为了正常的体验网站,请在浏览器设置里面开启Javascript功能!

2010专升本高等数学A2

2011-05-01 14页 pdf 360KB 37阅读

用户头像

is_675712

暂无简介

举报
2010专升本高等数学A2 高等数学试卷 第  1 页 (共  6 页) 祝贺云飞专升本培训又取得可喜成绩 云飞专升本是教授领衔的专业培训团队,该团队打造: “不追 求参培学生数量,只求培训质量”的培训理念。 “多课时,大训 练”是一个亮点,得到同学的高度认可;一切为了参培学生是本 团队的一大特色。  2010 年培训又取得骄人成绩。经过认真比对 数学押题覆盖率为 100%,原型题 150 分,经改造的真题为 100  分左右。具体可以下载 2010 年试题对照文档进行比对。  2010年河南省普通高等学校 选拔优秀专科毕...
2010专升本高等数学A2
高等数学试卷 第  1 页 (共  6 页) 祝贺云飞专升本培训又取得可喜成绩 云飞专升本是教授领衔的专业培训团队,该团队打造: “不追 求参培学生数量,只求培训质量”的培训理念。 “多课时,大训 练”是一个亮点,得到同学的高度认可;一切为了参培学生是本 团队的一大特色。  2010 年培训又取得骄人成绩。经过认真比对 数学押题覆盖率为 100%,原型题 150 分,经改造的真题为 100  分左右。具体可以下载 2010 年试题对照文档进行比对。  2010年河南省普通高等学校 选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试 高等数学 题 号 一 二 三 四 五 总 分 分 值  60  20  45  16  9  150  注意事项: 答题前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 本试卷的试题必须答在答题卡上,答在试卷上无效。 一、选择题(每小题 2 分,共 60 分) 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。  1.设数  ) (x f  的定义域为区间 ( 1,1] - ,则函数  ( 1) e f x- 的定义域为  A.[ 2, 2] -  B. ( 1,  1] -  C. ( 2,  0] -  D. (0,  2]  【答案】D.  解:  1 1 1 0 2 x x - < - £ Þ < £ ,应选 D.  2.若  ( ) f x  ( ) x R Î 为奇函数,则下列函数为偶函数的是  A.  3  3  1 ( ) y x f x = - ,  [ 1,  1] xÎ - 高等数学试卷 第  2 页 (共  6 页)  B.  3 ( ) tan y xf x x = + ,  (  π,  π) xÎ -  C.  3 sin ( ) y x x f x = - ,  [ 1,  1] xÎ -  D.  2  5 ( )e sin x y f x x = ,  [  π,  π] xÎ - 【答案】D.  解: 根据偶函数的定义及结论得:  2  5 ( )e sin x y f x x = ,  [  π,  π] xÎ - 为偶函数, 应选 D.  3.当  0 ® x  时,  2 e 1 x - 是 sin 3x的  A.低阶无穷小  B.高阶无穷小  C.等价无穷小  D.同阶非等价无穷小 【答案】D.  解:  2  0 0  e 1 2 2  lim lim  sin 3 3 3  x  x x  x  x x ® ® - = = ,从而是同阶非等价无穷小,应选 D.  4.设函数  2  5  1  1  sin ,    0  ( )  e ,              0 x  x x  x f x  x ì > ï = í ï < î ,则  0 x = 是  ) (x f  的  A.可去间断点  B.跳跃间断点  C.连续点  D.第二类间断点 【答案】A.  解:  1  2  5 0 0 0 0  1  lim ( ) lim sin 0; lim ( ) lim e 0 x  x x x x  f x x f x  x + + - - ® ® ® ® = = = = ,从而  0 x = 是可去间 断点,应选 A.  5.下列方程在区间 (0,  1)内至少有一个实根的为  A.  2  2 0 x + =  B. sin 1  π x = -  C.  3 2 5 2 0 x x + - =  D.  2  1 arctan 0 x x + + = 【答案】C.  解: 构造函数,验证端点函数值异号,应选 C.  6.函数  ) (x f  在点  0 x x = 处可导,且  1 ) (  0 - = ¢  x f  ,则  0 0  0  ( ) ( 3 )  lim  2 h  f x f x h  h ® - + =  A. 2  3  B.  2  3 -  C.  3  2 -  D. 3  2 高等数学试卷 第  3 页 (共  6 页) 【答案】D.  