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Exercices de mathe´matiques MPSI et PCSI par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st Table des matie`res 1 Ge´ne´ralite´s sur les fonctions 2 2 Continuite´ 3 3 De´rivabilite´ 4 4 Fonctions de classes Ck 5 5 Bijections 7 6 De´veloppements limite´s 8 7 Groupes, anneaux, corps. 9 8 Polynoˆmes 10 9 Fractions rationnelles 12 10 Arithme´tique 13 11 Nombres complexes. 14 12 Suites 16 13 Suites un+1 = f(un) 19 14 Ensembles 21 15 Espaces vectoriels et applications line´aires 22 16 Familles ge´ne´ratrices, libres, bases. 24 17 Calcul matriciel 26 18 Inte´gration 28 19 Equations diffe´rentielles 30 1 www.mathematiques.ht.st 1 Ge´ne´ralite´s sur les fonctions Exercice 1.1 Etudier les fonctions a. x 7→ ln(e2x − 2 ch(1)ex + 1) b. x 7→ x(1 + 1 x )x c. x 7→ arccos(1− x 1 + x ) + arcsin( √ 2x 1 + x ) d. x 7→ (x− 2)x2−3x+2 e. x 7→ arccos(1− x2) Exercice 1.2 Calculer n∑ k=0 Ckn ch(kx), n∑ k=0 Ckn sh(kx). Exercice 1.3 Re´soudre l’e´quation n∑ k=0 sh(2 + kx) = 0 Exercice 1.4 Re´soudre l’e´quation arcsin(2x) = arcsin(x) + arcsin(x √ 2). Exercice 1.5 Calculer arctan 2 + arctan 5 + arctan 8 Exercice 1.6 Re´soudre l’e´quation tan(3 arcsinx) = 1. On exprimera les trois solutions au moyen de radicaux. Exercice 1.7 Calculer arctan 1 + arctan 2 + arctan 3. Exercice 1.8 Etude de la fonction arccos( 1− t2 1 + t2 ) + arcsin( 2t 1 + t2 ) Exercice 1.9 On donne deux entiers p et q ve´rifiant : 0 < p < q. 1. Calculer arctan p q + arctan q − p q + p . 2. Calculer 4 arctan 1 5 et a` l’aide de la question pre´ce´dente en de´duire la formule de Machin pi 4 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 Exercice 1.10 1. Expliciter un polynoˆme Q tel que sin 3x = sinxQ(cosx) 2. Re´soudre l’e´quation sin 2x = sin 3x de deux manie`res diffe´rentes. 3. En de´duire les valeurs de cos pi 5 et cos 3pi 5 , puis celle de cos 2pi 5 . 4. Montrer par re´currence (sans la formule du binoˆme) que ∀n ∈ N, ∃Pn et Qn deux polynoˆmes tels que cosnx = Pn(cosx) et sinnx = (sinx)Qn(cosx) Exercice 1.11 De´terminer inf t∈R sup x∈[0;1] | x2 + tx | Exercice 1.12 L’ensemble A suivant posse`de-t-il une borne sup, une borne inf, un max, un min. Si oui, les calculer. A = {n+ (−1) n n− (−1)n , n > 2} 2 www.mathematiques.ht.st 2 Continuite´ Exercice 2.1 Soit f une fonction de´finie sur [0, 1] 1. Montrer que (f continue et injective sur [0, 1])⇒ (f monotone) 2. Montrer que (f monotone sur [0, 1] et ∀z ∈ [f(0), f(1)], ∃c ∈ [0, 1] tel que f(c) = z)⇒ (f continue sur [0, 1]) Exercice 2.2 Soit f une fonction continue sur [a, b] telle que ∀x ∈ [0, 1] 1. f(x) < g(x) alors ∃m tel que ∀x ∈ [0, 1], f(x) +m ≤ g(x) 2. 0 < f(x) < g(x) alors ∃C > 1 tel que ∀x ∈ [0, 1], Cf(x) ≤ g(x) Exercice 2.3 Soit f la fonction de´finie sur R+ par f(x) = (1 + x) 1 4 − 1 x 1. Montrer que f se prolonge par continuite´ en 0. 