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FreeKaoYan水木艾迪考研辅导班 教学与命题研究中心 数学(一)试题

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FreeKaoYan水木艾迪考研辅导班 教学与命题研究中心 数学(一)试题水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 水木艾迪考研辅导班 教学与命题研究中心 数学(一)试题 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分,把答案填在题中横线上) (1)设 y = y ( x) 在任意点 x ∈ (0,+∞) 满足 y ⎛π ⎞ Δy = ( + x sin x)Δx + o(Δx) ,若 y⎜ ⎟ = 0 ,则 y ( x ) = x ⎝2⎠ 【解】 y = y ( x) ...
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水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 水木艾迪考研辅导班 教学与命题研究中心 数学(一)试题 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分,把填在题中横线上) (1)设 y = y ( x) 在任意点 x ∈ (0,+∞) 满足 y ⎛π ⎞ Δy = ( + x sin x)Δx + o(Δx) ,若 y⎜ ⎟ = 0 ,则 y ( x ) = x ⎝2⎠ 【解】 y = y ( x) 在任意点 x ∈ (0,+∞) 满足 Δy = ( 。 y + x sin x)Δx + o(Δx) x 则 f ( x ) 在 (0,+∞) 内可导,且 程初值问题 y′ = y + x sin x ,于是得一阶线性微分方 x ⎧ ′ 1 y − y = x sin x ⎪ x ⎪ , ⎨ π⎞ ⎪ y⎛ ⎜ ⎟=0 ⎪ ⎩ ⎝2⎠ − ∫ dx ∫ dx y ′ = e x ( ∫ x sin xe x dx + C ) = x( ∫ sin xdx + C ) = x( − cos x + C ) 1 1 由 y⎜ ⎛π ⎞ ⎟ = 0 得 C = 0 。于是 y = − x cos x 。 ⎝2⎠ 3 2 2 2 (2)设 Ω = {( x, y, z ) ∈ R | x + y + ( z − 1) ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} 则 ∫∫∫ Ω dΩ x2 + y2 + z2 = π 。 π 【解】 I = ∫∫∫ Ω dV x2 + y2 + z2 n = ∫ 2 dθ ∫ 2 sin ϕ dϕ ∫ 0 0 2 cos ϕ 0 π 1 2 ⋅ r dr = r 3 。 (3)若 f ( x) = 2nx(1 − x) ,记 M n = max{ f ( x)} ,则 lim M n = x∈[ 0 ,1] n →∞ 【解】 f ' ( x) = 2n(1 − x) n −1 (1 − (n + 1) x) = 0 ,得到唯一驻点 x = 1 。 n +1 1或 由 f ( x) 在 [0,1] 上有最大值,可能的最大值点是在 x = 0, 值得到 1 取到,比较三点的函数 n +1 1 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 n Mn = f ( 1 ⎞ 2n ⎛ 1 )= ⎜1 − ⎟ n + 1 n + 1 ⎝ n + 1⎠ n 1 ⎞ ⎛ lim M n = 2 lim⎜1 − ⎟ 。 n→∞ n →∞ ⎝ n + 1⎠ − ( x +1) x ⎡⎛ ⎤ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ = lim⎜1 − = − 2 lim 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ x →∞ x →∞ ⎝ x +1⎠ ⎢ ⎥ ⎣⎝ x + 1 ⎠ ⎦ − x x +1 = 2e −1 。 (4)假设在过点 O(0,0) 和 A( π ,0) 的曲线族 y = a sin x (a > 0) )中,有一条曲线 L,使沿 该曲线从 O 到 A 的积分 为 【解】 I (a) = 。 ∫ L (1 + y 3 )dx + (2 x + y )dy 的 值 达 到 最 大 , 则 该 曲 线 ∫ L (1 + y 3 )dx + (2 x + y )dy = π a sin x L + AO ∫ (1 + y 3 )dx + (2 x + y )dy + π = ∫∫ (2 − 3 y 2 ) dxdy + π = ∫ dx ∫ 0 D 0 4 (2 − 3 y 2 )dy + π = 4a − a 3 + π 3 I ′(a) = 4 − 4a 2 = 0, a = 1 。