算时能消去高次项、消去很多项时，预示着…… “沿着一条路一直走下去，是黑暗又有什么关系呢？” ——Shy “当你被繁杂的事情迷乱双眼的时候，请回想起最当初的“点在曲线上”。 在整个高中数学里，最能寻找自信心的地方，就在这里。虽然这条路很坎坷不堪，可是我知道在路的尽头一定是阳光。 ——Maple 知识归纳：直线与圆 一、直线 斜率 ，点 1. 斜率公式： 2.★直线方程 (1)点斜式: (直线 过点 ，且斜率为 )． (2)斜截式: (b为直线 在y轴上的截距). (3)一般式: (其中A，B不同时为0). 3. 平行、垂直：(1) (2) 4.★点到直线的距离： (点 ，直线 ： ). ★两平行直线间的距离： , 二、圆 圆心 ，半径 1. 圆的方程： 2. 圆心与点A的距离： 3. 圆心到直线 的距离： . 题型1：直线与圆的位置关系 垂径定理 例1. 与 （1）判断位置关系（2）求弦长 例2.（同步练习）直线 被圆 截得弦长 例3. ★圆 到 距离为 的点有 个 例4. ★直线 与曲线 有一个公共点，求 的范围 例5.（同步练习）两圆相交于两点（1，3）和 ，两圆的圆心都在直线 上，则 的值为 例6.在圆 上，与直线 ： 距离最小的点 例7.直线 与圆 在第一象限内有两个不同交点，则 的取值范围是 例8.圆 ，点A（-1，0），B（1，0），点P是圆C的一个动点，求 最大值、最小值以及对应的P点坐标。 （答案： ， ） 例9.★若实数 满足 求 及 取值范围（答案： ， ） 例10.（同步练习）某圆形拱桥的水面跨度20m，拱桥高度4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，这船能否从桥下通过？ （答案： ， ，可以通过） 参考答案 （答案：1.相交， 2. 3.3个 4. 或 5.3 6. 7. ） 精题训练（北京卷） 1（10，东城一模，文）经过点（－2，3）且与直线 垂直的 直线方程为 2（10，西城，期末）若直线 与圆 相切，则 3.（10，北京一模,文）已知圆的方程为 ，那么该圆的一条直径所在直线的方程为 4.（10，崇文一模，文）若 与圆 相切，则 为( ) A. B. C. D. 5.（10，西城二模，文）圆心在 轴上，且与直线 切于（1，1）点的圆的方程为 6.（10，海淀二模，文）已知直线 ，则 之间的距离为 7.（10，东城，期末）若直线 与圆 相切，则 8.★（05,北京,文）从原点向圆 =0作两条切线，则该圆 夹在两条切线间的劣弧长为 9.★（10，海淀期末，文）若直线 与直线 分别交于点 ， 且线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为 10★（10，东城二模，文）若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则切线 的方程为 参考答案 1 2.2 3. 4.B 5. 6. 7.8或-18 8.2 9. 10. 知识归纳：椭圆 一、椭圆： 1.定义：平面内的动点P与两定点F1，F2距离和等于定长 2.方程： 谁大谁为 （1）定义域： （2）值 域： （3）长轴长： 半长轴长： （4）短轴长： 半短轴长： （5）焦 距： 半焦距： （6）离心率： （7）准线方程： （8）焦准距： （9）通 径： 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦 （10）焦半径： （11）焦点弦：通过焦点的弦 （12）弦长： = 3. 焦点三角形 （1+ =2 （2=2 （3） （4） （5）在 中， ，则 （6）参数方程： （7）切线方程 椭圆 上一点 处切线: 题型1：离心率、斜率、焦点三角形 第一定义 精题训练（北京卷） 1.（07,北京,文）椭圆 的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点分别为 ，若 ，则离心率的范围是( ) A． B． C． D． 2.★（10,西城一模，文）若椭圆上存在点 ，使得点 到两个焦点的距离之比为2：1，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3★（10，东城一模，文）点P是椭圆 上一点，F1，F2​是椭圆两个焦点，且△PF1F2内切圆半径为1，当P在第一象限，P点的纵坐标为 4★★（10，海淀一模，文）直线 与圆 相交于A,B两点（其中 是实数），且 是直角三角形(O是坐标原点)，则点P 与点 之间距离的最大值为（ ） A B. C. D. 提示： ，即 ，于是点P 与点 为 参考答案: 1.D 2.D 3. 4.A 精题训练（全国卷） 1.（10，安徽，理）设曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 为 ，则曲线 上到 距离为 的点的个数( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.★（09，全国I，理）已知椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ，点 ，线段 交 于点 ，若 ,则 =( ） A. b. 2 C. D.3 3.