解:  0 0  0 0  ( ) ( 3 )  3 3  lim ( )  2 2 2 h  f x f x h  f x  h ® - + ¢ = - = ,应选 D.  7.曲线  x x y  ln = 的平行于直线  0 1 = + - y x  的切线方程是  A.  1 - = x y  B.  ) 1 ( + - =  x y  C.  1 y x = - +  D.  ) 1 )( 1 (ln - + =  x x y  【答案】A.  解:  ln 1 ln 1 1, 0 y x x y x x y ¢ = Þ = + = Þ = = ,可得切线为  1 - = x y  ,应选  A.  也可以根据切线与已知直线平行这个条件,直接得到。  8.设函数  2  π 1 2sin  5  y x = - - ,则 = ¢ y  A.  2  π  2cos  5 1  x  x - - -  B.  2 1  x  x - -  C.  2  2  1  x  x -  D.  2  2 2  π  cos  5 5 1  x  x - - - 【答案】B.  解:  2  2  π  1 2sin  5  1  x  y x y  x - ¢ = - - Þ = - ,应选 B.  9.若函数  ( ) f x  满足  2 d ( ) 2 sin d f x x x x = - ,则  ( ) f x =  A.  2 cos x  B.  2 cos x C +  C.  2 sin x C +  D.  2 cos x C - + 【答案】B.  解:  2 2 d ( ) 2 sin d ( ) ( 2 sin )d f x x x x f x x x x = - Þ = - ò  2 2 2 sin d cos x x x C = - = + ò  ,应选 B.  10.  d  e sin(1 2 )d  d  b  x  a  x x  x - - = ò  A. e sin(1 2 ) x  x - -  B. e sin(1 2 )d x  x x - -  C. e sin(1 2 ) x  x C - - +  D.0  【答案】D.  解: 定积分是常数,其导数为 0,应选 D.  11.若  ( ) ( ) f x f x - = ,在区间 (0,   ) + ¥ 内,  ( ) 0 f x ¢ > ,  ( ) 0 f x ¢¢ > ,则  ( ) f x  在 高等数学试卷 第  4 页 (共  6 页) 区间 ( ,  0) -¥ 内  A.  ( ) 0 f x ¢ < ,  ( ) 0 f x ¢¢ <  B.  ( ) 0 f x ¢ > ,  ( ) 0 f x ¢¢ >  C.  ( ) 0 f x ¢ > ,  ( ) 0 f x ¢¢ <  D.  ( ) 0 f x ¢ < ,  ( ) 0 f x ¢¢ > 【答案】D.  解:根据偶函数的图像关于 y 轴的性质, 在 ( ,  0) -¥ 内有  ( ) 0 f x ¢ < ,  ( ) 0 f x ¢¢ > , 应选 D.  12.若函数  ( ) f x  在区间 ( ,   ) a b  内连续,在点  0 x 处不可导,  0  ( ,   ) x a b Î ,则  A.  0 x 是  ( ) f x  的极大值点  B.  0 x 是  ( ) f x  的极小值点  C.  0 x 不是  ( ) f x  的极值点  D.  0 x 可能是  ( ) f x  的极值点 【答案】D.  解: 根据可能的极限点是驻点或不可导点的结论知,  0 x 可能是  ( ) f x  的极值点.  应选 D.  13.曲线  e  x y x - = 的拐点为  A.  1 x =  B.  2 x =  C.  2  2  2,  e æ ö ç ÷ è ø  D.  1  1,  e æ ö ç ÷ è ø 【答案】C.  解:  e e e ( 2)e 2 x x x x y x y x y x x - - - - ¢ ¢¢ = Þ = - Þ = - Þ = ,应选 C.  14.曲线  2arctan  3  5  x  y  x = +  A.仅有水平渐近线  B.仅有垂直渐近线  C.既有水平渐近线,又有垂直渐近线  D.既无水平渐近线,又无垂直渐近线 【答案】A.  解:  0 0  2arctan 2arctan  lim lim 3 3; lim lim 3  5 5 x x x x  x x  y y  x x ®±¥ ®±¥ ® ® æ ö æ ö = + = = + ¹ ¥ ç ÷ ç ÷ è ø è ø ,仅有水 平渐近线,应选 A.  15.