立几复习要突出培养学生的空间想象能力

·14· 中学数学月刊 2006年第·2期 主 复 习耍突出语蓐学生宝向想象能力 沈家 (江苏省苏州实验中学 215011) 立体几何是高中数学的重要，它在 培养学生空间想象能力、逻辑推理能力及转 化思想方法等方面有着独到的作用，因而立 几也是高考的重要内容之一．纵观近几年全 国及各省市(自主命题)数学理科试卷来看 ： 立体几何的命题总体保持稳定、难度适中；空 间向量的引入，给立体几何注入了新的“血 液”，为解立几问题提供了新的有效的解题途 径 和方法；立体几何高考卷在精心设计新题 型方面作过多次有益的尝试，是试题改革的 一 块重要“试验田”． 1 立体几何考查的重点、试题特点、 命题思路以及对考生的能力要求 1．1 立体几何试题总体保持稳定、难 度适 中 (1)题型、题量、分值相对稳定．从 对 2005年的16份理科试卷的统计可看出：其中 有 8份试卷选择、填空、解答三种题型均有， 其余8份试卷兼有选择、解答和填空、解答两 种题型，题量一般是“1大 2小”，个别是“1大 1小”，“1大3小”，全卷分值一般为3O分左 右．解答题中绝大部分为中档题，体现了“降 低大题难度，提升客观难度”的命题思路．立 体几何解答题的求解设计为。一题两法”，既 可以席传统逻辑推理，又可以以空间向量为 工具．显|搽 这是为了对推进数学课程改革起 到积极的导向作用． 、 (2)立体几何考查的分布、重点、 难点、热点相对稳定，空间几何元素之间位置 关系和数量关系、多面体的体积、球的表面积 的计算等是命题的重点和热点，构成试卷的 主体核心内容． 从2005年的16份高考卷可知：选择、填 空共计 32道题．其中考查线线、线面、面面关 系有 13题，考查空间角与距离的有 5题 ，考 查简单多面体及体积有 1O题，考查图形翻 折、展开有 2题，立几与其它数学知识相结合 有 2题．解答题中，涉及线面垂直论证有 6小 题，涉及线线垂直及面面垂直论证各有 2小 题，涉及二面角计算有 11小题，线线角计算 有 6小题，线面角计算有 3小题，点到平面距 离计算有 3小题，球体积计算有 2小题，⋯⋯ 除上海卷外，其余卷均设 2问或 3问． 由此可见：① 空间线线、线面、面面平行 和垂直的性质与判定是考查的重点内容之 一；② 线线(异面直线所成)角、线面角、二面 角是考查的又一重要内容，特别是二面角的 计算是重中之重，也是难点所在；③ 空间的 距离突出考查了异面直线的距离、点到平面 的距离、球面距离的计算等，其中点到平面的 距离是高考重点、难点内容之一；④ 空间几 何体特别是柱、锥、球的表面积与体积计算也 是考查的重要内容；⑥ 解答题一般是以某个 几何载体为依托，分步设问，形成梯度，而且 逐步加深，这种题型设计，目的是为了提高试 题区分度，控制试卷的难度，并随着解题的推 进，对识图能力和作图加辅助线要求逐步提 高，对空间想象能力，以及观察分析能力和逻 辑推理能力，考查要求也逐步深化． (3)考查解题所涉及的“通性通法”稳 定．近几年高考命题注重“通性通法”的考 查，淡化“特殊技巧”的考查，在立体几何命 题中也得到体现． ． 例 1 (2005年全国 I卷)如图 1，在多 面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的 正方形，且 △ADE，／XBCF均为正三角形， EF／／AB，EF一2，则该多面体的体积舟 ( )． r r ． (A) ) (c)百4 (D)要 O O O 这是一道非常规几何体(拟柱体)的体 积计算问题．此题思路广、解法多，其基本方 维普资讯 http://www.cqvip.com 2006年第 2期 中学数学月刊 ·15· 法为割补法．