高等数学试卷 第 1 页 (共 6 页)
祝贺云飞专升本培训又取得可喜成绩
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求参培学生数量,只求培训质量”的培训理念。 “多课时,大训
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数学押题覆盖率为 100%,原型题 150 分,经改造的真题为 100
分左右。具体可以下载 2010 年试题对照文档进行比对。
2010年河南省普通高等学校
选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试
高等数学
题 号 一 二 三 四 五 总 分
分 值 60 20 45 16 9 150
注意事项:
答题前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
本试卷的试题
必须答在答题卡上,答在试卷上无效。
一、选择题(每小题 2 分,共 60 分)
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
1.设
数 ) (x f 的定义域为区间 ( 1,1] - ,则函数 ( 1) e f x- 的定义域为
A.[ 2, 2] - B. ( 1, 1] - C. ( 2, 0] - D. (0, 2]
【答案】D.
解: 1 1 1 0 2 x x - < - £ Þ < £ ,应选 D.
2.若 ( ) f x ( ) x R Î 为奇函数,则下列函数为偶函数的是
A. 3 3 1 ( ) y x f x = - , [ 1, 1] xÎ -
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B. 3 ( ) tan y xf x x = + , ( π, π) xÎ -
C. 3 sin ( ) y x x f x = - , [ 1, 1] xÎ -
D.
2 5 ( )e sin x y f x x = , [ π, π] xÎ -
【答案】D.
解: 根据偶函数的定义及结论得:
2 5 ( )e sin x y f x x = , [ π, π] xÎ - 为偶函数,
应选 D.
3.当 0 ® x 时, 2 e 1 x - 是 sin 3x的
A.低阶无穷小 B.高阶无穷小
C.等价无穷小 D.同阶非等价无穷小
【答案】D.
解:
2
0 0
e 1 2 2
lim lim
sin 3 3 3
x
x x
x
x x ® ®
-
= = ,从而是同阶非等价无穷小,应选 D.
4.设函数
2
5
1
1
sin , 0
( )
e , 0 x
x x
x f x
x
ì > ï
= í
ï
< î
,则 0 x = 是 ) (x f 的
A.可去间断点 B.跳跃间断点
C.连续点 D.第二类间断点
【答案】A.
解:
1
2
5 0 0 0 0
1
lim ( ) lim sin 0; lim ( ) lim e 0 x
x x x x
f x x f x
x + + - - ® ® ® ®
= = = = ,从而 0 x = 是可去间
断点,应选 A.
5.下列方程在区间 (0, 1)内至少有一个实根的为
A. 2 2 0 x + = B. sin 1 π x = -
C. 3 2 5 2 0 x x + - = D. 2 1 arctan 0 x x + + =
【答案】C.
解: 构造函数,验证端点函数值异号,应选 C.
6.函数 ) (x f 在点 0 x x = 处可导,且 1 ) ( 0 - = ¢ x f ,则
0 0
0
( ) ( 3 )
lim
2 h
f x f x h
h ®
- +
=
A. 2
3
B. 2
3
- C. 3
2
- D. 3
2
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【答案】D.
解: 0 0 0 0
( ) ( 3 ) 3 3
lim ( )
2 2 2 h
f x f x h
f x
h ®
- + ¢ = - = ,应选 D.
7.曲线 x x y ln = 的平行于直线 0 1 = + - y x 的切线方程是
A. 1 - = x y B. ) 1 ( + - = x y
C. 1 y x = - + D. ) 1 )( 1 (ln - + = x x y
【答案】A.
解: ln 1 ln 1 1, 0 y x x y x x y ¢ = Þ = + = Þ = = ,可得切线为 1 - = x y ,应选
A. 也可以根据切线与已知直线平行这个条件,直接得到。
8.设函数 2 π 1 2sin
5
y x = - - ,则 = ¢ y
A.
2
π
2cos
5 1
x
x
- -
-
B.
