大一高数期末考卷（内附解析）

立信04级春本《微积分上》A卷 一．单项选择题（每题2分，共10分） 1．函数 在其定义域上是 ( ). C A. 有界奇函数 B. 有界偶函数 　 C. 无界奇函数 　 D. 无界偶函数 2．函数 在点 处有定义是 在点 处极限存在的 ( ). D A. 充分条件 B. 必要条件 　 C. 充要条件 D. 无关条件 3．设函数 ，则 在 处 ( ). D A. 极限不存在 B. 极限存在但不连续 　C.连续但不可导 D. 可导 4．函数 的间断点是 ( ). B A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点 5．设函数 ，在 内 ，则在 内 ( ). A. 　B. C C. D. 二．填空题（每题2分，共10分） 1．要使函数 在点 处连续，应补充定义 . 2．设函数 可导，且 ，则 . 3．设 ，则 . 4．设需求函数 ，则收益 对需求量 的弹性 . 5．设 ，则 . 三．计算题（每题5分，共50分） 1． 解： ， 而 ， 由夹逼定理知，原式 2． （ ） 解：原式 3． 1 解：原式 4． 1 解：原式 5． 求 解： 6． 求 1 解： ， ，当 时 ，则 7． 求 解： ， 8． 解：原式 9． 解：原式 10． 解： 四．分析题（每题8分，共16分） 1．设函数 ，试求a、b的值，使 在点 处可导. 解：可导一定连续，应有 ， ， ， 可导的充要条件是左右导数存在且相等，应有 2．设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为 ，试求 . 解： ， ，切线方程： 令 ，可得 ，故 五．证明题（每题7分，共14分） 1．设 ，试证明不等式： 证：设 ，对 ，在区间 上应用拉格朗日定理，有 ， 由此可得 2．设函数 在 上连续，在 内可导，且 。试证明：存在 ，使得 。 （提示：作辅助函数 ） 证：设函数 ，在区间 上应用罗尔定理，可知存在 ，使得 ， 因为 ，故有