答案为 y = sin x 。 ( 5) 设 α1 ,α 2 ,α 3 是 3 维列向量, 记矩阵 A = (α1 , α 2 , α 3 ) ,B = (α 3 ,α 2 ,α1 ) ,C = 2 A − B , 已知 A = 1 ,则 C = 【解】[方法 1] . C = 2A − B = 2(α 1 , α 2 , α 3 ) − (α 3 , α 2 , α 1 ) = (2α 1 − α 3 , α 2 ,2α 3 − α 1 ) ⎛ 2 0 − 1⎞ ⎜ ⎟ = (α 1 , α 2 , α 3 ) ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ −1 0 2⎟ ⎝ ⎠ 2 0 −1 C = A 0 1 0 −1 0 2 =3 [方法 2] C = 2A − B = 2(α 1 , α 2 , α 3 ) − (α 3 , α 2 , α 1 ) = 2α 1 − α 3 , α 2 ,2α 3 − α 1 = 2α 1 , α 2 ,2α 3 + − α 3 , α 2 ,−α 1 2 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 = 4 α 1 , α 2 , α 3 − α 1 ,α 2 ,α 3 = 3 α 1 ,α 2 ,α 3 =3 (6)设总体 X ~ N (0, σ 2 ) , 设 X 1 , X 2 , L , X 15 为其简单样本,则 2 ∑ i =1 (−1) X i 10 i ∑ 15 i =11 X i2 服从的分布是_________ . 2 10 i 【解】由设 X 1 , X 2 ,L, X 15 为 iid , ~ N (0,σ ), 故线性和 ∑ i =1 (−1) X i ~ N (0,10σ ), 2 因此 ∑ i =1 (−1) X i / 10σ ~ N (0,1 ) 又 X i / σ ~ N (0,1) ,故 ∑ i =1 ( X / σ ) ~ x (5) 。 10 i 2 10 2 2 依 t 分布的定义(典型模式) ,注意下式分子与分母独立,知 10 (− 1)i X i ⎛ 2 ⎜ ∑ 15 i =1 2 ⎜ ∑ i=11 X i = 10σ ⎜ ⎝ 2 ∑ i =1 (−1) X i 10 i ∑ i=11 X 15 2 i σ 5⎞ ⎟ ⎟ ~ t (5) ⎟ ⎠ −1 答案: t (5) 二、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内。 ) (7) 若 lim x →0 cos 2 x − cos 2 x 1 + xk − 1 = a ≠ 0 ,则( ) 。 (A) k = 2, a = −2 。 (C) k = 2, a = 2 。 (B) k = −2, a = −2 。 (D) k = −2, a = 2 。 【解】 lim x →0 cos 2 x − cos 2 x 1 + xk − 1 = 2 lim x →0 cos2 2 x − cos 2 x x k (cos 2 x + cos 2 x ) 1 − (2 x )2 cos 2 x − 1 2 = 2 lim = 2 lim = a ≠ 0, x →0 x →0 1 1 k k ) x (1 + x (1 + ) cos 2 x cos 2 x 得到 k = 2, a = −2 。答案:(A)。 (8)设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 是条件极值问题 2 2 2 ⎧ ⎪min u ( x, y, z ) = x + 2 y + 3z ⎨ 2 2 ⎪ ⎩s.t z − ( x − 1) − y − 1 = 0 的解, 且 x 0 + 2 y 0 + 3 z 0 = R 。 又设 π 1 2 2 2 2 , π 2 分别是曲面 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 = R 2 和曲面 3 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 z − ( x − 1) − y 2 − 1 = 0 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的切平面,则[ 2 ]。 ( A)π 1与π 2 互相垂直. (C )π 1与π 2 的法线的夹角是 45° . ( B )π 1与π 2 重合. ( D) A, B, C 都不正确. 2 2 2 2 2 【解 1】 构造辅助函数 L( x, y, z , λ ) = x + 2 y + 3 z − λ ( z − ( x − 1) − y − 1) 。