2 1
x
x
-
-
C.
2
2
1
x
x -
D.
2
2 2 π
cos
5 5 1
x
x
- -
-
【答案】B.
解: 2
2
π
1 2sin
5 1
x
y x y
x
- ¢ = - - Þ =
-
,应选 B.
9.若函数 ( ) f x 满足 2 d ( ) 2 sin d f x x x x = - ,则 ( ) f x =
A. 2 cos x B. 2 cos x C + C. 2 sin x C + D. 2 cos x C - +
【答案】B.
解: 2 2 d ( ) 2 sin d ( ) ( 2 sin )d f x x x x f x x x x = - Þ = - ò
2 2 2 sin d cos x x x C = - = + ò ,应选 B.
10. d e sin(1 2 )d
d
b x
a
x x
x
- - = ò
A. e sin(1 2 ) x x - - B. e sin(1 2 )d x x x - -
C. e sin(1 2 ) x x C - - + D.0
【答案】D.
解: 定积分是常数,其导数为 0,应选 D.
11.若 ( ) ( ) f x f x - = ,在区间 (0, ) + ¥ 内, ( ) 0 f x ¢ > , ( ) 0 f x ¢¢ > ,则 ( ) f x 在
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区间 ( , 0) -¥ 内
A. ( ) 0 f x ¢ < , ( ) 0 f x ¢¢ < B. ( ) 0 f x ¢ > , ( ) 0 f x ¢¢ >
C. ( ) 0 f x ¢ > , ( ) 0 f x ¢¢ < D. ( ) 0 f x ¢ < , ( ) 0 f x ¢¢ >
【答案】D.
解:根据偶函数的图像关于 y 轴的性质, 在 ( , 0) -¥ 内有 ( ) 0 f x ¢ < , ( ) 0 f x ¢¢ > ,
应选 D.
12.若函数 ( ) f x 在区间 ( , ) a b 内连续,在点 0 x 处不可导, 0 ( , ) x a b Î ,则
A. 0 x 是 ( ) f x 的极大值点 B. 0 x 是 ( ) f x 的极小值点
C. 0 x 不是 ( ) f x 的极值点 D. 0 x 可能是 ( ) f x 的极值点
【答案】D.
解: 根据可能的极限点是驻点或不可导点的结论知, 0 x 可能是 ( ) f x 的极值点.
应选 D.
13.曲线 e x y x - = 的拐点为
A. 1 x = B. 2 x = C. 2
2
2,
e
æ ö
ç ÷
è ø
D.
1
1,
e
æ ö
ç ÷
è ø
【答案】C.
解: e e e ( 2)e 2 x x x x y x y x y x x - - - - ¢ ¢¢ = Þ = - Þ = - Þ = ,应选 C.
14.曲线 2arctan 3
5
x
y
x
= +
A.仅有水平渐近线
B.仅有垂直渐近线
C.既有水平渐近线,又有垂直渐近线
D.既无水平渐近线,又无垂直渐近线
【答案】A.
解:
0 0
2arctan 2arctan
lim lim 3 3; lim lim 3
5 5 x x x x
x x
y y
x x ®±¥ ®±¥ ® ®
æ ö æ ö = + = = + ¹ ¥ ç ÷ ç ÷
è ø è ø
,仅有水
平渐近线,应选 A.
15.若 x cos 是 ) (x f 的一个原函数,则 = ò ) ( d x f
A. sin x C - + B. sin x C + C. cos x C - + D.cos x C +
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【答案】A.
解: ( ) ( ) cos sin f x x x ¢ = = - , d ( ) ( ) sin f x f x C x C = + = - + ò ,应选 A.
16.设曲线 ( ) y f x = 过点 (0, 1),且在该曲线上任意一点 ( , ) x y 处切线的斜率为
e x x + ,则 = ) (x f
A.
2
e
2
x x - B.
2
e
2
x x + C. 2 e x x + D. 2 e x x -
【答案】B.