2. De´terminer lim +∞f. 3. Montrer que f est borne´e sur R+ et atteint ses bornes. Exercice 2.4 Soit f une fonction continue en 0 et telle que f(x+ y) + f(x− y) = 2(f(x) + f(y)) 1. Calculer f(0). Etudier la parite´ de f. 2. Montrer que f(nx) = n2f(x) pour tout entier n et tout re´el x. 3. Montrer que f(px) = p2f(x) pour tout rationnel p et tout re´el x. Indication : on calculera de deux fac¸ons b2f( a b x)) 4. Conclure Exercice 2.5 Soit f.une fonction croissante de R dans R telle que f(x+ y) = f(x) + f(y). 1. Montrer que a) f(px) = pf(x) ∀p ∈ N ∀x ∈ R b) f(0) = 0 et f(−x) = −f(x) ∀x ∈ R 2. En de´duire que a) f(n) = nf(1) ∀n ∈ N b) f(n) = nf(1) ∀n ∈ Z c) f(x) = xf(1) ∀x ∈ Q 3. De´terminer f. Exercice 2.6 Soit f une fonction continue sur [a, b] et telle que (f(x))2 = 1 ∀x ∈ [a, b] Montrer que f(x) = 1 ∀x ∈ [a, b] ou f(x) = −1 ∀x ∈ [a, b] Exercice 2.7 Soit f une fonction continues sur [a, b]. Montrer que pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que ∀x, y ∈ [a, b], |f(x)− f(y)| < ε+ α(x− y)2. Exercice 2.8 On conside`re la fonction f(x) =  (1 + x2) 1 x si x 6= 0 1 si x = 0 1. Etudier la continuite´ de f 2. De´terminer ses limites en +∞ et −∞ 3 www.mathematiques.ht.st 3 De´rivabilite´ Exercice 3.1 Soit f la fonction de´finie sur R par { f(x) = exp( x− 1 x2 ) si x 6= 0 f(0) = a Etudier la continuite´ et la de´rivablilite´ de f selon les valeurs de a. f ′ est-elle continue ? Exercice 3.2 Soit f la fonction de´finie par f(t) = (1− t)√1− t2 1. Etudier la continuite´ et la de´rivabilite´ de f sur son domaine de de´finition. 2. Calculer, le cas e´che´ant, sa de´rive´e. Exercice 3.3 Soit f une fonction de´finie sur un certain intervalle I contenant 0. On suppose que f est continue et de´rivable en 0 et que f(x+ y) = f(x) + f(y) 1− f(x)f(y) pour tous x, y ∈ I 1. Calculer f(0). Montrer qu’il existe un intervalle ]− a, a[ sur lequel |f(x)| < 1 2 . 2. Montrer que la fonction f est continue sur ]− a, a[. 3. Montrer que la fonction f est de´rivable sur ]− a, a[ et calculer sa de´rive´e. 4. En de´duire la fonction f recherche´e. Pouvait-on l’intuiter ? Exercice 3.4 On conside`re, pour tout entier n, les fonctions fn(t) = et dn dtn (tne−t) 1. Montrer que fn est un polynoˆme de degre´ n et expliciter ses coefficients. 2. Montrer que la famille (fk)06k6n est une base de Rn[X]. 4 www.mathematiques.ht.st 4 Fonctions de classes Ck Exercice 4.1 Soit f(x) = sin(x) x si x 6= 0 Appliquer le TAF sur [0, x] a` t 7→ cos(t) et t 7→ t cos(t)− sin(t). En de´duire que f se prolonge de fac¸on C1 sur R puis calculer f ′ Exercice 4.2 Quelle est la classe de la fonction x 7→ { x4 sin 1 x si x 6= 0 0 si x = 0 ? Posse`de–t-elle un DL3(0) ? Exercice 4.3 Pour n entier naturel, de´terminer la classe de la fonction f(x) = { (1− x2)n si x ∈ [−1, 1] 0 sinon (c’est-a`-dire de´terminer le plus entier k tel que f soit Ck sur R). Exercice 4.4 On conside`re la fonction f(x) =  exp( 1 (x− a)(x− b) ) si x ∈]a, b[ 0 sinon ou` a < b 1. Montrer que f est C1 sur R 2. De´composer en e´le´ments simples 1 (x− a)(x− b) . 