★（10，全国Ⅰ，理）已知HYPERLINK " http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 是椭圆HYPERLINK " http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 的一个焦点，HYPERLINK " http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 是短轴的一个端点，线段 的延长线交HYPERLINK " http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 于点 ，且 ，则HYPERLINK " http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 的离心率为 4.★（08.全国I.理数）在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 5.★（10，全国II，理）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则 6.（08，山东，理）设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为26.若曲线 上的点到椭圆 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 的标准方程为（ ） A. B. C. D. 参考答案: 1.B 2.A 3. 4. 5. 6.A 题型2：轨迹 几何意义 1.（同步练习）和 轴相切，并和圆 外切的动圆的圆心轨迹方程是 2.（同步练习）若圆 的弦长为2，则弦的中点轨迹方程为 3.（同步练习）若圆 ，求过点A（1，2）所作的弦的中点P的轨迹 （提示：垂径定理） 4★（必修2，课本P104，B组第2题）求与两定点 的距离的比为 的点的轨迹方程.（答案： ） 5.★（05，江苏，文）圆 与圆 的半径都是1， ，过动点P分别作圆 、圆 的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 。试建立适当坐标系，求动点P轨迹方程.（答案： ） 6.★（07,北京,文）如图，矩形 的两条对角线相交于点 ， 边所在直线的方程为 点 在 边所在直线上． （I）求 直线方程； （II）求矩形 外接圆的方程； （III）若动圆 过点 ，且与矩形 的外接圆外切，求动圆 的圆心的轨迹方程． （答案：（I） （II） （III）动圆 的圆心的轨迹方程为 ） 7.★（09，海南，理）已知椭圆 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若 为椭圆 上的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点， ，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （答案：（Ⅰ）椭圆 的标准方程为 （Ⅱ） ，其中 。 （i） 时。化简得 ，点 的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于 轴的线段 （ii） 时， ， （1）当 时，点 的轨迹为中心在原点，实轴在 轴上的双曲线满足 的部分（2）当 时，点 的轨迹为中心在原点.长轴在 轴上的椭圆满足 的部分；（3）当 时，点 的轨迹为中心在原点.长轴在 轴上的椭圆 ） 题型3：对称、斜率互为相反数、倾角互补 令 1（08，天津，理/文）已知圆 的圆心与抛物线 的焦点关于直线 对称，直线 与圆 相交于 两点，且 ，则圆 的方程为 ． 2.（09，宁夏，理/文）已知圆 ： + =1，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为（ ） A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 3.（10，蒋叶光，编写）直线 与圆 交于 两点，且 关于直线 对称，求 的值 4.★（08，北京，理）过直线 上的一点作圆 的两条切线 ，当直线 关于 对称时，它们之间的夹角为（ ） A. B． C． D． 5.★经典★(10,崇文二模，文)已知圆的方程 ，过 作直线 与圆交于点 ，且 关于直线 对称，则直线 的斜率等于 参考答案 1. 2.B 3.0 4.C 5. 题型4：定点、定值 产生原因：对称点 恒过定问题： ，恒过定点 1. 恒过定点 2. 恒过定点 3. 恒过点 化成一般式，合并同类项，令每项都为0即可 4.若 ,则直线 恒过点 5. 恒过点 （提示：化成 ） 6.★ ， 为 轴上的动点， 为圆的两条切线，切点为A,B，证明：直线AB过定点，并求出定点坐标。 （提示：设 ，于是满足 ） 7.圆 恒过定点 （提示： 令 ） 8.(09，海淀二模，理)若直线 与直线 关于点（2，1）对称，则直线 恒过定点 9.★（10，蒋叶光，编写）直线 恒过定点 参考答案 1（0，2） 2.（1，1） 3.（0，0） 4.（0，0） 5.（-1，0） 6.（0，0） 7.（-2，1）与（0，1） 8.（0，2） 9. 精题训练 1.