其中图 1—1，1-2是将几何体补 上一个(或两个)四棱锥，而图 1—3，1—4是将 几何体割成一个三棱柱和一个(或两个)三 棱锥，图 1—5则是割成一个四棱柱和两个三 棱锥． E F E F ^ Ⅳ 耄 ．-7 BE BD EC( ’ ： 本题以用估算法： ＼＼⋯ 连 ， ， 图 ＼ 一＼ 1 6)，依题意知 V~-ASD= A ‘ 导 ’VE-sDC Vs~oE=== 图 1- 6 一 ． 故 删^ F—VE_^肋 + ．BDc+ F 4VE．^BD一4’专s△^肋‘h 4‘专。言。，1· 1·h= 2 ，l 2 · ≥ ．(式中^为 点E到平面ABCD的距离)． 对照选择支知选 D． 评注 此题说明了对非常规几何体的 体积计算，常用通法 —— 割补法来解决．不 管如何去考查，反映了高考把重点放在最有 价值的常规方法的应用上的命题方向．此题 与 1999年全国高考题： 在 多 面 体 ABCDEF 中，已 知 底 面 ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF = ，EF与面AC的距离为2，则该多面体的 体积为( )． A．詈 B．’5 c．6 D 基本类似．2005年高考再次重现，说明了对 “通性通法”的考查经久不衰，也说明了“割 补法”有广泛的应用性． 1．2 试题(特别是解答题)突出了空 间向量的工具地位 (1)空间向量的引入，导致“一题两法” 的命制法．空间向量是B种教材的重要内容． 在理科的 16份试卷中，有 13道立体几何题 明显给出了空间坐标系的框架，只要有用空 间向量的意识，建立空间坐标系后，就可利用 向量求解． (2)命题中突出向量的工具地位，使立 体几何问题的解法得以拓展和丰富．空间向 量在许多问题的证明中确有独到之处，求解 空间角与距离时，传统方法需要“作 一 证 一 算”，但对于有些不易作出所求的角与距离的 问题，应用空闯向量法 ，则显得简单易行． 例 2 (2005年全 国 Ⅱ 卷)如 图 2，四棱锥 P— BCD为矩形，PD上 底面 ABCD，AD = PD， E，F分别为CD，PB的中 点． (I)求证：EF上 平 面 P B} ． 目 (Ⅱ)设AB一 ~／_ BC，求 AC与平面 AEF所成角的大小． 分析 本题考查的是立体几何的重点 内容：直线与平面垂直和直线与平面所成的 角，以及空间想象力和推理论证能力，本题是 一 题两法，应用向量法较为简便． (I)略证 建立空间坐标系(如图所 示)，设 AD=PD一 1，AB一2a(口> O)，则 维普资讯 http://www.cqvip.com · 16· 中学数学月刊 2006年第 2期 E(d，0。0)，C(2a，0，0)，A(0，l。O)，B(2a，l， 1 1 一l- o)，P(0，0，1)，F(以，寺，寺)．于是E ；(0， 厶 厶 告，妻)，力 =(2口，1，一1)， ；==(2口，0， 厶 厶 0)．计算 · 一0，ggE---P_l_ ，同理 E---P上蔚 ，所以 EF_l_平面 PAB． (Ⅱ)略解 由 B= 2 BC，得 a； 厂 工 ， 求 得 平 面 AEF 的法 向量 为 ； 厶 (一 2，一 l，1)，设 AC与面AEF所成的 r 角为0，则sin 0一 ICOS(n，A---~>I— ，即 U 广i AC与平面 AEF所成角为 arcsin ． U 评注 (1)对(I)，用传统的方法要证 明 EF_上一面 PAB，需在平面 P B内找出两 条相交直线与 EF垂直，一是较难找，二是较 难证垂直．但利用空间向量，绕过这些难关 ， 利 用代数方法求向量的数量积即可证得，大 大减少了思维量． (2)对(I)，用传统的方法，在限定时间 内，很难找到 AC与面 AEF所成的角．而利 用平面法向量解题，可避开这一切麻烦，只要 找到平面法向量 力，利用向量的代数运算和 有关公式即可简便解决此题． 