3. On pose h(x) = exp 1 x− a. Montrer que pour tout entier n, il existe un polynoˆme Pn tel que h(n)(x) = Pn(x) (x− a)n+1 exp( 1 x− a ) 4. En de´duire la forme de f (n) et montrer, par re´currence, que f est Cn sur R pour tout n. Exercice 4.5 Soient a, b ∈ R et f(x) = (x− a)n(x− b)n 1. Calculer f (n)(x) 2. Si a = b, calculer f (n)(x) par une autre me´thode 3. En de´duire n∑ k=0 (Ckn) 2 Exercice 4.6 Pour tout entier n, on pose Ln(x) = ((x2 − 1)n)(n) 1. Calculer ((x2 − 1)n)(k)|x=±1 pour k ∈ {0, .., n− 1} 2. Montrer que Ln posse`de n ze´ros distincts appartenant a` ]− 1, 1[. 3. Montrer que (Lk)0≤k≤n est une base de Rn[X] Exercice 4.7 Soit f une fonction de classe C3 sur ]a, b[ 1. Montrer que pour tout x ∈]a, b[ et tout h suffisamment petit, il existe ξx,h ∈ ]a, b[ tel que f(x+ 3h)− 3hf(x+ 2h) + 3h2f(x+ h)− f(x) h3 = f (3)(ξx,h) 2. Calculer lim h→0 f(x+ 3h)− 3hf(x+ 2h) + 3h2f(x+ h)− f(x) h3 Exercice 4.8 Soit f une fonction de classe C2 sur [a, b]. 5 1. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f(a) + f(b) 2 = f( a+ b 2 ) + (b− a)2 8 f ′′(c) 2. On suppose que f ′′ ≥ 0 sur ]a, b[ (a) Montrer que ∀x, y ∈ [a, b] f(x+ y 2 ) ≤ f(x) + f(y) 2 . (b) En de´duire que f est convexe sur [a, b] Exercice 4.9 Soit f une fonction C3 sur [a, b]. Montrer qu’il existe ξ ∈]a, b[ tel que f(b) = f(a) + (b− a)f ′(a+ b 2 ) + (b− a)3 24 f (3)(ξ) (on pourra conside´rer g(t) = f( a+ b 2 − t)− f(a+ b 2 + t) Exercice 4.10 Soit f une fonction de classe C∞ sur R. Soit k un entier et a ∈ R. On pose (∆k,af)(h) = 1 hk k∑ q=0 (−1)qCqkf(a+ qh) 1. Calculer lim h→0 (∆1,af)(h) puis lim h→0 (∆2,af)(h). 2. Calculer dans le cas ge´ne´ral lim h→0 (∆k,af)(h) Exercice 4.11 Soit f une fonction de classe Cn sur [a, b], a1 < .. < an des points de [a, b]. Le polynoˆme interpolateur P de f en les (ai) est de´fini par P (x) = n∑ k=1 f(ak) ∏ j 6=k x− aj ak − aj Montrer que pour tout x ∈ [a, b], il existe ξ ∈]a, b[ tel que f(x)− P (x) = (x− a1)..(x− an) n! f (n)(ξ) (on commencera par introduire une fonction g(x) = f(x)− P (x)−A (x− a1)..(x− an) n! en choisissant A convenablement) Exercice 4.12 Soit f une fonction C1 et borne´e sur R. On suppose que f ′ posse`de une limite finie en +∞. Que peut-on dire de cette limite ? 6 www.mathematiques.ht.st 5 Bijections Exercice 5.1 Soit f de´finie sur R× par f(x) = x+ ln(x) 1. Montrer que f re´alise une bijection de R× sur R 2. f−1 est-elle de´rivable sur R ? Exercice 5.2 Soit g : x 7→ x+ lnx. 1. Etudier g. Montrer que g posse`de une fonction re´ciproque f, strictement croissante, de classe C1, strictement positive sur R. 2. Montrer que x− lnx 6 f(x) 6 x ∀x ∈ Df . En de´duire que f(x) x → +∞ 1. 