（10，崇文一模，文）椭圆 短轴端点 ， ．过 作直线 与椭圆交于另一点 ，与 轴交于点 （不同于原点 ），点 关于 轴的对称点为 ， 交 轴于点 ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求证 为定值 （ 答案：（Ⅰ） （Ⅱ） = 结论：过短轴端点 作直线交椭圆于A，作其关于 轴的对称点B，则这线在 轴的截距乘积为 2.（09，北京，理）已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 （Ⅰ）求双曲线 的方程； （Ⅱ）设直线 是圆 上动点 处的切线， 与双曲线 交于不同的两点 ，证明： 的大小为定值 （答案：（I） （II） 的大小为 .） 为定值 3.★经典★（10，东城期末，理）已知椭圆 的中心在原点，一个焦点 ，且长轴长与短轴长的比是 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若椭圆 在第一象限的一点 的横坐标为 ，过点 作倾斜角互补的两条不同的直线 ， 分别交椭圆 于另外两点 ， ，求证：直线 的斜率为定值； （Ⅲ）求 面积的最大值． （答案：（I） （II） ： ，设 ， ，则 ，令 得 ， 为定值 （III）当且仅当 时取等号， 面积的最大值为 ） 4.★经典★（09，辽宁，理）椭圆C过点A ，焦点（-1，0），（1，0） （1）求椭圆C的方程； （2）E,F是椭圆C上两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相 反数，证明直线EF的斜率为定值 ，并求出这个定值 （答案：（1） 直线EF的斜率为定值，其值为 6.（10，东城一模，文） 椭圆 离心率为 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与 相切 （1）求椭圆C的方程； （2）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：直线ME与 轴相交于定点. （ 答案：（1） （2）因为 不符合题意， （3）令 ） 7.（10，东城一模，理）椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设 ， ， 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆 于另一点 ，证明：直线 与 轴相交于定点 ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，求 的取值范围 (答案：（I） （II）设点 ， ，则 ，直线 的方程为 ，直线 与 轴相交于定点 （III）斜率存在时，设 为 ， ， ，当斜率不存在时， ，故 探究：恒过定点的条件：过点P 作直线交于B、C点，作B点关于 轴的对称点A,连接AC，则直线AC恒过(1,0) 10.★经典★（07，山东，理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若 与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线 过定点，求坐标. (答案：（Ⅰ） （Ⅱ）直线 过定点，定点坐标为 ) 11.★经典★（10,四川,理）定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线 ，不在 轴上的动点P与点F的距离是它到直线 的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交 于点M、N （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）试判断：以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. (答案:（I）x2－ =1(y≠0)(II)①当直线BC与x轴不垂直时,M点的坐标为( )， = ＝0，②当直线BC与x轴垂直，方程为x＝2， ＝0综上 ＝0，即FM⊥FN，故以线段MN为直径的圆经过点F.) 12.★蝴蝶定理★ (03.北京.理) 如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（ （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； （Ⅱ）直线 交椭圆于两点 直线 交椭圆于两点 求证： ； （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形） （答案：（I）椭圆为 焦点为 , 离心率 （II）分别联立方程组：直线CD的方程 代入椭圆方程，得 整理得 根据韦达定理，得 ,故 ① 将直线GH的方程 代入椭圆方程，同理可得 ， 由①，②得 所以结论成立. （Ⅲ）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线， 得 解得 ， 由D.Q.G共线，同理可得 变形得 ，即 所以 题型5：垂直平分线 垂直 圆的直径（令 ） 1.