构造向量巧证面面垂直

专 业 精心策划 S 高 二 数 学 爱 好 者 数学爱好者 2007·1 !!!!!!!"! " !!!!!!!" ! " 方法技巧 面面垂直问是立体几何的常见题型,解决这类 问题通常利用定义或利用判定定理转化为线面垂直, 但有时一些题目的隐含条件不易发现,常感到无从下 手,倘若变换思维,利用向量的性质,便可顺利解决. 例 1 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,O为 AC与 BD的交点,G为 CC1 的中点,求证:平面 A1BD⊥平 面 GBD. 要证明平面 A1BD 平面 GBD,只要证明平面内的 一条直线 A1O⊥平面 GBD中的两条相交直线即可, 而从图中观察,证明A1O⊥BD,A1O⊥OG较容易成功. 证明 设A1B1$%=a,A1D1$%=b,A1$%A=c. 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,而A1$%O=A1$%A+A$%O =A1$%A+12(A $%B+A$%D)=c+1 2 (a+b), B$%D=A$%D-A$%B=b-a, O$%G=O$%C+C$%G=1 2 (A$%B+A$%D)-1 2 CC1 $% =1 2 (a+b)-1 2 c, 所以A1$%O·B$%D=(c+12a+ 1 2 b)·(b-a) =c·(b-a)+1 2 (a+b)·(b-a) =c·b-c·a+1 2 ((b)2-(a)2)=0. A1$%O·O$%G=(c+12a+ 1 2 b)·(1 2 a+1 2 b-1 2 c) =1 4 (a+b)2+1 4 c·(a+b)-1 2 (c)2 =1 4 ((a)2+(b)2)-1 2 (c)2=0 所以A1O⊥BD,A1O⊥OG.又因为BD∩OG=O. 所以A1O⊥平面BDG.又A1O’平面A1BD, 所以平面A1BD⊥平面GBD 评注 向量a垂直于向量b的充要条件是a·b= 0,据此可以证明直线与直线垂直,进而还可证明直 线与平面垂直及两个平面垂直.在证明一对向量垂 直时,往往用一组基底先表示这一对向量,在考虑它 们的数量积是否为零. 例 2 在空间图形 P-ABCD中,PA⊥面 ABCD, PB与面 ABCD成 60°角,在四边形 ABCD中,∠A= ∠B=90°,AB=2,AD=1,BC=4,M为PC的中点. 求证:平面BDM⊥平面PBC. 证明 建立如图所示的空 间直角坐标系,则由条件知 A (0,0,0),B(2,0,0),C(2,4, 0),D(0,1,0). 因为PA⊥面ABCD, 所以AB为PB在面ABCD内的射影. 所以∠PBA=60°.又AB=2, 所以PA=2 3) ,P(0,0,2 3) ). 因为M是PC的中点, 所以A$%M=1 2 (A$%P+A$%C)=1 2 (A$%P+A$%B+B$%C) =1 2 (2,4,2 3) )=(1,2, 3) ), B$%M=A$%M-A$%B=(1,2, 3) )-(2,0,0)=(-1,2, 3) ) P$%C=A$%C-A$%P=(2,4,0)-(0,0,2 3) )=(2,4,-2 3) ) 所以B$%M·P$%C=(-1)×2+2×4+ 3) ×(-2 3) )=0 所以B$%M⊥P$%C. 又D$%M=A$%M-A$%D=(1,2, 3) )-(0,1,0)=(1,1, 3) ),所以D$%M·P$%C=2×1+4×1+(-2 3) )× 3) =0. 所以DM⊥PC. 所以PC⊥面BDM. 从而面PBC⊥面BDM. 评注 利用向量的计算可以证明两直线垂直, 进而还可证明直线与平面垂直及两个平面垂直. A B CD A1 B1 C1D1 O G y z x A B C D M P 名师点金 构 造 向 量 巧 证 面 面 垂 直 河 南 郏 县 一 高 陈 长 松 !"#