2.3 连续型随机变量

null§2.3 连续型随机变量§2.3 连续型随机变量一、概率密度函数例子 定义 设随机变量X 的分布函数为F( x ), 若存在非负函数 f ( x ), 对于任意实数 x , 均有称随机变量X 是连续型随机变量,称函数 f ( x ) 为X 的概率密度函数.射击试验仪器寿命问题null注 (1) 连续型随机变量X 的分布函数是连续函数.即F(x )在x 处左连续，故F(x )在x 处连续. 证 由分布函数的性质可知，F(x )在x 处右连续，对于Dx > 0,null（2）X 是连续型随机变量，则对任意实数x0 ∈R，有P{ X = x0 } = 0令Dx → 0，由F(x )的连续性有null 故 P{ X = x0 } = 0. （3）P( f ) = 0, 但是其逆不真.概率密度函数的性质 若函数f ( x )满足上述(1)和(2),则它必是某个随机变量的概率密度. 0 ≤ P{ X = x0 } = F(x)-F(x - Dx) → 0概率曲线下 总面积为1nullnull (4) 若f ( x )在点x 处连续,则有证明性质的应用实例概率密度判定函数参数确定概率的计算null二、 均匀分布和指数分布 (1) 均匀分布 设随机变量X 的概率密度函数为称随机变量X 在区间 (a, b ) 上服从均匀分布,记为X ~ U( a, b ). 特点1 随机变量X 概率为1在 (a, b ) 上取值；null 特点2 随机变量X落在 (a, b ) 的子区间的概率与位置无关，仅与长度成正比.null 应用 (1) 大量试验服从均匀分布; (2) 是计算机摸拟的基础.例如参见例子(2) 指数分布 设随机变量X的概率密度函数为称随机变量X 服从参数为 l 的指数分布.( l > 0)null 特点 指数分布具有无后效性.即有(P52例2.3.4） P{ X > t + s | X > t } = P{ X > s }参见例子三、正态分布(GAUSS 分布) 设随机变量X 的概率密度函数为null 其中m , s ( s > 0)是常数，则称随机变量X服从参数为 m，s2 的正态分布(或高斯分布)，记为X ~ N(m , s2 ) 特别当 m = 0, s = 1时, 其概率密度为j( x ) = j( x; 0, 1 ) = 称随机变量X 服从标准正态分布,即X ~ N(0, 1).null1. 正态分布概率密度曲线的特征即概率曲线下总面积为1. (2)曲线关于直线 x = m 对称, 即对任意实数x 有 j(m － x; m, s2 ) = j(m + x; m, s2 ) 曲线下直线两侧的面积各为1/2, 而且P{ m – x < X ≤ m } = P{ m < X ≤ m + x}null1/21/2nullP{ m – x < X ≤ m } = P{ m < X ≤ m + x}nullσ较小σ较大null2 正态分布概率的计算 若随机变量X ~ N( m, s2 )，其分布函数为null 若随机变量X 服从标准正态分布,其分布函数记为F(－x ) = 1－F( x )查表 P289的附表2 《标准正态分布表》给出了x≥0的标准正态分布函数值. （1）若随机变量X ~ N( 0, 1 )，则P{ a < X ≤ b } = F( b ) －F( a )null （2）若随机变量X ~ N( m, s 2 )，则证明F( x; m, s2 ) = 所以有null参见例子正态分布概率计算null参见例子分位数电池可靠性估计 分位数 X ~ N( 0, 1), 若实数ua 使 P{ X > ua } = a 则称ua为标准正态分布的对应于a 的上侧分位数.null 例1 使用了t 小时的元件在以后的Δt 小时内损坏的概率等于lΔt + o(Δt ),其中l > 0 为一常数,试写出该元件的寿命T 的分布函数.解 由题意 当t < 0 时, F(t) = P{ T≤ t } = 0。 当t ≥0 时, 设Δt > 0，由题设条件有 P{ T≤ t + Δt |T > t } = lΔt + o(Δt ),因 F( t + Dt ) = P{T ≤ t + Dt } = P{T ≤ t } + P{t < T ≤ t + Dt }null 从而有 DF = F( t + Dt ) － F( t ) = P{t < T ≤ t + Dt }又因为 { t < T ≤ t + Dt }={ T > t }{ T ≤ t + Dt }null DF = P{T > t }P{T ≤ t + Dt | T > t } =[1 －F(t )][lDt + o(Dt )]求解方程得分布函数令 Dt →0时，得到关于函数F(t )的微分方程null是函数的变上限积分.#null 例2 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X 表示弹着点与圆心的距离.解：X 的分布函数为Xnullf (x)的变上限积分为0, x < 0；#null例3 设证 (1) j( x ) > 0 , x ∈R 显然成立，证明 j( x ) 是概率密度函数.null所以#null例4 设随机变量X 的概率密度函数为解 因试确定常数k.#null例5 已知随机变量X 的概率密度函数为解用Y 表示对进行X 三次独立重复观测中, 事件{ X ≤ ½ } 出现的次数, 求P{ Y = 2 } = ?所以 Y ~ B( 3, 1/4 ), 从而#null例6 设随机变量X ~ U( 0, 5 ) , 求方程4 r2 + 4X r + X + 2 = 0 有实根的概率 p .解：p = P{ ( 4 X )2 – 4×4 ( X+ 2 ) ≥ 0 }= P{ X2 – (X + 2)≥0 } = P{ ( X – 2 )( X + 1 )≥0 }# = P({ X≤ －1 } ∪ { X≥ 2 }) = P{ X≤ －1 } + P{ X ≥ 2 } = P{ 2 ≤ X ≤ 5 }null例7.某电子元件发生故障则不可修复，它的寿命X服从 参数为λ=1/2000的指数分布. 它工作了1000小时后能再工作1000小时的概率为多少？解P{X≥2000︱X ≥1000 }= P{X ≥1000 }=1－P{X＜1000}=1－F(1000)=1－[1－e－1000/2000]=e-1/2.其中#null例8 已知随机变量X ~ N( m , s 2 )，证明null 特别地，有# P{| X - m | < s } = 2F( 1 ) - 1 = 0.6826 P{| X - m | < 2s } = 2F( 2 ) - 1 = 0.9544 P{| X - m | < 3s } = 2F( 3 ) - 1 = 0.9974表明X 以很大的概率密集在 x = m 的附近.3σ原则null例9 设X ~ N( 10, 22 )，求a 使 P{ | X – 10 | < a } 解#null 例10 某种电池的寿命是X 小时,X ~ N( 300, 352 )，计算 (1) p1 = P{ X > 335 } = 1 －P{ X ≤ 335 }解= 1 － 0.8413 = 0.1587(1) 电池寿命在335小时以上的概率p1 ? (2) 求允许时限x ,使电池寿命在 (300 – x ,300 + x)内的概率不小于0.9.null (2) 0.9 ≤ P{ 300 – x < X < 300 + x } x≥ 57.75#