（10，西城二模，文）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6. （I）求椭圆 的方程； （II）设直线 与椭圆 交于 两点，点 （0，1），且 ，求直线 的方程， (答案：（I）椭圆C的方程为 （II）直线l的方程为 ) 2.★难度的顶峰★（10，海淀二模，文）给定椭圆 ，称圆心在原点 ，半径为 的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为 . （I）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程； (II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线 ，使得 与椭圆C都只有一个交点，且 分别交其“准圆”于点M，N . （1）当P为“准圆”与 轴正半轴的交点时，求 的方程； （2）求证：|MN|为定值. （答案：(I)椭圆的方程为 ，准圆的方程为 (II)（1） 方程为 （2）①当 中有一条无斜率时，不妨设 无斜率，则直线方程为 或 ， 与准圆交于点 ，经过点 (或 )且与椭圆只有一个公共点的直线是 (或 )，即 为 (或 )，显然直线 垂直； 同理：可证 方程为 时，直线 垂直. ②当 都有斜率时，设点 ， ， 设过点 与椭 圆只有一个公共点的直线为 ,则 ，消去 得到 ， 即 , 化简得到: , 由 ，得 , 设 的斜率分别为 ,因为 与椭圆都只有一个 公共点， 满足上述方程 , ， 即 垂直. 综合①②知： 垂直， 所以线段MN为准圆 的直径， ＝４. 题型6：最值问题 导数、不等式、二次函数 弦长、 面积 弦长公式 1.（06，北京，理）已知点 ，动点 满足条件 .记动点 的轨迹为 . （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值. （答案：（1） （2）当 最小值2 ） 2.★（10，海淀一模，文）已知椭圆 的对称中心为原点O，焦点在 轴上，离心率为 ， 且点（1， ）在该椭圆上. （I）求椭圆 的方程； （II）过椭圆 的左焦点 的直线 与椭圆 相交于 两点，若 的面积为 ，求圆心在原点O且与直线 相 切的圆的方程. （答案：(I)椭圆： (II)圆 ： ） 3.（08，北京，文）已知 的顶点 在椭圆 上， 在直线 上，且 ． （Ⅰ）当 边通过坐标原点 时，求 的长及 的面积； （Ⅱ）当 ，且斜边 的长最大时，求 所在直线的方程． （答案：(I) ， (II) 平行线间的距离为三角形的高 所在直线的方程为 ． 4.（08，北京，理）已知菱形 的顶点 在椭圆 上，对角线 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线 过点 时，求直线 的方程； （Ⅱ）当 时，求菱形 面积的最大值． ( 答案：（1） （2） , 所以当 时，菱形 的面积取得最大值 ) 5.★（10，东城二模，文）已知椭圆 的短轴长为 ，且与抛物线 有共同的焦点，椭圆 的左顶点为A，右顶点为 ，点 是椭圆 上位于 轴上方的动点，直线 ， 与直线 分别交于 两点． （I）求椭圆 的方程； （Ⅱ）求线段 的长度的最小值；（提示：利用平行线段成比例即可） （Ⅲ）在线段 长度取得最小值时，椭圆 上是否存在一点 ，使得 的面积为 ，若存在求出点 的坐标，若不存在，说明理由．（答案：（Ⅰ）椭圆 的方程为 （Ⅱ）当 时，线段 的长度取最小值 （Ⅲ）设直线 ． 则由 ， ． ．即 ． 由平行线间距离公式，得 ，得 或 （舍去）． 可求得 或 6.★(10，宣武期末，理)已知直线 ： 与圆C： 相交于 两点． （Ⅰ）求弦 的中点 的轨迹方程；（提示：点差法） （Ⅱ）若 为坐标原点， 表示 的面积， ，求 的最大值. （答案：（I）： ， （II） 时， 的最大值为 ） 提示： = ， ∵由 ，∴ ， ∵ 得 ,∴ 时，最大值为 7.（10，东城期末，文）已知椭圆 的中心在原点，一个焦点 ，且长轴长与短轴长的比是 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设点 在椭圆 的长轴上，点 是椭圆上任意一点. 当 最小时，点 恰好落在椭圆的右顶点，求实数 的取值范围． （答案：（Ⅰ）椭圆 的方程为 ， （Ⅱ） ，当 最小时，点 恰好落在椭圆的右顶点,故对称轴 ，即 ， 提示： 联立圆的方程 与椭圆的方程，使其判别式为0，即为相切） 8.★★（10，北京，文）已知椭圆C的左.右焦点坐标分别是 ， ，离心率是 ，直线 椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P， （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（提示：点M（t,t）） （Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当 变化时，求y的最大值 答案：（Ⅰ） （Ⅱ）P（0， ）（Ⅲ）圆P的方程 ， 设 ，则 当 ，即 ，且 ， 取最大值2. 题型7：数列、向量综合 1.★（10，辽宁，理）设椭圆C： 的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线 的倾斜角为60o, . (I)求椭圆C的离心率； (II)如果|AB|= ，求椭圆C的方程. （答案：（I） （II）椭圆C的方程为 . ） 2.