解: ( ) 2 1 e ( ) e d e
2
x x x y x f x x x x C ¢ = + Þ = + = + + ò ,把点 (0, 1)代入得 0 C = ,
所以 = ) (x f
2
e
2
x x + ,应选 B.
17.
2 π
4 π
sin
d
1
x x
x
x -
=
+ ò
A. 2 B.0 C.1 D. 1 -
【答案】B.
解:根据奇函数在对称区间上定积分性质知,应选 B.
18.设 ) (x f 是连续函数,则
2
( )d
x
a
f t t ò 是
A. ) (x f 的一个原函数 B. ) (x f 的全体原函数
C. ) ( 2 2 x xf 的一个原函数 D. ) ( 2 2 x xf 的全体原函数
【答案】C.
解:因为
2
2 ( )d 2 ( )
x
a
f t t xf x
¢ é ù = ê ú ë û ò ,所以
2
( )d
x
a
f t t ò 是 ) ( 2 2 x xf 的一个原函数,
应选 C.
19.下列广义积分收敛的是
A.
1
1
dx
x
+¥
ò B.
2
e
ln
d
x
x
x
+¥
ò
C.
2 e
1
d
ln
x
x x
+¥
ò D. 2 1 d 1
x
x
x
+¥
+ ò
【答案】C.
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解:
2 2 e e
1 1
d dln
ln ln
x x
x x x
+¥ +¥
= ò ò ,可看作 2 p = 的广义积分,是收敛的,应
选 C.
20.微分方程 0 ) ( 2 2 4 = - ¢ + ¢ ¢ y x y y x 的阶数是
A.1 B. 2 C.3 D.4
【答案】B.
解:根据微分方程阶的定义知,此方程为 2 阶常微分方程,应选 B.
21.已知向量 {5, , 2} a x = - r 和 { , 6, 4} b y =
r
平行,则 x和 y 的值分别为
A. 4 - ,5 B. 3 - , 10 - C. 4 - , 10 - D. 10 - , 3 -
【答案】B.
解:
5 2
// 3, 10
6 4
x
a b x y
y
-
Þ = = Þ = - = -
r r
,应选 B.
22.平面 1 x y z + + = 与平面 2 = - + z y x 的位置关系是
A.重合 B.平行
C.垂直 D.相交但不垂直
【答案】D.
解: 根据系数之间不成比例,也对应乘积之和也不为 0,位置关系是相交但不
垂直,应选 D.
23.下列方程在空间直角坐标系中
示的曲面为柱面的是
A. 2 2 1 y z + = B. 2 2 z x y = +
C. 2 2 2 z x y = + D. 2 2 z x y = -
【答案】A.
解:在空间直角坐标系中表示柱面的方程至含有两个变量,应选 A.
24.关于函数
2 2
2 2
2 2
, 0
( , )
0, 0
xy
x y
x y f x y
x y
ì + ¹ ï + = í
ï + = î
下列表述错误的是
A. ( , ) f x y 在点 (0, 0)处连续 B. (0, 0) 0 x f =
C. (0, 0) 0 y f = D. ( , ) f x y 在点 (0, 0)处不可微
【答案】A
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解:
2 2 0 0
0 0
lim ( , ) lim
x x
y y
xy
f x y
x y ® ®
® ®
=
+
不存在,从而 ( , ) f x y 在点 (0, 0)处不连续,应选
A.
25.设函数 ) ln( y x
y
x
z - = ,则 =
¶
¶
y
z
A.
) ( y x y
x
-
B. 2
ln( ) x x y
y
-
-
C.
ln( )
( )
x y x
y y x y
-
+
-
D.
2
ln( )
( )
x x y x
y y x y
-
- -
-
【答案】D.
解: 2
1
ln( ) ln( )
x z x x
z x y x y
y y y y x y
¶ -
= - Þ = - - + ´
¶ -
z
y
¶
Þ =
¶ 2
ln( )
( )
x x y x
y y x y
-
- -
-
,应选 D.