若  x cos  是  ) (x f  的一个原函数,则 = ò  ) ( d  x f  A.  sin x C - +  B. sin x C +  C.  cos x C - +  D.cos x C + 高等数学试卷 第  5 页 (共  6 页) 【答案】A.  解: ( ) ( ) cos sin f x x x ¢ = = - ,  d ( ) ( ) sin f x f x C x C = + = - + ò  ,应选 A.  16.设曲线  ( ) y f x = 过点 (0,  1),且在该曲线上任意一点 ( ,   ) x y  处切线的斜率为  e x x + ,则 = ) (x f  A.  2  e  2  x x -  B.  2  e  2  x x +  C.  2  e x x +  D.  2  e x x - 【答案】B.  解: ( )  2 1 e ( ) e d e  2  x x x y x f x x x x C ¢ = + Þ = + = + + ò  ,把点 (0,  1)代入得  0 C =  ,  所以 = ) (x f  2  e  2  x x + ,应选 B.  17.  2 π  4 π  sin  d  1  x x  x  x - = + ò A. 2  B.0  C.1  D.  1 - 【答案】B.  解:根据奇函数在对称区间上定积分性质知,应选 B.  18.设  ) (x f  是连续函数,则  2  ( )d  x  a  f t t ò 是  A.  ) (x f  的一个原函数  B.  ) (x f  的全体原函数  C.  ) ( 2  2 x xf  的一个原函数  D.  ) ( 2  2 x xf  的全体原函数 【答案】C.  解:因为  2  2 ( )d 2 ( )  x  a  f t t xf x ¢ é ù = ê ú ë û ò ,所以  2  ( )d  x  a  f t t ò 是  ) ( 2  2 x xf  的一个原函数, 应选 C.  19.下列广义积分收敛的是  A.  1  1  dx  x +¥ ò  B.  2  e  ln  d  x  x  x +¥ ò  C.  2 e  1  d  ln  x  x x +¥ ò  D.  2 1  d 1  x  x  x +¥ + ò 【答案】C. 高等数学试卷 第  6 页 (共  6 页) 解:  2 2 e  e  1 1  d dln  ln ln  x x  x x x +¥ +¥ = ò ò ,可看作  2 p = 的广义积分,是收敛的,应 选 C.  20.微分方程  0 ) (  2 2 4 = - ¢ + ¢ ¢  y x y y x  的阶数是  A.1  B. 2  C.3  D.4  【答案】B.  解:根据微分方程阶的定义知,此方程为 2 阶常微分方程,应选 B.  21.已知向量  {5,   ,   2} a x = - r 和  { ,  6,  4} b y = r 平行,则 x和 y 的值分别为  A.  4 - ,5  B.  3 - ,  10 -  C.  4 - ,  10 -  D.  10 - ,  3 - 【答案】B.  解:  5 2  // 3, 10  6 4  x  a b x y  y - Þ = = Þ = - = - r r ,应选 B.  22.平面  1 x y z + + = 与平面  2 = - +  z y x  的位置关系是  A.重合  B.平行  C.垂直  D.相交但不垂直 【答案】D.  解: 根据系数之间不成比例,也对应乘积之和也不为 0,位置关系是相交但不 垂直,应选 D.  23.下列方程在空间直角坐标系中示的曲面为柱面的是  A.  2 2  1 y z + =  B.  2 2 z x y = +  C.  2 2 2 z x y = +  D.  2 2 z x y = - 【答案】A.  解:在空间直角坐标系中表示柱面的方程至含有两个变量,应选 A.  24.关于函数  2 2  2 2  2 2  , 0  ( , )  0, 0  xy  x y  x y f x y  x y ì + ¹ ï + = í ï + = î 下列表述错误的是  A.  ( ,   ) f x y  在点 (0,  0)处连续  B.  (0,  0) 0 x f =  C.  (0,  0) 0 y f =  D.  ( ,   ) f x y  在点 (0,  0)处不可微 【答案】A 高等数学试卷 第  7 页 (共  6 页) 解:  2 2 0 0  0 0  lim ( , ) lim  x x  y y  xy  f x y  x y ® ® ® ® = + 不存在,从而  ( ,   ) f x y  在点 (0,  0)处不连续,应选  A.  25.设函数  ) ln(  y x  y  x  z - = ,则 = ¶ ¶  y  z  A.  ) (  y x y  x -  B.  2  ln( ) x x y  y - -  C.  ln( )  ( )  x y x  y y x y - + -  D.  2  ln( )  ( )  x x y x  y y x y - - - - 【答案】D.  解:  2  1  ln( ) ln( )  x z x x  z x y x y  y y y y x y ¶ - = - Þ = - - + ´ ¶ -  z  y ¶ Þ = ¶  2  ln( )  ( )  x x y x  y y x y - - - - ,应选 D.  26.累次积分  2  2  2   2  0   2  d ( ,   )d  x x  x x  x f x y y - - - ò ò 写成另一种次序的积分是  A.  1  0  d ( ,   )d  y  y  y f x y x - ò ò  B.  2  2  2   2  0   2  d ( ,   )d  y y  y y  y f x y x - - - ò ò  C.  2  2  1   1  1   1  d ( , )d  y  y  y f x y x - - - - ò ò  D.  2  2  1  1 1  1  1 1  d ( ,   )d  y  y  y f x y x + - - - - ò ò 【答案】D.  解: { } 2 2 ( , ) | 0 2, 2 2 x y x x x y x x £ £ - - £ £ - = { } 2 2 ( , ) | 1 1,1 1 1 1 x y y y x y - £ £ - - £ £ + - ,应选 D.  27.设  {( ,   ) | D x y x =  ≤ 2,  y  ≤ 2},则 òò =  D  y xd d  A. 2  B.16  C.12  D.4  【答案】B  解:  d d 16 D  D  x y S = = òò  ,应选 B. 高等数学试卷 第  8 页 (共  6 页)  28.若幂级数 å ¥ =0 n  n  n x a  的收敛半径为R ,则幂级数 å ¥ = -  0  2 ) 2 (  n  n  n  x a  的收敛区间为  A. ( ,   ) R R -  B. (2 ,  2 ) R R - +  C. ( ,   ) R R -  D. (2 ,  2 ) R R - + 【答案】D.  解:收敛区间是不考虑端点的,因 å ¥ =1 n  n  n x a  在  ( , ) x R R Î - 内收敛,级数  2  1  ( 2)  n n  n  a x ¥ = - å 写 作  2  1  [( 1) ] n n  n  a x ¥ = - å , 所 以 有  2 ( 2) ( , ) x R R - Î - , 即 有  2 2 R x R - < < + ,即 å ¥ = -  0  2 ) 2 (  n  n  n  x a  收敛区间为 (2 ,  2 ) R R - + .应选 D.  29.下列级数绝对收敛的是  A. å ¥ = -  1  1  ) 1 (  n  n  n  B. å ¥ = -  1  2 2  3  ) 1 (  n  n  n  n  C. å ¥ = - + -  1  1 2  1  ) 1 (  n  n  n  n  D. å ¥ = - -  1  2  1 2  ) 1 (  n  n  n  n  【答案】B.  解:  2 2  1 1 1  3 3 3  ( 1)  2 2 4  n n n  n  n n  n n n ¥ ¥ ¥ = = = æ ö - = = ç ÷ è ø å å å 是收敛,故应选 B.  30.若幂级数  0  ( 3) n n  n  a x ¥ = - å 在点  1 x = 处发散,在点  5 x = 处收敛,则在点  0 x = ,  2 x = ,  4 x = ,  6 x = 中使该级数发散的点的个数有  A.0个  B.1个  C. 2个  D.3个 【答案】C  解: 令  3 x t - = ,则级数化为  0  n  n  n  a t ¥ = å 。而  1 x = 就是  2 t = - ,  5 x = 就是  2 t = , 这说明级数  0  n  n  n  a t ¥ = å 的收敛域为 ( 2,2] - ,从而点  0 x = ,  2 x = ,  4 x = ,  6 x = ,相当 于  3 t = - ,  1 t = - ,  1 t = ,  3 t = ,故原级数发散的点的个数有 2,应选 C.  二、填空题(每空 2分,共 20分)  31.设  (3 2 ) f x - 的定义域为 ( 3,  4] - ,则  ) (x f  的定义域为________. 高等数学试卷 第  9 页 (共  6 页) 解:  3 4 6 2 8 9 3 2 5 x x x - < £ Þ > - ³ - Þ > - ³ - , 所以  ) (x f  的定义域为[ 5,  9) - 。  