★(07，全国II，理)直角坐标中，以 为圆心的圆与直线 相切． （1）求圆 的方程； （2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取值范围． ( 答案：（1）圆 的方程为 ,(2) 的取值范围为 提示：设 ，由 成等比数列，得 ，即 ． 由于点 在圆 内，故 由此得 ．所以 的取值范围为 ) 3.★★（08，全国I，理）双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于 两点．已知 成等差数列，且 与 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率 ( ) （Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段长为4，求双曲线方程( ) 题型8：交点、等分点问题 韦达定理 1. ★（10，蒋叶光，编写）已知点 和 ，直线 与线段 存在公共点，求 的取值范围 （提示：点在直线上，代数化： ，解得 ） 2.（10，海淀期末，文）已知 为椭圆 的左焦点，直线 与椭圆 交于 两点，那么 的值为 3.★中点★（10，宣武期末，文）椭圆E： 的焦点坐标为 （ ），点M（ ， ）在椭圆E上． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设Q（1，0），过Q点引直线 与椭圆E交于 两点，求线段 中点 的轨迹方程； （Ⅲ）O为坐标原点，⊙ 的任意一条切线与椭圆E有两个交点 ， 且 ，求⊙ 的半径．（提醒：纷繁计算量） （答案：（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 4.★中点★（06，北京，文）椭圆 的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且 , （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线l过圆 的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线 的方程. (答案：（Ⅰ） （Ⅱ） ) 5.★中点★（10，西城一模，理）椭圆 短轴的左右两端点为 ，直线 与 轴. 轴交于两点 交椭圆于两点 （I）若 ，求直线 的方程； （II）设直线 的斜率分别为 ，若 ，求 的值，（提示：分类讨论） （答案：（I）直线l的方程为 (II)提示： 平方得 6.★三等分点★（10，北京一模,文）已知 ， 两点，曲线 上的动点 满足 . （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）若直线 经过点 ，交曲线 于 ， 两点，且 ，求直线 的方程. （答案：（Ⅰ） （Ⅱ） 题型9：动点问题 1.★（10，海淀期末，文）已知椭圆C： 的焦点为 ，若点 在椭圆上，且满足 （其中 为坐标原点），则称点 为“★点”.那么下列结论正确的是 ( ) A．椭圆 上的所有点都是“★点” B．椭圆 上仅有有限个点是“★点” C．椭圆 上的所有点都不是“★点” D．椭圆 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★点” 2.★（10，海淀，上期末）点 在曲线 ： 上，若存在过 的直线交曲线 于 点，交直线 ： 于 点，满足 或 ，则称点 为“H点”，那么下列结论正确的是 （ ) A．曲线. .上的所有点都是“H点” B．曲线 上仅有有限个点是“H点” C．曲线 上的所有点都不是“H点” D．曲线 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点” 3.（10，西城一模理，理）如图，在等腰梯形 中， ，且 ，设 ，以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为 ，以 为焦点且过点 的椭圆的离心率为 ，则（ ） A．随着角度 的增大， 增大， 为定值 B．随着角度 的增大， 减小， 为定值 C．随着角度 的增大， 增大， 也增大 D．随着角度 的增大， 减小， 也减小 提示：双曲线减小，椭圆增大 4.（2011，海淀期中，理）在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，设函数 的图象为直线 ，且 与 轴、 轴分别交于 、 两点，给出下列四个命题：其中所有真命题的序号是（ ） 1​ 存在正实数 ，使△ 的面积为 的直线 仅有一条； 2​ 存在正实数 ，使△ 的面积为 的直线 仅有两条； 3​ 存在正实数 ，使△ 的面积为 的直线 仅有三 条； 4​ 存在正实数 ，使△ 的面积为 的直线 仅有四条. A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 参考答案 1.B 2.D 3.B 4.D 知识归纳：双曲线 1.定 义：平面内动点P与两定点F1，F2距离差等于定长2 当 为双曲线， 当 为以 为端点的两条射线 当不含绝对值，轨迹为一条射线或双曲线的一支 2.