26.累次积分
2
2
2 2
0 2
d ( , )d
x x
x x
x f x y y
-
- - ò ò 写成另一种次序的积分是
A.
1
0
d ( , )d
y
y
y f x y x
- ò ò B.
2
2
2 2
0 2
d ( , )d
y y
y y
y f x y x
-
- - ò ò
C.
2
2
1 1
1 1
d ( , )d
y
y
y f x y x
-
- - - ò ò D.
2
2
1 1 1
1 1 1
d ( , )d
y
y
y f x y x
+ -
- - - ò ò
【答案】D.
解: { } 2 2 ( , ) | 0 2, 2 2 x y x x x y x x £ £ - - £ £ - =
{ } 2 2 ( , ) | 1 1,1 1 1 1 x y y y x y - £ £ - - £ £ + - ,应选 D.
27.设 {( , ) | D x y x = ≤ 2, y ≤ 2},则 òò =
D
y xd d
A. 2 B.16 C.12 D.4
【答案】B
解: d d 16 D
D
x y S = = òò ,应选 B.
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28.若幂级数 å
¥
=0 n
n
n x a 的收敛半径为R ,则幂级数 å
¥
=
-
0
2 ) 2 (
n
n
n x a 的收敛区间为
A. ( , ) R R - B. (2 , 2 ) R R - +
C. ( , ) R R - D. (2 , 2 ) R R - +
【答案】D.
解:收敛区间是不考虑端点的,因 å
¥
=1 n
n
n x a 在 ( , ) x R R Î - 内收敛,级数
2
1
( 2) n n
n
a x
¥
=
- å 写 作 2
1
[( 1) ] n n
n
a x
¥
=
- å , 所 以 有 2 ( 2) ( , ) x R R - Î - , 即 有
2 2 R x R - < < + ,即 å
¥
=
-
0
2 ) 2 (
n
n
n x a 收敛区间为 (2 , 2 ) R R - + .应选 D.
29.下列级数绝对收敛的是
A. å
¥
=
-
1
1
) 1 (
n
n
n
B. å
¥
=
-
1
2 2
3
) 1 (
n
n
n
n
C. å
¥
= -
+
-
1 1 2
1
) 1 (
n
n
n
n
D. å
¥
= -
-
1
2 1 2
) 1 (
n
n
n
n
【答案】B.
解:
2 2
1 1 1
3 3 3
( 1)
2 2 4
n n n
n
n n
n n n
¥ ¥ ¥
= = =
æ ö - = = ç ÷
è ø
å å å 是收敛,故应选 B.
30.若幂级数
0
( 3) n n
n
a x
¥
=
- å 在点 1 x = 处发散,在点 5 x = 处收敛,则在点 0 x = ,
2 x = , 4 x = , 6 x = 中使该级数发散的点的个数有
A.0个 B.1个 C. 2个 D.3个
【答案】C
解: 令 3 x t - = ,则级数化为
0
n
n
n
a t
¥
=
å 。而 1 x = 就是 2 t = - , 5 x = 就是 2 t = ,
这说明级数
0
n
n
n
a t
¥
=
å 的收敛域为 ( 2,2] - ,从而点 0 x = , 2 x = , 4 x = , 6 x = ,相当
于 3 t = - , 1 t = - , 1 t = , 3 t = ,故原级数发散的点的个数有 2,应选 C.
二、填空题(每空 2分,共 20分)
31.设 (3 2 ) f x - 的定义域为 ( 3, 4] - ,则 ) (x f 的定义域为________.
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解: 3 4 6 2 8 9 3 2 5 x x x - < £ Þ > - ³ - Þ > - ³ - ,
所以 ) (x f 的定义域为[ 5, 9) - 。
32.极限 lim ( 2 3)
x
x x x
®+¥
+ - - = ________.