32.极限 lim ( 2 3)  x  x x x ®+¥ + - - = ________. 解:  5 5  lim ( 2 3) lim  2 2 3 x x  x  x x x  x x ®+¥ ®+¥ + - - = = + + - 。  33.设函数  ( ) ( 1)( 2)( 3)( 4) f x x x x x = + + - - ,则  (4) ( ) f x = ________. 解:  2 2 4 3 2 ( ) ( 3 2)( 7 12) 4 7 22 24 f x x x x x x x x x = + + - + = - - + + 所以  (4) ( ) 24 f x =  .  34.设参数方程  2  2 1  3 1  x t  y t = + ì í = - î 所确定的函数为  ( ) y y x = ,则  2  2  d  d  y  x =________. 解:  2  2  d 6 d 1 3  3 , (3 ) 2  d 2 d 2  t  x  t t  y y t y  t t  x x x x ¢ ¢ = = = = = = ¢ ¢ .  35.  (ln 1)d x x + = ò  ________. 解:  (ln 1)d ln x x x x C + = + ò  .  36.点 (3,  2,   1) - 到平面  1 0 x y z + + - = 的距离是________. 解:  | 3 2 1 1|  3  3  d + - - = = 。  37.函数  (1 ) x z y = + 在点 (1,  1)处的全微分dz = ________. 解:因为  1 d (1 ) ln(1 )d (1 ) d x x z y y x x y y - = + + + + ,所以d 2ln 2d d z x y = +  .  38.设L为三个顶点分别为 (0,  0), (1,  0)和 (0,  1)的三角形边界,L的方向为 逆时针方向,则  2 3 2 2 ( )d ( 3 )d  L  xy y x x y xy y - + - = ò Ñ  ________. 解:因为  2 2 2 3  P Q  xy y  y x ¶ ¶ = = - ¶ ¶ ,与积分路径无关, 故  2 3 2 2 ( )d ( 3 )d 0  L  xy y x x y xy y - + - = ò Ñ 。  39.已知微分方程  x ay y  e = + ¢ 的一个特解为  x x y  e = ,则 a =________. 解:把  x x y  e = 代入方程得 ( 1) 0 1 a x a + = Þ = -  . 高等数学试卷 第  10 页 (共  6 页)  40.级数  0  3  !  n  n  n ¥ = å 的和为________. 解:  3  0  3  e  !  n  n  n ¥ = = å 。 三、计算题(每小题 5 分,共 45 分)  41.求极限  2  0  4 0  sin d (e 1)sin  lim  1 cos  x  x  x  t t x  x x ® æ ö - ç ÷ - ç ÷ - ç ÷ è ø ò . 解:  2 2  0  0  4 4 0 0 0  sin d sin d (e 1)sin (e 1)sin  lim lim lim  1 cos 1 cos  x x  x x  x x x  t t t t x x  x x x x ® ® ® æ ö - - ç ÷ - = - ç ÷ - - ç ÷ è ø ò ò  ­­1 分  2 2  3 0 0  2 sin  lim lim  1 cos 4 x x  x x x  x x ® ® = - -  ­­­3分  3  3 0 0  2 2 1 3  lim lim 2  sin 4 2 2 x x  x x  x x ® ® = - = - =  ­­­­5 分  42.设由方程  2 2 e e y  xy - = 确定的函数为  ) (x y y = ,求  0  d  d  x  y  x = . 解:方程  2 2 e e y  xy - = 两边 x求到得  2 e 2 0 y y y xy ¢ - - =  ­­­­­­2 分 即有  2  2  e y  y xy  y + ¢ =  ­­­­­­­­­  4 分 把  0 x = 代入方程有  2 y =  2  2  2  0 0  2  d d 2  4e  d d e 0 x x  y  y y  x x - = = = = = = -  ­­­­­­­5 分  43.求不定积分  2 e  d  e 1  x  x  x + ò . 