标准方程： 谁正谁为 （1定义域： 值域： （2焦点： ， （ ） （3）实轴长: 半实轴长： （4）虚轴长： 半虚轴长： （5）焦距： 半焦距： （6）离心率： （7）渐近线：退化双曲线，令 ，即 （8）准线： （9）焦渐距：焦点到渐进线的距离为 （10）焦准距：双曲线的焦点与其相应准线的距离 （11）通 径： （过的焦点且垂直于对称轴的弦） （12）焦半径： ， （13）等轴双曲线： ， 且两渐近线相互垂直 （14）共轭双曲线：实轴和虚轴交换 （15）共渐近线双曲线： 特点:1.渐近线相同；2.焦距相等；3.两离心率平方倒数和为1 3. 焦点三角形 （1） （2） （3） （4） （5） （6）双曲线的方程与渐近线方程的关系 若双曲线： 渐近线： 若渐近线： 双曲线可设： 若双曲线与 有公共渐近线 可设为 （7）点差法： （椭圆/双曲线/圆）上A,B两点,弦AB的中点为 ，弦AB的斜率 ，则 典型例题 例 1.（10，蒋叶光，编写）已知以 为左右焦点的双曲线 右支上点 ，其中 的内切圆与 轴切于 点，则 的值为 例 2.★（10，蒋叶光，编写）已知双曲线 右支上点 到 的距离为 ，求 的值 解法一： .又因为点 在曲线上， 所以 ，即 ，这是错的！ 解法二：双曲线 右支上点 ，故 ， 又因为 ，即 例3.★（10，蒋叶光，编写）若 点在双曲线 上，若 , 则 解法一： ， 1或17，这是错的！ 解法二：只能在右支，故 17 例4.若 点双曲线在 上，若 ,则 例5.若 点在椭圆 上，则 参考答案 1.8 2. 3.17 4.3或19 5.3 题型1.离心率.焦点弦.焦点三角形 精题训练（北京卷） 1.（10，海淀二模，文）双曲线 的焦距为( ) A.10 B. C. D. 5 2.(03,北京,理)以双曲线 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 3.(10，北京，理)双曲线 离心率为2，焦点与椭圆 的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 4.★（10，海淀期末，文）双曲线 的渐近线方程是（ ） A B. C. D. 5.★（10，海淀期末，理）双曲线 ，则焦点到渐近线的距离为（ ） A．1 B． C．3 D．4 6.（10，宣武期末，文） 若双曲线 的离心率为 ，则 ；设 为虚数单位，复数 的运算结果为 . 7.★（10，东城二模，文）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，且 轴，若 ，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 8.★(10，西城一模，理)已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一点，则 最小值为 9.★（10，东城期末，理） 直线 过双曲线 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，若原点在以 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 10.★（10，东城期末，文）若双曲线 的两个焦点为 ， ， 为双曲线上一点，且 ，则该双曲线离心率的取值范围是 11.★★（10，东城二模.理）抛物线 与双曲线 有相同的焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且 轴，若 为双曲线一渐近线，则 倾斜角所在的区间可能是（ ） A. B. C. D. 参考答案 1A 3. 4A 5.B 6.4,-4 7.A 8.-2 9. 10. 11.D 知识归纳：抛物线 1. 定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数 2. 标准形式 （1）焦点： （2）准线： （3）通径： （4）焦半径： （5）焦准距：焦点到准线的距离= 3. 抛物线重要结论 设 ,中点为 （1）以AB为直径的圆与准线 相切 （2） （7） （8） 弦长公式： （9）切线方程 抛物线 上一点 处的切线方程是 . 题型1.离心率、斜率、焦点弦 精题训练（北京卷） 1.（05,北京,文）抛物线 的准线方程是 ，焦点坐标是 2.（10，海淀期末，文）抛物线 的准线方程是 3.（10，西城二模，文）在抛物线 上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则 4.（10，宣武期末，文）设斜率为 的直线 过抛物线 焦点 ，且和 轴交于点A，若 （ 为坐标原点）面积为4，则 的值为 ( ) A． B． C． D． 5.（10.东城一模文）已知圆 与抛物线 的准线相切，则 的值等于（ ） A． B． C． D． 6.★（10，东城期末，文） 已知点 在直线 上，点 在抛物线 上，则 的最小值等于 参考答案 1. ，（-1，0） 2. 3.2 4.B 5.D 6. 题型2.定值、定点 1.(04.