解:
5 5
lim ( 2 3) lim
2 2 3 x x
x
x x x
x x ®+¥ ®+¥
+ - - = =
+ + -
。
33.设函数 ( ) ( 1)( 2)( 3)( 4) f x x x x x = + + - - ,则 (4) ( ) f x = ________.
解: 2 2 4 3 2 ( ) ( 3 2)( 7 12) 4 7 22 24 f x x x x x x x x x = + + - + = - - + +
所以 (4) ( ) 24 f x = .
34.设参数方程 2
2 1
3 1
x t
y t
= + ì
í = - î
所确定的函数为 ( ) y y x = ,则
2
2
d
d
y
x
=________.
解:
2
2
d 6 d 1 3
3 , (3 ) 2
d 2 d 2
t
x
t t
y y t y
t t
x x x x
¢
¢ = = = = = =
¢ ¢
.
35. (ln 1)d x x + = ò ________.
解: (ln 1)d ln x x x x C + = + ò .
36.点 (3, 2, 1) - 到平面 1 0 x y z + + - = 的距离是________.
解:
| 3 2 1 1|
3
3
d
+ - -
= = 。
37.函数 (1 ) x z y = + 在点 (1, 1)处的全微分dz = ________.
解:因为 1 d (1 ) ln(1 )d (1 ) d x x z y y x x y y - = + + + + ,所以d 2ln 2d d z x y = + .
38.设L为三个顶点分别为 (0, 0), (1, 0)和 (0, 1)的三角形边界,L的方向为
逆时针方向,则 2 3 2 2 ( )d ( 3 )d
L
xy y x x y xy y - + - = ò Ñ ________.
解:因为 2 2 2 3
P Q
xy y
y x
¶ ¶
= = -
¶ ¶
,与积分路径无关,
故 2 3 2 2 ( )d ( 3 )d 0
L
xy y x x y xy y - + - = ò Ñ 。
39.已知微分方程 x ay y e = + ¢ 的一个特解为 x x y e = ,则 a =________.
解:把 x x y e = 代入方程得 ( 1) 0 1 a x a + = Þ = - .
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40.级数
0
3
!
n
n n
¥
=
å 的和为________.
解: 3
0
3
e
!
n
n n
¥
=
= å 。
三、计算题(每小题 5 分,共 45 分)
41.求极限
2
0
4 0
sin d (e 1)sin
lim
1 cos
x
x
x
t t x
x x ®
æ ö
- ç ÷ - ç ÷ - ç ÷
è ø
ò .
解:
2 2
0 0
4 4 0 0 0
sin d sin d (e 1)sin (e 1)sin
lim lim lim
1 cos 1 cos
x x
x x
x x x
t t t t x x
x x x x ® ® ®
æ ö
- - ç ÷ - = - ç ÷ - - ç ÷
è ø
ò ò
1 分
2 2
3 0 0
2 sin
lim lim
1 cos 4 x x
x x x
x x ® ®
= -
-
3分
3
3 0 0
2 2 1 3
lim lim 2
sin 4 2 2 x x
x x
x x ® ®
= - = - = 5 分
42.设由方程 2 2 e e y xy - = 确定的函数为 ) (x y y = ,求
0
d
d x
y
x =
.
解:方程 2 2 e e y xy - = 两边 x求到得 2 e 2 0 y y y xy ¢ - - = 2 分
即有
2 2
e y
y xy
y
+ ¢ = 4 分
把 0 x = 代入方程有 2 y =
2
2
2
0 0 2
d d 2
4e
d d e 0 x x y
y y
x x
-
= = =
= = =
-
5 分
43.求不定积分
2 e
d
e 1
x
x
x
+
ò .