1．3 精心设计新题型，突出空间想象 能力、逻辑推理论证能力以及转 化思想方法的考查 立体几何命题融人新大纲的教育理念， 拓宽教材，选材多样，创设新颖的情景和设问 方式，宽角度、多视点地考查学生数学素养和 能力，体现了对中学数学教学的导向作用． 1．3．1 利用图形的翻折、展开出新题 例 3 (2004年福建卷) 如图 3，将边长为 1的正六边 形铁皮的六个角各切去一个 全等的四边形，再沿虚线折 起，做成一个无盖的正六棱 柱容器，当这个正六棱柱容 器 的底 面边长 为 ◎ 图 3 时，其容积最大． 评注 这是一道立几与函数最值结合 的一道典型的综合题．～方面考查学生空间 想象能力．想象并寻求翻折后有关线段的数 量关系，另一方面要建立正六棱柱容积 与 (棱柱底面边长)的函数关系式，最后还要 运用求导法求 的最值． 度为 ． ． l E C C 略解 因为展开图分别有 四种情况： 瓯 一 2： ： 号 。一阿 ’故最短距离 为喜 ． 评注 本题是一道小而新的题．需将立 体图形某些面展成平面图形求解，突出了对 “通法”的考查．另一方面要求学生全面考虑 四种情况，分别计算后比较而得答案，渗透了 分类讨论的思想．本题对学生数学素养要求 较高． 1．3．2 将平面几何有关定理类比推广到空 间出巧题 将平面几何中有关定理推广到空间立体 几 何中来，是培养学生创造性思维能力的一 种 有益尝试．它一方面需要学生有较扎实平 面几何和立体几何基础知识，另一方面又要 有归纳、类比推理能力，是学生思维的一种升 华．近几年来，这方茴试题多次出现，并迁移 维普资讯 http://www.cqvip.com 2006年第 2期 中学数掌月刊 ·17· 到数学其它分支中去．现摘录一些供教师参 考． 例 5 (2003年上海卷)在平面几何里， 有勾股定理：“设AABC的两边AB，AC互相 垂直，则AB。+AC。=：=BC柳，拓宽到空间，类 比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面 积与底面积关系，可以得出的正确结论是“设 三棱 锥 A-BCID 的三个 侧 面 ABC，ACD， ADB 两两互 相垂直则 ．(答案： sk^雎+ c^D+ 朋^= 雎D) 例 6 (2004年上海 春 招 )点 P 为 斜 三 棱 柱 ABC—AlB1Cl的侧棱 BB1上 一 点，P 上 BB1交 1于 点 ，PⅣ上BB1交CC1于点 B Ⅳ· 图 6 (1)求证：CC1_l_MN； (2)在任意ADEF中有余弦定理DE。 一 DF 十EF —2DF·EFcos／DEF．拓展 到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱 柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二 面角之间的关系式，并予以证明． 解 (1)略； (2)在 斜 三 棱 柱 ABC—A,BIC,中，有S2舳Bl^l=SB2cc1口1十 l^l 一 2 朋 · c^c1A1COS口，其 中 口为 平面 CC B B与平面CCIA A所组成的二面角．证 明略． 例 7 (2004年广东卷)图 7有面积关 系：S APA'~ 一 ·铬；图8有体积关系： v P．粕 ：=： — — ’ ‘ Jp 图 7 图 8 1．3．3 在知识网络交汇处构造综合题 “在知识网络交汇点”设计试题是近几 年高考命题改革特别反复强调的量要理念之 一 ，立体几何也不例外． ，． (1)立几与排列组合结合 例 B (2oe5年全国 i卷)过三棱柱任 意两个顶点的直线共 15条，其中异面直线有 ( )． (A)18对 (B)24对 (C)30对 (D)36对 简解 三棱柱共有 6个顶点，任取 4个 不共面构成三棱锥有C：一3—12个．