，北京，理)如图，过抛物线 上一定点P（ ）（ ），作两条直线分别交抛物线于A（ ），B（ ） （I）求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离 （II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并 证明： 直线AB的斜率是非零常数 (答案：（1）距离为 （2） ， ) 2.（10，西城，期末）已知抛物线 ，直线 与 交于 两点， 为坐标原点， （Ⅰ）当 ，且直线 过抛物线 的焦点时，求 的值； （Ⅱ）当直线 的倾斜角之和为 时，求 ， 之间满足的关系式，并证明直线 过定点. （答案（1） （2） ，直线 过定点 ） 3.（10，东城二模，理）已知抛物线的焦点 在 轴上，抛物线上一点 到准线的距离是 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点，过 ， 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为 ． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求证： 是 和 的等比中项． （答案：（I） （II） 4.（10，西城，期末）已知抛物线 ，直线 与 交于 两点， 为坐标原点， （Ⅰ）当 ，且直线 过抛物线 的焦点时，求 的值； （Ⅱ）当直线 的倾斜角之和为 时，求 ， 之间满足的关系式，并证明直线 过定点. （答案（1） （2） ，直线 过定点 ） 题型3.中点、交点、等分点 1. （10,西城一模，理）已知抛物线 ，点 是其准线与 轴的焦点，过 的直线 与抛物线 交于 两点， （1）当线段 的中点在直线 上时，求直线 的方程； （2）设 为抛物线 的焦点，当 为线段 中点时，求 的面积，答案：（1）直线 的方程为 （2） 2.★（09，全国I，理） 如图，已知抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点。 （I）求 得取值范围； （II）当四边形 面积最大时，求对角线 、 的交点 坐标 答案：（I） （II）当且仅当 时，S取最大值，由 三点共线，则 得 。 题型4.对称点、倾角互补、斜率互为相反数 1.（10，海淀，上期末）已知抛物线 经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线 . （Ⅰ）求抛物线 的方程及准线方程； （Ⅱ）当 与抛物线 相切时，求 与抛物线 所围成封闭区域的面积； （Ⅲ）设直线 分别交抛物线 于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程. （答案（1） ，准线为 （2） （3） ） 2.（10，崇文一模，理）已知抛物线 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 过点 交抛物线于 两点． （Ⅰ）证明：直线 的斜率互为相反数； （Ⅱ）求 面积的最小值； （Ⅲ）当点 的坐标为 ，且 ．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）： ① 直线 的斜率是否互为相反数？ ② 面积的最小值是多少？ （答案：（I） （II） 面积的最小值 ．（III）① ；② 面积的最小值为 ．） 题型5.★动点问题（北京卷） 1.（10，海淀一模，文） 已知动点P到定点（2，0）的距离和它到定直线 的距离相等，则点P的轨迹方程为 . 2.（08，北京，理）若点 到直线 的距离比它到点 的距离小1，则点 的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3.（09，北京，理）点 在直线 上，若存在过 的直线交抛物线 于 两点，且 ，则称点 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（ ） A．直线 上的所有点都是“ 点” B．直线 上仅有有限个点是“ 点” C．直线 上的所有点都不是“ 点” D．直线 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 4.（10，海淀二模，文）已知直线 ： ，定点 (0，1)， 是直线 上的动点，若经过点 , 的圆与 相切，则这个圆面积的最小值为( ) A． B． C． D． 5.(10，海淀二模，理)已知动圆C经过点 ,并且与直线 相切，若直线 与圆C有公共点，则圆C的面积( ) A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 6.（06，北京，理）平面 的斜线 交 于点 ，过定点 的动直线 与 垂直，且交 于点 ，则动点 的轨迹是（ ） A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 7.（04..北京.理）如图，在正方体 中，P是侧面 内一动点，若P到直线BC与直线 的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ） A．直线 B．圆 C． 双曲线 D． 抛物线 参考答案 1 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.D