3. On conside`re la fonction h(x) = f(x)− (x− lnx). Montrer que h(x) x → +∞ 0 puis que h(x) = − ln(1 + h(x) x − lnx x ). En de´duire la limite de h en +∞ puis l’asymptote de h en +∞ 4. Tracer les courbes de f et g. Exercice 5.3 Etudier la fonction f(t) = t 1− e−t et montrer qu’elle re´alise une bijection de ]0;+∞[ sur un intervalle a` de´terminer 7 www.mathematiques.ht.st 6 De´veloppements limite´s Exercice 6.1 De´terminer les asymptotes (ainsi que leurs positions) en +∞ et −∞ de f(x) = x( √ x2 + √ x4 + 1− x√2) Exercice 6.2 Calulcer lim x→0+ (sin(x))sh(x) − (sh(x))sin(x) (tan(x))th(x) − ((th(x))tan(x) 8 www.mathematiques.ht.st 7 Groupes, anneaux, corps. Exercice 7.1 Montrer que R munit des lois x⊕ y = x+ y− 1 et x⊗ y = x+ y− xy est un anneau. Est-il commutatif ? (R,⊕,⊗) est-il un corps ? Exercice 7.2 Les ensembles suivants sont-ils des groupes ? Si oui, sont-ils commutatifs ? 1. { R→ R x 7→ ax+ b } 2. R2 muni de la loi (x1, x2)⊕ (y1, y2) = (x1y1 + 2x2y2, x1y2 + x2y1) 3. ]− 1, 1[ muni de la loi x⊕ y = x+ y 1 + xy Exercice 7.3 Soit K = Q( √ 3i) = {a+ b√3i, a, b ∈ Q}. 1. Montrer que K est un corps. 2. Pour tout x = a+ b √ 3i ∈ K, on pose N(a+ b√3i) = a2 + 3b2. Montrer que N est un morphisme du groupe (K,×) dans (R×+,×). 3. Soit A = Z( √ 3i) = {a+ b√3i, a, b ∈ Z}. (a) Montrer A est un anneau. Est-ce un corps ? (b) Montrer que (x ∈ A et x−1 ∈ A)⇔ N(x) = ±1. (c) De´terminer les e´le´ments inversibles de A. 9 www.mathematiques.ht.st 8 Polynoˆmes Exercice 8.1 Quelle est la multiplicite´ de a dans P (X) = (X − a)n −Xn − an Exercice 8.2 Factoriser (X + 1)n − e2iα(X − 1)n dans C puis dans R Exercice 8.3 De´terminer les polynoˆmes P tels que le reste de la division de P par • (X + 1)3 soit −5 • (X − 1)3 soit 11 Exercice 8.4 Montrer que ∀m,n, p, q ≥ 0 X3 +X2 +X + 1 | X4m+3 +X4n+2 +X4p+1 +X4q Exercice 8.5 Soit P un polynoˆme de la forme P (X) = X3 + pX + q ou` p, q ∈ R 1. Montrer que P posse`de une racine double ssi 4p3 + 27q2 = 0 2. On suppose que P posse`de 3 racines re´elles distinctes. (a) Montrer que 4p3 + 27q2 < 0. (b) La re´ciproque est-elle vraie ? Exercice 8.6 On veut de´terminer tous les polynoˆmes P tels que P (X2) = P (X)P (X − 1). (E) 1. Justifier que si z est racine de P alors z2 et (1 + z)2 est racine de P. 2. On supose que z est une racine de P distincte de 0. Montrer que |z| = 1. (on pourra e´tudier la suite zn+1 = z2n avec z0 = z. 3. Montrer que |z − j| = 1 si z 6= j et ∣∣z − j2∣∣ = 1 si z 6= j2. 