每个三 棱锥有3对异面直线，故共有3×12 36对 异面直线，故选 D． 评注 利用熟知立体图形(这里是三棱 锥)来灵活转化，是处理几何体中异面直线 配对的常用方法．本题还可以按底面棱、侧 棱、侧面对角线进行分类讨论来解决，限于篇 幅，留读者思考． (2)立几与概率相结合 ， 例9 (2005年湖北卷)以平行六面体 ABCD—A B C D 的任意三个顶点作三角 形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角 形不共面的概率 P为( )． (A)丽367 (B)丽376 (c)丽192 (D)弼18 略解 由8个顶点任取三个，可以构成 C；=56个三角形，从中任取两个三角形情形 C；。种，但共面的情形有 12C：种，故P= 1— 12Ci 367、 酉 ===丽 评注 这是一道以平行六面体为载体， 综合考查立几、排列组合、概率等基础知识的 典型试题．构思巧妙，小而巧，易出错，是深入 考查学生思维能力的一道佳题． ，(3)立体几何与解析几何结合 例10 (2004年北京 卷)如 图 9，在 正 方 体 ACBD-A1B1C1D1中，P是 AI 侧面 BB C C内一动点， 若 P到直线 BC与直线 C D 距离相等，则动点 P A 的轨迹所在曲线是 (A)直线 (B)圆 ‘ 图 9 (C)双曲线 (D)抛物线 略解 作 PG上 BC交 BC于G，则PG 维普资讯 http://www.cqvip.com ·18· 中学数学月刊 2006年第 2期 为点P到 BC的距离，又PC1为点P到C D 的距离，由抛物线定义知P的轨迹是抛物线． 故选 D． 评注 此题是立几与解几知识交汇处 的一道综合题，由选择支提供的结论联想到 解析几何中圆锥曲线的定义，使动态的立体 几何转化为有矩可循的解析几何问题． (4)立几与平面几何结合 例 11 (2004年 重庆 卷 )若 三 棱 锥 A—BCD侧面ABC内一动点 P到底面BCD 的距离与到棱 AB的距离相等，则动点 P的 轨迹与 AABC组成的图形可能是( )． ’ - 图 1O 筒解 如图11，在平 。、 面ABC内，作 ABC的 平分线BE，显然P到AB 与 BC的距离相等，但 P 到平面 BCD 的距离 PO 略解 拼成三棱柱有三种拼法，将第二 个放置在第一个上面且上底面重合，这样得 到三棱柱全面积最小，此时 兰麓柱一去·3a· 4口·2+ (3a+ 4a+ 5a)· = 12a。+ 48． a 拼成 四棱柱也有三种拼法 ，将底边长 5口、高 2I2的面重合 ，这样得到的四棱柱表面 积最小，此时 S四-柱垒一3a-4口-2+ (3a+ 9 4a)三 -2= 24a + 2 ． 因为 四-柱盘一 兰-柱垒===4(3a。一5)< 0，解得 0< 口< ． 评注 本题设计新颖，有效考查了学生 动手操作及其全面分析问题和解决问题的能 力． 例13 (2005年全国 Ⅱ卷)将半径都为 1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容 器里，这个正四面体的高的最小值为( )． (A) (B52+ J (cj4+ (D) 4 C~+2 c l。 必然小于 P 到 BC的距 离，所以满足题意的P点轨迹必位于BE的 上方，故排除A，B，C，选 D． - 1．3．4 在实践操作、实际应用方面出活题 倒 12 (2005年上海卷)如图 12，有两 个相 同的直三 棱柱，高为号9， 底 面三 角形 的 三边长分 别为 3口，4口，5口(口 > 5a 秘5a 图 12 0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有 可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱， 则a的取值范时是 图 13 图 14 略解 依题意四个球两两相切，如图 13，四个球心为正四面体O。