解: 2
2 2 2 e 1
2 ln( 1)
e ( 1) 2
d dt
1 e 1
x x t
x x t
t t
x
t t
+ =
= -
-
======
- +
ò ò 2分
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2 2 ( 1)dt t = - ò 3 分
3 2 2
3
t t C = - + 4 分
3 2 ( e 1) 2 e 1
3
x x C = + - + + 5分
44.求定积分 ( ) 2 2 0 2 d x x x x + - ò .
解: ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 2 d d 2 d x x x x x x x x x + - = + - ò ò ò 1 分
2
2 2 2
0
0
1
1 (1 ) (1 )
2
x x d x = - - - - ò 3分
1 2
1
2 1 t dt = + - ò (令1 x t - = )4 分
1 1
2 2 π
2 2
S = + = + 圆 5 分
45.求过点 (1, 2, 5) - 且与直线
2 1
3 3
x y z
x y
- + = ì
í - = î
平行的直线方程.
解:取所求直线的方向向量 { } 1 2 2 1 1 3,1, 5
1 3 0
i j k
s n n = ´ = - = -
-
r r r
r r r ,3 分
代入直线点向式方程得所求直线方程为
1 2 5
3 1 5
x y z - - +
= =
-
。5分
46.求函数 x xy y x y x f 8 2 3 ) , ( 2 2 + - + = 的极值.
解:令
2 2 8 0
6 2 0
f
x y
x
f
y x
y
¶ ì = - + = ï ¶ ï
í ¶ï = - =
¶ ï î
得唯一可能的极值点(6,2),2分
而
2 2 2
2 2 2, 2, 6
f f f
A B C
x x y y
¶ ¶ ¶
= = = = - = =
¶ ¶ ¶ ¶
,
有 2 8 0, 0 B AC A - = - < > ,4 分
高等数学试卷 第 12 页 (共 6 页)
故(6,2)是极小值点,极小值为 ( 6, 2) 36 12 24 48 24 f - - = + - - = - 5 分
47.将
2
3
( )
2 1
x
f x
x x
=
+ -
展开成 x的幂级数.
解:
2
3 1 1
( )
2 1 1 1 2
x
f x
x x x x
= = -
+ - + -
1分
因为
0
1
, ( 1 1)
1
n
n
x x
x
¥
=
= - < <
- å ,所以
0
1
( ) , ( 1 1)
1
n
n
x x
x
¥
=
= - - < <
+ å , 0
1 1 1
(2 ) , ( )
1 2 2 2
n
n
x x
x
¥
=
= - < <
- å 3分
所以
0 0 0
( ) ( ) (2 ) ( 1) 2 n n n n n
n n n
f x x x x
¥ ¥ ¥
= = =
é ù = - - = - - ë û å å å ,
1 1
,
2 2
x æ ö Î - ç ÷
è ø
5 分
48.计算二重积分 2 2 d
D
x y s + òò ,其中D是由圆 2 2 3 x y + = 所围成的闭区域.
解:积分区域如图所示
在极坐标系下积分区域表示为
{ } ( , ) | 0 2π,0 3 r r q q £ £ £ £ ,3 分
故
2π 3 2 2 2
0 0
d d d
D
x y r r s q + = òò ò ò 4 分
3
3 2 3
0
0
1
2π d 2π 2 3π
3
r r r = = = ò 。5分
49.求微分方程 0 6 9 = + ¢ - ¢ ¢ y y y 的通解.
解:这是二阶常系数线性齐次微分方程其特征方程为 2 9 6 1 0 r r - + = 2 分
从而有两个相等特征根 1 2
1
3
r r = = 3 分
故方程的通解为
1
3
1 2 ( )e
x
y C C x = + ( 1 C , 2 C 是任意常数)5分
四、应用题(每小题 8 分,共 16 分)
50.要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器,问它的高与底面半径的比值是多少时
2 2 3 3 x y r + = ® =
x
y
O
q
高等数学试卷 第 13 页 (共 6 页)
用料最省?