4. De´terminer les racines possibles de P 5. En de´duire tous les polynoˆmes solutions de (E) Exercice 8.7 De´terminer tous les polynoˆmes complexes P tels que P (1− 2X) = P (X) Exercice 8.8 Factoriser dans R le polynoˆme 3X4 − 19X3 + 9X2 − 19X + 6 Exercice 8.9 1. Montrer que (X5 − 1, X2 +X + 1) = 1 2. De´terminer explicitement une relation de Bezout entre X5 − 1 et X2 +X + 1 Exercice 8.10 Montrer que ∀n ≥ 0, (X − 2)(X − 3) | (X − 2)n + (X − 3)n − 1 Exercice 8.11 P = X5 − 13X4 + 67X3 − 171X2 + 216X − 108 Calculer (P, P ′). En de´duire la factorisation de P. 10 Exercice 8.12 On pose P (z) = (z + 1)n − exp(2ina) ou` a est un nombre re´el. 1. Factoriser P 2. En de´duire que 1− exp(2ina) = (−1)n n−1∏ k=0 zk puis que n−1∏ k=0 sin(a+ kpi n ) = sin(na) 2n − 1. 3. Calculer 14∏ k=0 cos( kpi 15 ) Exercice 8.13 Montrer qu’il n’existe pas de polynoˆme P ∈ Z[X] tel que P (n) soit un nombre premier pour tout entier n. (indication : on pourra conside´rer P (n+ P (n)) et remercier Taylor) Exercice 8.14 Soit p(x) = n∑ i=0 aix i. On suppose que tous les ai sont des entiers. 1. Montrer que si p a une racine rationnelle α β alors α divise a0 et β divise an. 2. On conside`re le nombre √ 2 + √ 3. En calculant son carre´, montrer que ce carre´ est racine d’un polynoˆme de degre´ 2. En de´duire, a` l’aide du re´sultat pre´ce´dent qu’il n’est pas rationnel 11 www.mathematiques.ht.st 9 Fractions rationnelles Exercice 9.1 De´composer X3 (X4 − 1)2 dans C puis dans R Exercice 9.2 1. Soit P,Q ∈ R[X], degQ = n, admettant n racines re´elles distinctes x1, .., xn et degP < n Montrer que P (x) Q(x) = n∑ k=1 P (xk) Q′(xk)(x− xk) . 2. Soit P ∈ R[X], degP = n, admettant n racines re´elles distinctes x1, .., xn (a) Montrer que n∑ i=1 1 xiP ′(xi) = − 1 P (0) (b) Montrer que n∑ k=1 1 P ′(xk) = 0 12 www.mathematiques.ht.st 10 Arithme´tique Exercice 10.1 Montrer que 2n − 1 | 2nm − 1. En de´duire que 2n − 1 premier ⇒ n est premier. Exercice 10.2 Pour tout entier n, on pose Fn = 2n + 1. 1. Montrer que n est impair alors Fn n’est pas un nombre premier. 2. On suppose que n est de la forme 2q(2k + 1) avec k ≥ 1. Montrer que Fn n’est pas un nombre premier. 3. En de´duire que si Fn est nombre premier, alors n est une puissance de 2. Exercice 10.3 Montrer que ∀n ≥ 1, 1. 3 | 22n+1 + 1 2. 22q + 1 | 222q(2n+1) + 1 ∀q ≥ 0 Exercice 10.4 Soit p un nombre premier. 1. Montrer que ∀k ∈ {1, .., p− 1} p | Ckp 2. Montrer que ∀n ≥ 0 p | np − n puis que p | np−1 − 1 Exercice 10.5 De´terminer les solutions entie`res (x, y) de 323x− 391y = 612 Exercice 10.6 Soit n et m deux nombres premiers entre eux. On note (E) l’e´quation nx+my = nm− 1 1. De´terminer la forme ge´ne´rale des solutions entie`res de (E) 2. Montrer que (E) ne posse`de pas de solutions entie`res positives. Exercice 10.7 1. Soient n,m, q, r quatre nombres entiers positifs. tel que n = qm+ r. Montrer que (an − 1, am − 1) = (am − 1, ar − 1) ou` (, ) de´signe le pgcd 2. Montrer que (am − 1, an − 1) = a(n,m) − 1 13 www.mathematiques.ht.st 11 Nombres complexes. Exercice 11.1 Soit u ∈ C\{1} et z ∈ C. Montrer que z − uz 1− u ∈ R ⇔ |u| = 1 Exercice 11.2 Re´soudre l’e´quation ( 1 + iz 1− iz ) n = 1 + ia 1− ia ou` a ∈ R et n ∈ N Exercice 11.3 Re´soudre l’e´quation sin(4x)−√3 sin(3x) + 2 sin(2x) = 0 Exercice 11.4 On conside`re l’e´quation (E) : z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 1. Re´soudre cette e´quation en posant Z = z + 1 z 2. Montrer que les racines 5e`me (sauf 1) sont solutions de (E). En de´duire la valeur de cos( 2pi 5 ) Exercice 11.5 1. Re´soudre l’e´quation 1 + z + z2 + z3 + z4 = 0. 2. Montrer que eia + eib = 2 cos( a− b 2 )e i( a+ b 2 ) et eia − eib = 2i sin(a− b 2 )e i( a+ b 2 ) . 3. Retrouver ainsi des formules trigonome´triques remarquables. 4. Re´soudre l’e´quation 1 + ( i− z i+ z ) + ( i− z i+ z )2 + ( i− z i+ z )3 + ( i− z i+ z )4 = 0. Exercice 11.6 1. Montrer que ∀n ≥ 0, il existe un polynoˆme Pn de degre´ n tel que Pn(X + 1 X ) = Xn + 1 Xn 2. En de´duire cos(3x) et cos(5x) en fonction de cos(x). 3. En de´duire les valeurs exactes de cos( 2pi 3 ) et cos( 2pi 5 ) Exercice 11.7 Soient z1, .., zn n nombres complexes 1. Montrer que | n∑ k=0 zk |≤ n∑ k=0 | zk | 2. A quelle condtion a-t-on l’e´galite´ (on traitera pour commencer le cas n = 2) ? Exercice 11.8 On pose ζ = exp( 2pii n ). Calculer n∑ k=0 ∣∣∣ζk − 1∣∣∣ Exercice 11.9 Donner une CNS sur n ∈ N pour que (1 + i√3)n + (1− i√3)n soit un nombre entier positif. Exercice 11.10 Soient Π = {z ∈ C tel que Im(z) > 0} et D = {z ∈ C tel que | z |< 1}. 1. Montrer que ∀z ∈ Π, z − i z + i ∈ D. 2. Montrer que l’application f : Π→ D z 7→ z − i z + i est une bijection puis calculer sa re´ciproque. 14 Exercice 11.11 Simplifier l’expression cos(6x) + 6 cos(4x) + 15 cos(2x) + 10 cos(5x) + 5 cos(3x) + 10 cos(x) Exercice 11.12 Re´soudre l’e´quation n∑ k=0 cos(kx) cosk(x) = 0 Exercice 11.13 1. Soit z un nombre complexe diffe´rent de 1, calculer n∑ k=0 xk. 2. De´montrer que ∀n ∈ N×, n∑ k=1 kik−1 = i− nin − (n+ 1)i(n+1) 2 3. En de´duire les sommes S1 = 1− 3 + 5− 7 + · · ·+ (−1)p(2p+ 1) et S2 = 2− 4 + 6− 8 + · · ·+ (−1)(p+1)2p. 15 www.mathematiques.ht.st 12 Suites Exercice 12.1 Soient u et v deux suites telles que  un+1 = 1 3 un + 2 3 vn + 2n vn+1 = 2 3 un + 1 3 vn + 1 On introduit les deux suites t et s de´finies par tn = un + vn et sn = un − vn. 1. Exprimer une relation de re´currence satisfaite par t et s. 2. Calculer de deux fac¸ons diffe´rentes n−1∑ k=0 (tk+1 − tk). En de´duire tn en fonction de n et de t0. 3. Montrer que la relation de re´currence ve´rifie´e par s est satisfaite pour une suite de la forme an+ b. 4. Etudier la suite sn − (an+ b) ou` a et b ont e´te´ de´terminer par la question pre´ce´dente. En de´duire sn. 5. Expliciter un et vn en fonction de n, u0 et v0. Exercice 12.2 On conside`re la suite vn = n−1∏ k=1 ( k3 + 3k2 + 2k + 2 k3 + 3k2 + 2k ) 1. Etudier la monotonie de v. 2. Montrer que ∀x ∈ [0, 1], ln(1 + x) 6 x. 3. De´composer en e´le´ments simples x3 + 3x2 + 2x− 2 x3 + 3x2 + 2x . 