O。O。O 的四个顶 ，、 ， 点，其棱长为2，易求得高h ．下方又 ') 有球半径 1．再加上球心 O 到顶点的距离与 到球O 底端距离的比为3：1，故四面体的高 为 3+ 下2~f-6-+ 1：4+ 旦 ，故选C． 评注 解此题要有较强的空间想象能 力，首先萼将实际问题转化为正四面体求高 加“两头”的问题，其次要突破难点，解决球 心O 到顶点的距离的求法． 警 霉 n ‰ 蠢 ．． 维普资讯 http://www.cqvip.com 2006年第 2期 中学数学月刊 ·19· 1．3．5 变换设问、创设情景出“把关题” 例 14 (2004年 上 海 卷)如 图 15， P—ABC是 底面边 长 为 1的正三棱锥，D， ． E，F分 别 是 棱 PA， PB，PC上的点，截面 DEF／／底面 ABC，且 棱台 DEF-ABC与棱 锥P—ABC的棱长和相 Jp 图 15 C 等．(棱长和是指多面体中所有棱的长度之 和) (1)，证明：P—ABC为正四面体； 1 (2)若PD=÷PA，求二面角D—BC_ 的大小} (3)设棱台DEF-ABC的体积为 ，是否 存在体积为 且各棱长均相等的平行六面 体，使得它与棱台DEF—ABC有相同的棱长 和?若存在，请具体构造出这样一个平行六面 体，并给出证明}若不存在，请说明理由． ． 评析 此题第(3)问的设问是探求型 的，是立几的存在性问题的探求．．要通过分 析、计算、推论并利用构造思想构造出一个棱 1 长均为-砉-，底面相邻两边夹角为aresin(8V) 的直平行六面体，满足题设要求而获解． 2 复习建议 2．1 抓纲务本、夯实基础知识 通过以上对近几年高考情况分析可知： 立体几何试题大部分属于常规题、中档题．因 此 立几复习应围绕大纲，深入研究《考试大 纲》，明确考试内容的知识要求、能力和个性 品质要求，紧扣教材，狠抓基础．针对立体几 何概念多、定理多、计算公式多的特点，要求 学生系统整理、编织有序的知识网络，熟练掌 握课本中每一个概念、定义，每一个定理的题 设结论及其用途．要突破读图、识图、画图、用 图道道关口，切实提高空间想象力，熟练进行 文字语言 符号语言和图形语言相互转化，提 高逻辑推理能力，注重转化能力的培养与提 高．为此，第一阶段的复习要夯实基础知识， 重视基础知识的理解及其应用；第二阶段复 习要通过专题讲座形式进行补缺补漏，适当 加深、拓宽和延伸，旨在进一步提高学生的空 间想象能力、逻辑推理能力、运算能力及综合 解题能力． 2．2 训练要有针对性 教师要研究立几命题的特点和趋向，有 针对性地选择近几年高及各地模拟考 试题中一些典型试题进行深入剖析，总结归 纳解题的规律和方法．要采用“一题多解、一 题多变”开拓学生的思路．要精心设计训练， 有 的放矢地时行科学的训练，要引导学生注 意总结积累解题的经验，在解题的过程中进 行反恩，在反思中总结 提炼规律性的东西． 立几复习要突出常用的数学思想方法，并能 正确熟练地用于解题．立几特有的思想和方 法有：等积变换、割补思想、降维思想、向量方 法、射影公式，等等．在立几复习中，应重视培 养学生的转化思想，形成解决立几问题所必 须的转化能力，如通过灵活选设参数(设线段 长或角度为参数)，将立几问题转化为代数或 三角问题等． 2．3 做到四个“重视’’，切实提高复习 效率 一 是重视向量的应用．复习中应适度引 申“法向量”的知识，并介绍运用法向量求点 到平面距离、直线与平面所成角、二面角的有 关方法．