解:  2  2 2 2 e 1  2 ln( 1)  e ( 1) 2  d dt  1 e 1  x x  t  x  x t  t t  x  t t + = = - - ====== - + ò ò  ­­­­2分 高等数学试卷 第  11 页 (共  6 页)  2 2 ( 1)dt t = - ò  ­­­­­­­3 分  3 2  2  3  t t C = - +  ­­­­­­4 分  3 2 ( e 1) 2 e 1  3  x x  C = + - + +  ­­­­­5分  44.求定积分 ( ) 2  2 0  2 d x x x x + - ò . 解: ( ) 2   2   2 2 2 0   0  0 2 d d 2 d x x x x x x x x x + - = + - ò ò ò  ­­­­­1 分  2  2 2 2  0  0  1  1 (1 ) (1 )  2  x x d x = - - - - ò  ­­­­­3分  1  2  ­1  2 1  t dt = + - ò (令1  x t - = )­­­­4 分  1 1  2 2  π  2 2  S = + = + 圆  ­­­­­­­5 分  45.求过点 (1,  2,   5) - 且与直线  2 1  3 3  x y z  x y - + = ì í - = î 平行的直线方程. 解:取所求直线的方向向量 { } 1 2  2 1 1 3,1, 5  1 3 0  i j k  s n n = ´ = - = - - r r r r r r ,­­­­­3 分 代入直线点向式方程得所求直线方程为  1 2 5  3 1 5  x y z - - + = = - 。­­­­­­5分  46.求函数  x xy y x y x f  8 2 3 ) , (  2 2 + - + = 的极值. 解:令  2 2 8 0  6 2 0  f  x y  x  f  y x  y ¶ ì = - + = ï ¶ ï í ¶ï = - = ¶ ï î 得唯一可能的极值点(­6,­2),­­­­­­­2分 而  2 2 2  2 2 2, 2, 6  f f f  A B C  x x y y ¶ ¶ ¶ = = = = - = = ¶ ¶ ¶ ¶ , 有  2  8 0, 0 B AC A - = - < >  ,­­­­­­­4 分 高等数学试卷 第  12 页 (共  6 页) 故(­6,­2)是极小值点,极小值为  ( 6, 2) 36 12 24 48 24 f - - = + - - = -  ­­­­­5 分  47.将  2  3  ( )  2 1  x  f x  x x = + - 展开成 x的幂级数. 解:  2  3 1 1  ( )  2 1 1 1 2  x  f x  x x x x = = - + - + -  ­­­­­­1分 因为  0  1  , ( 1 1)  1  n  n  x x  x ¥ = = - < < - å ,所以  0  1  ( ) , ( 1 1)  1  n  n  x x  x ¥ = = - - < < + å ,  0  1 1 1  (2 ) , ( )  1 2 2 2  n  n  x x  x ¥ = = - < < - å  ­­­­3分 所以  0 0 0  ( ) ( ) (2 ) ( 1) 2 n n n n n  n n n  f x x x x ¥ ¥ ¥ = = = é ù = - - = - - ë û å å å ,  1 1  , 2 2  x æ ö Î - ç ÷ è ø  ­­­­5 分  48.计算二重积分  2 2 d  D  x y s + òò ,其中D是由圆  2 2  3 x y + = 所围成的闭区域. 解:积分区域如图所示 在极坐标系下积分区域表示为 { } ( , ) | 0 2π,0 3 r r q q £ £ £ £ ,­­­3 分 故  2π  3 2 2 2  0 0  d d d  D  x y r r s q + = òò ò ò  ­­­4 分  3  3  2 3  0  0  1  2π  d 2π  2 3π  3  r r r = = = ò 。­­5分  49.求微分方程  0 6 9 = + ¢ - ¢ ¢  y y y  的通解. 解:这是二阶常系数线性齐次微分方程其特征方程为  2 9 6 1 0 r r - + =  ­­­­­2 分 从而有两个相等特征根  1 2  1  3  r r = =  ­­­­­­­3 分 故方程的通解为  1  3  1 2 ( )e  x  y C C x = + (  1 C ,  2 C  是任意常数)­­­5分 四、应用题(每小题 8 分,共 16 分)  50.要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器,问它的高与底面半径的比值是多少时  2 2  3 3 x y r + = ® =  x  y  O q 高等数学试卷 第  13 页 (共  6 页) 用料最省? 