4. Montrer que la suite v est borne´e. Conclusion Exercice 12.3 Soit u une suite de´finie par un+1 = 2 3 √ un avec u0 > 0. 1. Montrer que ∀n > 0, un > 0. 2. Montrer que la suite u converge et de´terminer sa limite (indication : on pourra s’aider la suite vn = lnun) Exercice 12.4 Etudier la suite un = n∑ k=0 1 Ckn Exercice 12.5 On pose un = ( n∑ k=1 1 k )− ln(n) et vn = ( n∑ k=1 1 k )− 1 n − ln(n). 1. Etudier les suites u et v. 2. En de´duire un encadrement de ( n∑ k=1 1 k ) puis un e´quivalent Exercice 12.6 Soit α ≥ 2. On pose Sn = n∑ k=1 1 kα 1. Montrer que la suite S converge si α = 2 (on pourra comparer 1 k2 et 1 k − 1 − 1 k ) 2. Si α > 2, que peut-on dire de la suite S ? Exercice 12.7 Montrer que la suite un = 1 n! n∑ k=0 k! converge vers 1. Exercice 12.8 1. Montrer que pour tout entier n non nul, on a 1√ n − 1√ n+ 1 > 1 2(n+ 1) √ n+ 1 16 2. En de´duire que la suite dn = 1 1 √ 1 + 1 2 √ 2 + ..+ 1 n √ n converge Exercice 12.9 On pose Pn(x) = −1 + n∑ k=1 xk. 1. Montrer que l’e´quation Pn(x) = 0 posse`de une unique solution xn appartenant a` [0; 1]. 2. Montrer la suite x est de´croissante, minore´e par 1 2 3. Montrer que la suite x converge vers 1 2 Exercice 12.10 un = n∑ k=0 1 k! et vn = un + 1 n× n! 1. Montrer que u et v converge vers la meˆme limite l (= e). 2. On suppose que l ∈ Q. Que peut-on dire de n!l lorsque n est assez grand. 3. Encadrer n!l et en de´duire une contradiction Exercice 12.11 On pose an = 1 12 + 1 22 + ...+ 1 (n− 1)2 + 1 n2 et bn = an + 1 n . 1. Montrer que ces deux suites convergent. 2. Soit α un re´el > 2. Montrer que la suite cn = 1 1α + 1 2α + ...+ 1 (n− 1)α + 1 nα converge Exercice 12.12 Soit k un nombre entier non nul et un = kn∑ l=n+1 1 l . Montrer que la suite u converge et de´terminer sa limite Exercice 12.13 Soit un = n−1∏ k=1 (1 + k n2 ). 1. Ve´rifier que x− x 2 2 ≤ ln(1 + x) ≤ x ∀x ∈ [0, 1] 2. Montrer que la suite u converge et de´terminer sa limite 3. Montrer que pour tout α > 1, la suite vn = n∏ k=0 (1 + kα nα+1 ) converge. Exercice 12.14 1. Montrer que la suite ( n∑ k=1 1 n+ k )n est convergente. 2. Montrer que la suite ( n∑ k=1 1 2n+ 2k + 1 )n est convergente. Exercice 12.15 Soient a un nombre re´el positif et u la suite de´finie par un+1 = 1 + aun a+ un (u0 ≥ 0) Ve´rifier que vn = un − 1 un + 1 de´finie une suite ge´ome´trique. En de´duire lim +∞u Exercice 12.16 On pose un = n∑ k=1 1 k Montrer que ln(n+ 1) ≤ un ≤ ln(n) + 1 En de´duire un e´quivalent de un 17 Exercice 12.17 Soit α /∈ Z. Montrer que la suite (e2piiαn)n≥0 n’est pas convergente Exercice 12.18 soit x ∈ R et un = n∏ k=0 cos( x 2k ) 1. Simplifier sin(x)u1, sin(x)u2, sin(x)u3. Que remarque-t-on ? 2. En de´duire une forme simplifi