因为立几的一些问题，用传统方法来 求解较为困难，但用向量的方法，特别是用法 向量来求解，显得简单易行，但千万要注意， 不要佣为空间向量的引入，削弱了立体几何 对 予培养空间想象力这一中心任务，传统的 思想和方法不可轻易丢弃．况且并不是所有 的立几问题(目前的高考题除外)都可以用 向量方法来解决，也不是用向量的方法求解 一 定比传统方法简单．一道立几题究竟用传 统的方法来解还是用向量方法来解要根据 “题情”进行选“法”． 二是要重视试卷评讲，强调解题规范．重 视数学语言的表达能力和解题规范化是立几 试题的特别要求．往往一次考试下来，学生自 维普资讯 http://www.cqvip.com ·2O· 中学数学月刊 2006年第 2期 我感觉良好，但实际得分不高，其原因是多方 面的：一是基本运算不过关造成计算错误；二 是 概念不清而导致错误．如异面直线所成的 角忽视其范围是(O，9O。]，证面面垂直未写出 直线与平面垂直就下结论，等等；三是说理不 清，语言表述不过关；四是书写不规范导致失 分．这些问题在高考中屡见不鲜，针对这些问 题，耍认真搞好试题评讲工作，既要通过对典 型试题的评讲，总结解题的规律和方法；又妥 通过对典型错误的剖析，使学生从中吸取教 训I还妥强调解题规范，注意书写格式，对此 ， 教师在平时教学中要率先做好示范． 三是妥重视学生解决实际问题能力的培 养．解决实际问题的能力作为数学能力的一 个重要方面，既是高考考查的重点，有的也是 难点所在．立体几何是一门与生活、生产实际 结合密切的学科，立几的许多问题来源于生 活和生产实际，所以在复习教学中，要结合生 活、生产实际，挖掘教材中的索材，恰当地提 出问题，创设问题情境，引导学生主动地去分 析、探究、动手操作、实践，并有针对性地开展 一 些研究性学习课题，着眼于提高和培养学 生数学的探究能力、建模能力和实践能力，等 等，从而激发学生学习立体几何的兴趣和提 高学生学好立体几何的信心． 四是妥重视训练的科学性．随着高考考 试改革的逐步深人，高考对知识的考查越来 越侧重于理解和应用，“以能力立意”的命题 宗旨强调基础和能力并重、知识与能力并举． 教师要适应这一变化，摒弃大题量操练的错 误做法，实施科学训练，切实提高复习的效率 和质量． 中考数 错 想题的垂型与功铭 汤文卿 (江苏省海门中学 226100) 数学猜想是指依据已有的和知识， 对研究的对象进行观察、实验、比较、联想、类 比、归纳、分析、综合等，从而作出符合一定经 验 与事实的推测性想象的思维形式．数学家 波普尔说过：“我们的科学知识是经过未经证 明的和不可证明的孤言，通过推测，通过对问 题的尝试性解决，通过猜想而进步的．”数学 教育家弗赖登塔尔又亩：“真正的数学家常常 借数学的直觉思维作出各种猜想，然后再加 以证实的 ．．．⋯”猜想是一种探索研性活动， 具有一定的规律和方法，在探索研究活动中， 通过对数学规律和思维方法的实践与领悟， 有助于学生智能的开发和数学思维的发展， 可 以考查学生思维的深刻性和开放性．综观 近年中考试题，数学猜想题深受命题者青睐， 频频出现在各地试卷中，独领风骚，成为课程 改革后中考命题一道亮丽的风景线．本文就甑 其常见题型与功能作一阐述． 1 规律性猜想 规律性猜想题 提供的信息是一种规律， 但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只 要注重观察数字(式)变化规律，经归纳便可 猜想出结论．它可考查思维的准确性、深刻 性，提高概括能力． 例 1 (2005年河j匕省)观察右面的图形 (每个正方形的边长均为1)和相应的等式， 探究其中的规律： ①1× 1=1一号一一 ②2×号=2一了2一一 ②2×号=2一 ．卜-一 ⑧3× 3=3一羔4- 一 ④4×詈一4一百4一一 《 ．． ．； l ， 舔 雠 。 ． 母 。 。 簟 々图 圜一 维普资讯 http://www.cqvip.com