由拉格 朗日乘子法,在 P0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 有 ∂L ∂x ∂L ∂y ∂L ∂z = 2 x0 + 2λ ( x0 − 1) = 0 P0 = 4 y 0 + 2λy 0 = 0 P0 = 6z0 − λ = 0 P0 解这个方程组得, λ = −2, x0 = 2, z 0 = − 1 。 π 1 在 P0 的法矢量为 3 v v n1 = (2 x0 ,4 y 0 ,6 z 0 ) = (4,4 y 0 ,−2) ; π 2 在 P0 的法矢量为 n2 = (−2,−2 y 0 ,1) 。 显然有 n 1 // n 2 。又因为 π 1 和 π 2 相交,所以它们重合。 【解 2】 首先,由条件极值的必要条件, π 1 // π 2 ,其次都过点 P( x0 , y0 , z0 ) , 因此重合。答案:(B)。 (9)设常数 α > 0 ,正项级数 v v ∑ ∞ n =1 a n 收敛,则级数 ) 。 (D)敛散性与 α 的值有关。 ∞ ∑ (− 1) ∞ n an+2 n 2 + 1 + cos α n =1 ( (A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 【解】 答:(C)。若正项级数 ∑ ∞ n =1 a n 收敛,所以 ∑n=1 an+ 2 收敛。 另外有 (−1) n 1⎛ 1 ⎞ ≤ ⎜ an+ 2 + 2 ⎟ n + 1 + cos α ⎠ n + 1 + cos α 2 ⎝ an+2 2 级数 ∑ ∞ 1 对任意的常数 α 都收敛, 所以原级数绝对收敛。 n =1 n + 1 + cos α 2 (10) 设由 e = xy + yz + zx 确定的隐函数为 z = f ( x, y ) , 则 z = f ( x, y ) 存在的充分条件 z 4 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 与曲面 z = f ( x, y ) 在点 (1,1,0) 处的为切平面方程分别为( (A) e − x − y ≠ 0 与 x + y + z = 2 。 z z ) 。 (B) e + x + y ≠ 0 与 x + y + z = 2 。 (D) e + x + y ≠ 0 与 x − y − z = 2 。 z (C) e − x − y ≠ 0 与 x − y − z = 2 。 z z 【解】 F ( x, y, z ) = e − ( xy + yz + zx) ,隐函数 z = f ( x, y ) 存在的充分条件是 Fz ( x, y, z ) = e z − x − y ≠ 0 。 Fx (1,1,0) = (− y − z )(1,1, 0 ) = −1 , Fy (1,1,0) = (− x − z )(1,1, 0 ) = −1 , Fz (1,1,0) = e z − x − y ( ) (1,1, 0 ) = −1 , 切平面为: ( x − 1) + ( y − 1) + z = 0 ,即 x + y + z = 2 。答案为(A)。 (11)设 λ1 , λ2 是 3 阶矩阵 A 的两个不同的特征值, α 1 ,α 2 是 A 的属于 λ1 的线性无关的特 征向量,α 3 是 A 的属于 λ2 的特征向量,则 α1 + Aα 3 , A(α 2 − α 3 ) , Aα1 + α 3 线性相关的 充分必要条件是( ) 。 (A) (C) λ1 = 0 或 λ1λ2 = 1 λ1 ≠ 0 且 λ1λ2 ≠ 1 (B) (D) λ2 = 0 或 λ1λ2 = 1 λ2 ≠ 0 且 λ1λ2 ≠ 1 0 ⎛1 ⎜ 【解】 (α 1 + Aα 3 , A(α 2 − α 3 ), Aα 1 + α 3 ) = (α 1 , α 2 , α 3 )⎜ 0 ⎜λ ⎝ 2 1 由 λ1 ⎞ ⎟ λ1 0⎟ − λ2 1 ⎟ ⎠ 0 λ1 α1 , α 2 , α 3 线性无关,又 0 λ2 0 = λ1 (1 − λ1λ 2 ) = 0 λ1 − λ2 1 ⇔ λ1 = 0, or λ1λ 2 = 1 所以,选(A) 。 (12) 对 3 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A 先交换第 1 行和第 3 行, 然后将第 2 列的 − 2 倍加到第 3 * 列,得到矩阵 − E ,其中 E 是 3 阶单位矩阵,则 A = ( ) 。 1 ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (A) ⎜ 1 − 2⎟ 或 ⎜ −1 2 ⎟ 。 ⎜1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (B) ⎜ 1 − 2⎟ 或 ⎜ − 2 1 ⎟ 。 ⎜1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 − 1⎞ ⎛ − 1⎞ 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (C) ⎜ −1 2 ⎟ 或 ⎜ 2 −1 ⎟ 。 (D) ⎜ − 2 1 ⎟ 或 ⎜ 2 − 1 ⎟。 ⎜ −1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 【解】依题意 1⎞ ⎛ ⎛1 ⎜ ⎟ ∗⎜ ⎜ 1 ⎟A ⎜ 1 ⎜1 ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ − 2⎟ = −E 1⎟ ⎠ A =1 2 1⎞ 1⎞ ⎛1 ⎞⎛ ⎛ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∗ ⎜ ⎟ ∗ ⎜ 1 − 2⎟ ⎜ 1 ⎟ A = −E , ⎜ − 2 1 ⎟ A = −E , ⎜ ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝1 ⎠ ⎝ ⎠ 所以, A = ±1.于是 1⎞ − 1⎞ ⎛ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 。 A = ⎜ − 2 1 ⎟ 或A = ⎜ 2 − 1 ⎟ ,故选(D) ⎜1 ⎟ ⎜−1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (13) 设 P ( A | B ) = P (B | A) = 1 2 , P A = . 则( 4 3 ( ) ) (A)A 与 B 独立, 且 P( A ∪ B ) = 5/12; (B)A 与 B 独立, 且 P(A) = P(B) ; (C)A 与 B 不独立, 且 P( A ∪ B ) = 7/12 ; (D)A 与 B 不独立, 且 P A | B = P ( A | B ) . 答案:C (14)设总体X二阶矩存在, X1, X2, K,Xn是其简单样本,n>1, 样本均值为 X . 则对 X 期望估计时, ( ). ( ) (A) ( X 1 + X ) / 2 不是无偏, 但它比 X 更有效. (B) ( X 1 + X ) / 2 比 X 更有效. (C) 利用切贝雪夫定理, ( X 1 + X ) / 2 以概率收敛于 0,因此是一致估计. (D) X 比 ( X 1 + X ) / 2 更有效. 答案:D 三、 解答题(本题 9 小题,满分 94 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分 11 分)求幂级数 n +1 ∞ ( −1) x n+1 的和函数,并求 ∑ n=1 n ∑ n=1 n ∞ 6 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 的和。 [解] 方法 1: ∑ ∞ n =1 (− 1)n−1 x n = ln(1 + x) ,其中 x ∈ (−1,1] ,幂级数 n n x n +1 ∞ x = x ∑ n=1 n ∑ n=1 n = − x ln(1 − x) = S ( x) ,其中 x ∈ [−1,1) , ∞ (−1) n+1 而 ∑ n =1 相 当 于 S (−1) , 且 由 S ( x) ∈ C[−1,1) 得 , n ∞ S (−1) = lim+ S ( x) = lim+ [− x ln(1 − x)] = ln 2 。 x → −1 x → −1 方法 2:令 S1 ( x) = xn ∑ n=1 n ,其收敛域即为 S1 ( x) 的定义域,为 [−1,1) , ∞ 且 S ( x) = xS1 ( x ) 。任给 x ∈ [−1,1) ,由逐项求导公式得, ′ ⎛ xn ⎞ ∞ 1 n −1 S1′ ( x) = ∑ n=1 ⎜ ⎜ n ⎟ ⎟ = ∑ n =1 x = 1 − x , x ∈ (−1,1) 。 ⎝ ⎠ ∞ 因此 S1 ( x) = S1 ( x) − S1 (0) = 所以 ∫ 1 dt = − ln(1 − x), x ∈ (−1,1) 。 0 1− t x S ( x) = xS1 ( x) = − x ln(1 − x), x ∈ (−1,1) 。 x → −1 x → −1 由 S ( x) ∈ C[−1,1) 得, S ( −1) = lim+ S ( x ) = lim+ [ − x ln(1 − x )] = ln 2 。 ,求 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处的最大方 (16) (本题满分 12 分) 已知 f ( x, y ) = ( x − 6)( y + 8) 向导数 g ( x, y ) ,并求 g ( x, y ) 在 D = {( x, y ) x + y ≤ 25} 上的最大、最小值。 2 2 【解】 由于 gradf ( x, y ) = ( y + 8, x − 6) ,所以根据梯度的几何意义可知 g ( x, y ) = ( y + 8) 2 + ( x − 6) 2 。 