解:设容积的高和底面半径分别为h, r ,其表面积为S , 则  2 π V r h = ,  2 2π  2π S r rh = + ,­­­­­2 分, 把  2 π  V  h  r = 代入得  2  2 2π  , ( 0) V S r r  r = + > ,此问题转化为求S 最小值,­­­­­4分 令  2  2  4π  0 r  V  S r  r ¢ = - = 得唯一可能的极值点  3  2π  V  r =  ,根据实际意义可知 S 一定存 在最小值,故此时S 就取得最小值­­­­­­­­­6 分 这时  3  2  3  3  2π  2π π  2  π  π  π  V  h V V V r  r r r V V æ ö = = = × = × = ç ÷ ç ÷ è ø ---7 分 故容积的高与底面半径的比值为 2 时,用料最省。­­­­­8 分  51.平面图形D由曲线  2 x y = ,直线  x y - = 2  及 x轴所围成.求: (1)D的面积; (2)D绕 x轴旋转形成的旋转体的体积. 解:平面图形D如图所示 联立方程  2  2  y x  y x ì = í = - î 得交点(1,1), (-2,4) 。 取 x为积分变量,且  [0,1] [1, 2] xÎ È 。 ------3 分 (1)所求平面图形D为  1 2 2  0 1  d (2 )d A x x x x = + - ò ò  1  2 3  2  1 0  1 1 1 5  (2 )  3 2 3 2 6  x  x x = + - = + =  ­­­­­­5 分 (2)平面图形D绕 x轴旋转形成的旋转体的体积为  1  4 2  0  1  π  d  π  1 1  3 x  V x x = + × × ò  1 5  0  π  8  π  π  5 3 15  x = + =  ­­­­­­8 分 五、证明题(9 分)  2  2 y x =  (1,  1)  2 y x = -  x  y  O  2  1 高等数学试卷 第  14 页 (共  6 页)  52.设函数  ) (x f  在闭区间  ] 1 , 0 [  上连续,在开区间  ) 1 , 0 (  内可导,且  (0) 0 f = ,  (1) 2 f = .证明:在  ) 1 , 0 (  内至少存在一点x ,使得  ( ) 2 1 f x x ¢ = + 成立. 方法一 证明:构造函数  2 ( ) ( ) F x f x x = - , ----2 分 因  ) (x f  在闭区间  ] 1 , 0 [  上连续,在开区间  ) 1 , 0 (  内可导,所以函数  ) (x F  在闭区间  ] 1 , 0 [  上连续,在开区间  ) 1 , 0 (  内可导,且  ( ) ( ) 2 F x f x x ¢ ¢ = - . ---4分 于是  ) (x F  在  ] 1 , 0 [  上满足拉格朗日中值定理的条件,故在开区间  ) 1 , 0 (  内至少存 在一点x ,使得  (1) (0)  ( )  1 0  F F  F x - ¢ = - ,---6 分 将  (0) 0 f = ,  (1) 2 f = 代入上式,得  (1) (0)  ( ) [ (1) 1] [ (0) 0] 1  1 0  F F  F f f x - ¢ = = - - - = - ,----8 分 即  ( ) 2 1 f x x ¢ - = , 于是  ( ) 2 1 f x x ¢ = + .----9 分 方法二 证明:构造函数  2 ( ) ( ) F x f x x x = - - , ----3 分 因  ) (x f  在闭区间  ] 1 , 0 [  上连续,在开区间  ) 1 , 0 (  内可导,所以函数  ) (x F  在闭区间  ] 1 , 0 [  上连续,在开区间  ) 1 , 0 (  内可导,且  ( ) ( ) 2 1 F x f x x ¢ ¢ = - - . ---5分 并有  (0) (1) 0 F F = = 即有  ) (x F  在  ] 1 , 0 [  上满足罗尔中值定理的条件,故在开区间  ) 1 , 0 (  内至少存在一 点x ,使得  ( ) 0 F x ¢ = ,------8 分 即  ( ) 2 1 0 f x x ¢ - - = , 故  ( ) 2 1 f x x ¢ = + .----9 分
/
本文档为【2010专升本高等数学A2】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑, 图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。 本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。 网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。

历史搜索

    清空历史搜索