解:设容积的高和底面半径分别为h, r ,其表面积为S ,
则 2 π V r h = , 2 2π 2π S r rh = + ,2 分,
把
2 π
V
h
r
= 代入得 2 2 2π , ( 0) V S r r
r
= + > ,此问题转化为求S 最小值,4分
令
2
2
4π 0 r
V
S r
r
¢ = - = 得唯一可能的极值点 3
2π
V
r = ,根据实际意义可知 S 一定存
在最小值,故此时S 就取得最小值6 分
这时
3
2
3
3
2π 2π π 2
π π π
V
h V V V r
r r r V V
æ ö
= = = × = × = ç ÷ ç ÷
è ø
---7 分
故容积的高与底面半径的比值为 2 时,用料最省。8 分
51.平面图形D由曲线 2 x y = ,直线 x y - = 2 及 x轴所围成.求:
(1)D的面积;
(2)D绕 x轴旋转形成的旋转体的体积.
解:平面图形D如图所示
联立方程
2
2
y x
y x
ì =
í
= - î
得交点(1,1),
(-2,4) 。
取 x为积分变量,且 [0,1] [1, 2] xÎ È 。
------3 分
(1)所求平面图形D为
1 2 2
0 1
d (2 )d A x x x x = + - ò ò
1 2 3
2
1 0
1 1 1 5
(2 )
3 2 3 2 6
x
x x = + - = + = 5 分
(2)平面图形D绕 x轴旋转形成的旋转体的体积为
1 4 2
0
1
π d π 1 1
3 x
V x x = + × × ò
1 5
0
π 8
π π
5 3 15
x
= + = 8 分
五、证明题(9 分)
2
2 y x =
(1, 1)
2 y x = -
x
y
O
2
1
高等数学试卷 第 14 页 (共 6 页)
52.设函数 ) (x f 在闭区间 ] 1 , 0 [ 上连续,在开区间 ) 1 , 0 ( 内可导,且 (0) 0 f = ,
(1) 2 f = .证明:在 ) 1 , 0 ( 内至少存在一点x ,使得 ( ) 2 1 f x x ¢ = + 成立.
方法一
证明:构造函数 2 ( ) ( ) F x f x x = - , ----2 分
因 ) (x f 在闭区间 ] 1 , 0 [ 上连续,在开区间 ) 1 , 0 ( 内可导,所以函数 ) (x F 在闭区间
] 1 , 0 [ 上连续,在开区间 ) 1 , 0 ( 内可导,且 ( ) ( ) 2 F x f x x ¢ ¢ = - . ---4分
于是 ) (x F 在 ] 1 , 0 [ 上满足拉格朗日中值定理的条件,故在开区间 ) 1 , 0 ( 内至少存
在一点x ,使得
(1) (0)
( )
1 0
F F
F x - ¢ =
-
,---6 分
将 (0) 0 f = , (1) 2 f = 代入上式,得
(1) (0)
( ) [ (1) 1] [ (0) 0] 1
1 0
F F
F f f x - ¢ = = - - - =
-
,----8 分
即 ( ) 2 1 f x x ¢ - = ,
于是 ( ) 2 1 f x x ¢ = + .----9 分
方法二
证明:构造函数 2 ( ) ( ) F x f x x x = - - , ----3 分
因 ) (x f 在闭区间 ] 1 , 0 [ 上连续,在开区间 ) 1 , 0 ( 内可导,所以函数 ) (x F 在闭区间
] 1 , 0 [ 上连续,在开区间 ) 1 , 0 ( 内可导,且 ( ) ( ) 2 1 F x f x x ¢ ¢ = - - . ---5分
并有 (0) (1) 0 F F = =
即有 ) (x F 在 ] 1 , 0 [ 上满足罗尔中值定理的条件,故在开区间 ) 1 , 0 ( 内至少存在一
点x ,使得 ( ) 0 F x ¢ = ,------8 分
即 ( ) 2 1 0 f x x ¢ - - = ,
故 ( ) 2 1 f x x ¢ = + .----9 分