考虑 h( x, y ) = g ( x, y ) = ( x − 6) + ( y + 8) ,由于 2 2 2 ′ = 2( x − 6) = 0, ⎧h x ⎨ ′ ⎩h y = 2( y + 8) = 0 在区域 D 上无解,所以 h( x, y ) 的最大、最小值均在 D 的边界 x + y = 25 上取到。…7 分 2 2 令 F ( x, y, λ ) = ( x − 6) + ( y + 8) + λ ( x + y − 25) ,解 2 2 2 2 7 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 ⎧ Fx′ = 2( x − 6) + 2λx = 0, ⎪ ⎨ Fy′ = 2( y + 8) + 2λy = 0, ⎪ 2 2 ⎩ Fλ′ = x + y − 25 = 0 得 ⎨ ⎧ x = 3, ⎧ x = −3, 或 ⎨ 因为 h(3,−4) = 25, h(−3,4) = 225 , 所以 g ( x, y ) 在区域 D 上的 ⎩ y = −4 ⎩ y = 4. 最大、最小值分别为 15, 5 。 ( 17 ) ( 本 题 满 分 11 分 ) 设 f ( x) 在 [a, b] 上 一 阶 可 导 , 在 (a, b) 内 二 阶 可 导 , f (a) = f (b) = 0 , f ′(a) f ′(b) > 0 ,证明: (1)存在 ξ ∈ (a, b) ,使 f (ξ ) = 0 ; (2)存在η ∈ (a, b) ,使 f ′′(η ) = f ′(η ) . (3)存在 ζ ∈ (a, b) ,使得 f ′′(ζ ) = f (ζ ) 。 【证】 (1)不妨设 f ′(a) > 0, f ′(b) > 0 ,即 lim + x →a f ( x) − f ( a ) > 0, x−a 由极限的保序性,∃x1 ∈ ( a, a + δ ), 使得f ( x1 ) > 0 , 同理,∃x 2 ∈ (b − δ , b), 使得f ( x 2 ) < 0 则 ∃ξ ∈ ( x1 , x 2 ) ⊂ (a, b), 使得f (ξ ) = 0 。 (2)由(1)可得到 ∃ξ1 ∈ ( a, ξ ) ,使得 f ′(ξ1 ) = 0 ,且存在 ∃ξ 2 ∈ (ξ , b) , 使得 f ′(ξ 2 ) = 0 。构造辅助函数 F ( x) = f ′( x)e − x ,则 F (ξ1 ) = 0 , F (ξ 2 ) = 0 , 由 Rolle 定理, ∃η ∈ (ξ1 , ξ 2 ) ,使得 F ′(η ) = f ′′(η )e 因为 e (3) −η −η − f ′(η )e −η = 0 , ≠ 0 ,所以 F ′(η ) = f ′′(η ) − f ′(η ) = 0 ,即有 f ′′(η ) = f ′(η ) 。 x x 令 h( x) = e f ( x) ,由(1)知函数 h( x) 在 [a, b] 上至少有三个零点 a, ξ , b , 于是 h' ( x) = e ( f ( x) + f ' ( x)) 在 (a, b) 上有两个零点, 因此 f ( x) + f ' ( x) 在 (a, b) 上有两 个零点。 再令 g ( x) = e 使得 g ′(ς ) = 0 。 由 g ' (ς ) = e −x −x ( f ( x) + f ' ( x)) ,则 g ( x) 在 (a, b) 上有两个零点,存在 ζ ∈ (a, b) , ( f " (ς ) − f (ς )) = 0 ,得到 f ′′(ζ ) = f (ζ ) 。 (18) (本题满分 12 分)设函数 y = y ( x) 在 (−∞,+∞) 内具有二阶导数,且 8 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 y ′( x) ≠ 0, x = x( y ) 是 y = y ( x) 的反函数。 ⎛ dx ⎞ ⎜ (1) 试将 x = x( y ) 所满足的微分方程 + y + x ( sin ) ⎜ dy ⎟ ⎟ = 0 变换为 y = y ( x) 满 dy 2 ⎝ ⎠ d 2x 足的微分方程; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y (0) = 0, y′(0) = 3 3 的解。 2 【解】 因为 x( y ( x)) = x ,所以 dx y′ = 1 , dy 从而 d 2x dy 2 ( y ′) 2 + dx y ′′ = 0 , dy =− y ′′ ( y ′) 3 。 故 dx 1 = , dy y ′ d 2x dy 2 代入原方程,得 y ′′ − y = sin x 。 (2)方程 y ′′ − y = sin x 对应的齐次方程 y ′′ − y = 0 的通解为 Y = C1e x + C 2 e − x 。 设方程 y ′′ − y = sin x 的特解为 代入得 A = 0, B = − y * = A cos x + B sin x , 1 1 * ,故 y = − sin x ,从而 y ′′ − y = sin x 的通解为 2 2 1 y = C1e x + C 2 e − x − sin x 。 