实数连续性

实数系的连续性——实数系的基本定理 1． 教学内容 利用实数的无限小数表示，证明非空有界的实数集合必有上确界与下确界， 即最小上界与最大下界。 2． 指导思想 （1） Newton , Leibniz 建立微积分以来，它在解决实际问题上的正确性与 在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代的数学家，不少人对微积 分理论产生过怀疑，直到 Cauchy , Weierstrass 建立了极限论的严格基础， 人类科学史上最辉煌的成就之一——微积分理论的大厦才得以牢固建 立。作为极限论的出发点，实数系的基本定理——实数系的连续性，在 数学课程中占有重要的地位。 （2） 实数系的基本定理有多种表达方式：Dedkind 切割定理，确界存在 定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass 定 理，Cauchy 收敛原理和 Cantor 定理。这些定理是等价的，其中每一个 都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。 （3） 传统的教材常采用 Dedkind 切割定理作为实数系连续性定理，并由 此出发导出极限论的全部理论。但由于 Dedkind 切割定理过分抽象，对 大学#一#学生来说难以接受，而将实数连续性作为一个公理加以承认 又使人感到极限理论不够完备。我们则采用对学生来说非常熟悉的实数 的无限小数表示方法，直观而简明地证明了确界存在定理，既使得学生 容易掌握，又使得本书的极限理论得以完备化。 （4） 通过本节的教学， 要求使学生了解人类对数的认识的发展历史；对 实数系的连续性不仅能从几何上理解，还能从分析上掌握如何加以证明； 并认识正是由于实数系的连续性，才使它成为整个数学分析课程的“活 动舞台”。 3． 教学安排 （1） 讲述人类对数的认识的发展历史： 自然数⇒整数⇒有理数⇒实数。 讲解促使这一发展历史的原因和例子。指出整数系具有离散性, 有理数系具有稠 密性, 对于实数系，让学生先从几何上理解它的连续性：实数布满整个数轴而无 “空隙”。 （2） 先给出数集的最大数与最小数的定义： 设 S 是一个数集，如果∃ ， 使得 ，有 ，则称 是数集 ∈ξ S ∀ ∈x S x ≤ ξ ξ S 的最大数，记为ξ = max S ；如果 ， 使得 ,有 ∃ ∈η S ∀ ∈x S x ≥ η，则称 η是数集 S 的最小数，记为 η = minS。 当数集 S 是非空有限集，即 S 只含有有限个数时，max S与 显然存在，min S 且max S是这有限个数中的最大者，min 是这有限个数中的最小者。但是当S S 是 无限集时，情况就不同了。例如 集合 A = ≥{ | }x x 0 没有最大数，但有最小数， 且min A = 0；集合 B = ≤ <{ | }x x0 1 没有最大数，但有最小数。 注意在证明数集 没有最大数时，我们采用的思路是：S xxSxSx >∈∃∈∀ ':', 。 （3）给出数集的上确界与下确界的定义：设数集 S 有上界，记 U为 S 的上界 全体所组成的集合，则显然 U 不可能有最大数，但是 U 是否一定有最小数? 如 果 U有最小数β，就称β为数集 S 的上确界，即最小上界,记为 β = sup S。 由定义，可知上确界β满足下述两性质： （a）β是数集 S 的上界：∀ ∈x S，有 x ≤ β； （b） 任何小于β的数不是数集 S 的上界：∀ε > 0，∃ ∈x S ,使得 。 x > −β ε （4）叙述实数的无限小数表示：任何一个实数 x可表示成 x =［ x］+( x )， 其中［ x］表示 x的整数部分，( x )表示 x的非负小数部分。例如对 x = 34. ,有 [ ]x = 3, ( ) .x = 0 4 ；对 x = −2 7. ,有[ ]x = −3, ( ) .x = 0 3。我们将( x )表示成无限小数 的形式： ( x ) = , 0 1 2.a a anL L 其中a a 中的每一个都是数字 0，1，2，…，9 中的一个。若(an1 2， ， ， ，L L x ) 是有限小数，则在后面接上无限个 0，这称为实数的无限小数表示。注意无限小 数0 ( )与无限小数00001 2.a a apL L a p ≠ 0 1 9991 2. ( )a a a pL L− 是相等的，为了保持 表示的唯一性，我们约定在( x )的无限小数表示中不出现后者。这样，任何一个 实数集合 S 就可以由一个确定的无限小数的集合来表示： ｛ ｜a =［LL naaaa 210 .0+ 0 x］, = (0 1 2.a a anL L x ), x S∈ ｝。 （5）我们通过下述方法来找出数集的上确界：设数集 S 有上界，则可令 S 中 元素的整数部分的最大者为 (α 0 α 0 一定存在，否则的话， S 就不可能有上界)， 并记 S0 = ∈ ={ | [ ] }x x S x并且 α 0 。 显然 不是空集，并且∀S0 x ∈S ，只要 x ∉S0 ，就有 x＜α 0 。 再考察数集 中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，令它们中最大 的为α ，并记 S0 1 S1 = ∈{ | }x x S x0 1并且 的第一位小数为α 。 显然 S 也不是空集，并且1 ∀ x ∈S ，只要 x ∉S1，就有 x＜α 0 +0. 。 α1 一般地，考察数集 中元素的无限小数表示中第 n位小数的数字，令它们 中最大的为α ，并记 Sn−1 n Sn = ∈ −{ | }x x S x nn n1 并且 的第 位小数为α 。 显然 也不是空集，并且∀Sn x ∈S ，只要 x S 0 1 2 n+0. …α 。 α αn∉ ，就有 x＜α 不断地做下去，我们得到一列非空数集 S ⊃ S0 ⊃ S1 ⊃…⊃ Sn ⊃…，和一列 数α ， ， ，…，α ,…，满足 0 1 2 nα α α 0 ∈Z； ｛0,1,2,…，9},α k ∈ ∀ ∈k N 。 令 β = α 0 +0.α1 α 2 …α n…， 这就是我们要找的数集 的上确界。 S （6）我们分两步证明β就是数集 S 的上确界。 （a） ，或者存在整数 ，使得∀ ∈x S n0 0≥ x Sn∉ 0 ；或者对任何整数 ， 有 。若 ,便有 n ≥ 0 x Sn∈ x Sn∉ 0 x ＜α 0 +0.α1 α 2 …α n0 ≤β。 若 ( )，由 的定义并逐位比较x Sn∈ ∀ ∈n N U{ }0 Sn x与β的整数部分与每一个小 数位上的数字，即知 x = β。所以∀ ∈x S，有 x≤ β，即β是数集 S 的上界。 (b) ∀ε ，只要将自然数 取得充分大，便有 > 0 n0 1 10 0n < ε。 取 ，则β与 的整数部分及前 位小数是相同的，所以 x Sn0 0∈ x0 n0 β − x0 ≤ 110 0n < ε， 即 x0 > −β ε 即任何小于 β 的数 εβ − 不是数集 的上界。 S （7） 最后我们说明有理数集不具备“确界存在定理”，即有理数集是不连续 的。 设T x ，证明x Q x x= ∈ > <{ | }并且 ，0 2 2 T在 中没有上确界。 Q 证 用反证法。 假设T在Q内有上确界，记 supT = n m （ 且m 互质），则显然有 m n N， ∈ n， 1＜ ( )n m 2 ＜3。 由于有理数的平方不可能等于 2，于是只有下述两种可能： (a) 1＜ ( )n m 2 ＜2： 记2 2 2− =nm t，则 0＜ ＜1。令t r n m t= 6 , 则 n m r+ ＞0, n m r Q+ ∈ ，并且 ( ) n m r r n m r t+ − = + − <2 22 2 0。 这说明 n m r T+ ∈ ，与 n m 是T的上确界矛盾。 (b) 2＜ ( )n m 2 ＜3： 记 n m t 2 2 2− = ,则 0＜ ＜1。令t r nm t= 6 ，显然也有 n m r− ＞0, n m r− ∈Q并且 ( ) n m r r n m r t− − = − + >2 22 2 0。 这说明 n m r− 也是T的上界，与 n m 是T的上确界矛盾。 由此得到结论：T在Q中没有上确界。 4． 注意点： （1） 由于学生初学微积分，对极限论的抽象概念不易接受，应该在讲课 中突出几何直观。如 2 位于有理数集合的“空隙”中, 应通过单位正方形 的对角线在数轴上标出它的位置；在确界定理的叙述中，应指出若实数 系在数轴上有“空隙”， 则位于空隙左边的实数集合没有上确界，位于 空隙右边的实数集合没有下确界。 （2） 本节课程中要遇到不少与一些抽象概念有关的命题，在给出它们的 分析证明时要教会学生正确的逻辑思维方法。如证明“集合 没有最大 数”的逻辑思路是证明： S xxSxSx >∈∃∈∀ ':', ；证明“ β 是集合 的上 确界”的逻辑思路是证明： S β≤∈∀ xSx : （即 β 是 的上界），且S εβε −>∈∃>∀ xSx :,0 （即任意小于 β 的数不是上界）；证明“有理数 集合 { }2,: 2 <∈= xQxxT 在 中没有上确界”的逻辑思路是：假设 ，则可以找到有理数 ，或者 Q QxT ∈= 0sup 0>r Trx ∈+0 （即 不是T 的 上界），或者 0x rxxTx −≤∈∀ 0, （即 不是最小上界），从而推出矛盾。 0x （3） 通过讲课，要让学生了解实数系的连续性有多种等价的表达形式， 这些等价的定理贯穿于极限论的整个理论，构成了极限论最基本、最丰 富的内容。