2 由 y (0) = 0, y′(0) = 3 ,得 C1 = 1, C 2 = −1 ,故所求初值问题的解为 2 1 y = e x − e − x − sin x 。 2 3 (19) (本题满分 12 分)设 Ω = 的外侧边界,计算 { ( x, y , z ) ∈ R − 2 2 a2 − x2 − y2 ≤ z ≤ 0 , a > 0 , S 为 Ω } ∫∫ S axdydz + 2( x + a ) ydzdx (x 2 + y + z +1 ) 1 。 2 9 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 【解】 ∫∫ = s 1 a +1 2 ∫∫ axdydz + 2( x + a) ydzdx = ∫∫∫ (3a + 2 x)dV s Ω = 1 a2 +1 [3aV + 0] = 1 4 ⋅ ⋅ πa 3 = a2 +1 2 3 3a 2a 4 a2 +1 π。 (20) (本题满分 9 分)设二次型 2 2 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + x2 + x3 + 2ax1 x2 + 2 x1 x3 + 2bx 2 x3 的秩为 1,且 (0,1,−1)T 是二次型矩阵 的特征向量, (1) 求参数 a, b ; (2) 求正交变换 x = Qy ,把二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 化成形; (3) 判断 f ( x1 , x2 , x3 ) = 1 示哪种二次曲面. 【解】 (1 ) ⎛1 a 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ a 1 b ⎟ ,由 r ( A) = 1 ⇒ a = b ,又 ⎜1 b 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛0 ⎞ ⎛1 a 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ a 1 b ⎟ ⎜1 ⎟ = λ ⎜ 1 ⎟ , ⎜ − 1⎟ ⎜1 b 1 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎧a − 1 = 0 ⎪ ⎨1 − b = λ , ⇒ a = b = 1, λ = 0. ⎪b − 1 = −λ ⎩ T 注:由 r ( A) = 1 可以推出 a = b = ±1 ,容易验证, a = b = −1 时, (0,1,−1) 不是 A 的特 征向量,故舍去。 ⎛ 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ (2) A = ⎜1 1 1⎟ , 特征值为: 0,0,3. ⎜ 1 1 1⎟ ⎝ ⎠ T λ = 0 的特征向量为:(0, 1, −1 ) , (−2,1,1) T ; T λ = 3 的特征向量为:( 1, 1, 1 ) . ⎛ 2 1 ⎞ ⎜0 − ⎟ 6 3 ⎟ ⎜ ⎜ 1 1 1 ⎟ 2 令 Q=⎜ ⎟ 及x = Qy, 则有f = 3 y 3 . 6 3 ⎟ ⎜ 2 ⎜ 1 1 1 ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 6 3⎠ ⎝ (3) 3 y 3 = 1 表示两个平行的平面。 2 10 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 (21)参数 a 取何值时线性方程组 ⎧ax1 + (a + 3) x2 + x3 = −2 ⎪ x1 + ax2 + x3 = a ⎨ ⎪ x + x + ax = a 2 1 2 3 ⎩ 有无穷多解?求出通解. 【解】 ⎛ a a + 3 1 − 2 ⎞ ⎛1 a ⎜ ⎟ ⎜ a 1 a ⎟→ ⎜a −1 3 ⎜1 ⎜ ⎟ a −1 1 a a2 ⎠ ⎜ ⎝0 ⎝1 若a = 1, 则 ⎛1 1 ⎜ → ⎜0 3 ⎜0 0 ⎝ 通解为: 若 a ≠ 1, 则 ⎞ ⎟ −2−a ⎟ 1 − a a (1 − a ) ⎟ ⎠ 1 0 a 0 1 0 1 0 0 2⎞ ⎟ − 1⎟ 0⎟ ⎠ 1 0 0 1 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ − 3⎟ → ⎜ 0 ⎜ 0 ⎟ ⎠ ⎝0 T x= (2, − 1, 0) + k (−1,0,1) T ,k 为任意常数。 ⎛1 ⎜ → ⎜ a −1 ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ → ⎜0 ⎜ ⎝0 a 3 1 a +1 1 a ⎞ ⎛1 a +1 0 ⎟ ⎜ 2 1 − 2 − a ⎟ → ⎜ a −1 ⎟ ⎜ 1 −1 − a ⎠ ⎝ 0 −1 1 0 0 −1 1 0 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ − a⎟ → ⎜0 ⎟ ⎜ − 2 ⎠ ⎝0 a +1 0 1 −1 0 4 − a2 0⎞ ⎟ − 2⎟ −a⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ 3⎟ − 2 + 3a − a ⎠ 0 −a 3 − a2 当 a = 2时,方程组无解.。 ⎛1 ⎜ 当 a = −2时, → ⎜ 0 ⎜0 ⎝ T −1 0 1 −1 0 0 T 0 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 2⎟ → ⎜0 ⎜ 0⎟ ⎠ ⎝0 0 1 0 −1 −1 0 2⎞ ⎟ 2⎟。 0⎟ ⎠ 通解为: x = (2,2,0) + k (1,1,1) . k 为任意常数。 (22) (本题满分 9 分)设二维随机变量 ( X , Y ) ~ N (0, 0, 2, 2, 0.5) ,求 函数. (I) U = X 2 的密度 (II) E ( XY ) . 【解】 (I) U= X2非负且为连续型,故U < 0 时的密度为 0,现考U >0 的情形。 注意反函 数有两支, h j (U ) = ± U , 1 ′ U > 0 ,且 | h j (u ) |= , u > 0 。 因此 2 u 11 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 ⎧ 1 f ( u ) + f X (− u ) ⎪ f u (u ) = ⎨ 2 u X ⎪ 0 ⎩ X ~ N (0, 2)时, f X ( x) = 2 ⎧ ⎪ x ⎫ ⎪ exp⎨− ⎬ ⎪ 2 π ⎩ 4 ⎪ ⎭ [ ] u>0 u≤0 。 1 代入即可得到 y >0 时 f u (u ) = ⎧ u⎫ u −1 2 exp ⎨− ⎬ 。 2 π ⎩ 4⎭ 1 (II) 由二元正态性质及参数的意义, X ~ N (0, 2), Y ~ N (0, 2), EX = EY = 0, DX = DX = 2 , 又 故 E ( XY ) = Cov( X , Y ) + EXEY = Cov( X , Y ) , EXY = Cov ( X , Y ) = ρ DX DY = 0.5 × 2 = 1 。 (23) (本题满分 9)假设随机变量 Y 服从参数为 λ = 1 的指数分布, 随机变量 ⎧ ⎪0, 若Y ≤ k , Xk = ⎨ ⎪ ⎩1, 若Y > k , k = 1, 2 求 (I) X1,X2的联合概率分布; (II) X1和X2的相关系数r. −y 【解】 (I) Y 的分布函数为 F ( y ) = 1 − e 易见 ( y > 0), F ( y ) = 0 ( y ≤ 0). ( X 1, X 2 ) 有四个可能值: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) 。 P{X 1 = 0, X 2 = 1} = P{Y ≤ 1,Y > 2} = 0; P{X 1 = 0, X 2 = 0} = P{Y ≤ 1, Y ≤ 2} = P{Y ≤ 1} = 1 − e −1 ; P{X 1 = 1, X 2 = 0} = P{Y > 1, Y ≤ 2} = P{ 1 < Y ≤ 2} = e −1 − e −2 ; P{ X 1 = 1, X 2 = 1 } = P{Y > 1, Y > 2 } = P{Y 〉 2 } = e −2 ; 于是, 可将 X 1 和 X 2 联合概率分布列表如下: X2 X1 0 1 0 1 0 1 − e −1 e −1 − e −2 e −2 (II) E ( X 1 X 2 ) = P{X 1 = 1, X 2 = 1} = p11 = e −2 ; E ( X 1 2 ) = E ( X 1 ) = P{X 1 = 1} = p1• = e −1 E ( X 2 2 ) = E ( X 2 ) = P{X 2 = 1} = p •1 = e − 2 , DX 1 = p1• (1 − p1• ) = e −1 (1 − e −1 ) DX 2 = p •1 (1 − p •1 ) = e − 2 (1 − e − 2 ) Cov( X 1 , X 2 ) = E ( X 1 X 2 ) − EX 1 EX 2 = e −2 − e −3 12 水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话:010-62701055/82378805 地址:清华同方科技广场 B 座 609 室 r= Cov( X 1 , X 2 ) DX 1 DX 2 = e −2 − e −3 e −3 (1 − e −1 )(1 − e − 2 ) = 1 1+ e . 13
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